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Translationssymmetrie ist eine Form von Symmetrie wobei jeder Punkt eines Objekts gleich bleibt (Invarianz), wenn es um eine bestimmte Länge in eine bestimmte Richtung verschoben wird. Formal ist dies nur mit einem unendlich großen Gegenstand möglich, aber wenn dieser mit einem endlichen Teil davon mit ausreichender Wiederholung in jeder Dimension dargestellt wird, dann ist klar, welcher unendliche Gegenstand gemeint ist. Translationssymmetrie tritt beispielsweise bei Tapeten auf und ist auch ein wichtiger Begriff bei der Beschreibung von kristallin Materialien.

Mathematische Beschreibung der Translationssymmetrie

Mathematisch kann man sagen, dass eine Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ hat Translationssymmetrie mit Verschiebung ${displaystyle t}$ wenn das zutrifft ${Anzeigestil f(xt)=f(x)}$ für alle Werte von ${Anzeigestil x}$. Das heißt auch ${Anzeigestil f (x 2t) = f (x t t) = f (x t) = f (x)}$. Eine Funktion mit Translationssymmetrie ist daher eine periodische Funktion. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist die Sinus mit ${Anzeigestil t=2pi}$. Letztendlich, ${Anzeigestil sin(x)=sin(x 2pi)=sin(x 2npi)}$.

Das Konzept der Translationssymmetrie kann zum Beispiel auf Funktionen mit mehr Dimensionen verallgemeinert werden ${Anzeigestil f(x,y,z)}$. In diesem Fall wird die Verschiebung a Vektor: ${displaystyle {vec {t}}=(t_{x},t_{y},t_{z})}$.

Translationssymmetrie eines Objekts bedeutet, dass es Symmetriegruppe ein nicht triviales Übersetzungsgruppe enthält. Elemente dieser Gruppe sind:

1. ${displaystyle e}$, Die Identität
2. ${displaystyle t}$, ein Übersetzung
3. ${displaystyle t^{2}}$, doppelt so übersetzung

Das inverse Element ${Anzeigestil t^{-1}}$ entspricht der Übersetzung einmal zurück.

Die Reihenfolge, in der zwei Transformationen durchgeführt werden, kann vertauscht werden. Es besteht eine 1-zu-1-Beziehung zwischen Translationen und Vektoren, also auch zwischen Translationsgruppen und Untergruppen des Raums. Die Menge der Translationsvektoren der Gruppe wird als Gitter bezeichnet.

Es ist möglich, Translationssymmetrie mit Rotationssymmetrie, zum Beispiel eine binäre Achse ${Displaystil C_{2}}$. Elemente wie ${displaystyle t^{2} C_{2}}$. Solche Elemente bilden zusammen a Raumgruppe.

Translationssymmetrie in 2D in mehr als einer Richtung

Diskrete Translationssymmetrie in 2D in mehr als einer Richtung entspricht Tapetenmustergruppe p1. Das Symmetriegruppe bildet a einheitlicher Zeitplan. Solche Gitter können aufgrund ihrer zusätzlichen Symmetrie in fünf Typen eingeteilt werden:

1. schiefes Gitter (p2)
2. rechteckiges Raster (pm)
3. Rautengitter (cmm)
4. sechseckiges Gitter (p6m); an einer regelmäßige fliesen bei Dreiecken bilden die Eckpunkte ein solches Raster, bei regelmäßigen Kacheln bei Sechsecken (Wabenstruktur) ist dies für die Mittelpunkte der Sechsecke der Fall
5. quadratisches Raster (p4m); bei einer regelmäßigen Kachelung mit Quadraten bilden sowohl die Eckpunkte als auch die Mittelpunkte der Quadrate ein solches Raster

Bei einer regulären Kachelung mit Dreiecken bilden die Mittelpunkte der Dreiecke ein Punktmuster, das bis auf Isometrie und Skalierung dem der Eckpunkte einer regulären Kachelung mit Sechsecken entspricht, aber dieses Punktmuster ist kein einheitliches Raster.

Bei jedem Typ eines einheitlichen Rasters gibt es eine Kachelung, die die Symmetrie beibehält, wobei die Scheitel dieses Rasters bilden. Bei Typ 1 gibt es unendlich viele. In Typ 3 gibt es drei (Rauten oder auf zwei Arten gleichschenklige Dreiecke). Für die anderen Typen gibt es einen.

Die fünf Typen Uniform Gitter die sich über die gesamte Ebene (nicht in einer Linie) erstrecken, mit Symmetriegruppe bzw. der folgenden Typen: p2 (schiefes Raster), pm (rechteckiges Gitter), cmm (rautenförmiges Gitter), p6m (sechseckiges Gitter) und p4m (quadratisches Raster). Bei Nr. 1 (p2) ist zu erwähnen, dass die kurze Diagonale des Parallelogramms nicht so lang ist wie die linke Seite.

Die drei regulären Kacheln:

mit gleichseitigen Dreiecken

mit Quadraten

mit regelmäßigen Sechsecken, die Wabenstruktur

Die Wabenstruktur veranschaulicht die einer bestimmten Translationssymmetrie a Fundamentalbereich kann nicht nur ein Parallelogramm sein, sondern auch ein Sechseck mit gleicher Fläche. In diesem Fall besteht das Standardparallelogramm aus zweimal 1/3 eines Sechsecks und zweimal 1/6. Umgekehrt besteht das Sechseck aus zweimal 1/3 eines Parallelogramms und zweimal 1/6. Die vier "Puzzleteile", aus denen das Sechseck besteht, können das Parallelogramm nur mit Translationen der Translationssymmetrie bilden.

Siehe auch 2D-Übersetzungsraster.

Translationssymmetrie in kristallinen Materialien

Translationssymmetrie in a kristallin Material bedeutet, dass man Einheitszelle immer wieder wenn man etwas weiter in den Kristall geht. Diese Translationssymmetrie lässt sich am besten beschreiben durch a Einheitsvektor oder Zellrippe. Da der Kristall dreidimensional ist, erfordert eine vollständige Beschreibung der Translationssymmetrie drei solcher Vektoren, die nicht koplanar sind. Es ist möglich, dass die Elementarzelle durch mehr Symmetrien auf sich selbst abgebildet wird. Das kommt auf den Typ an Kristallsystem aus der Elementarzelle.

Zusammen bilden diese Vektoren a parallelepiped oder blockieren Sie das Einheitszelle wird genannt. Die drei Einheitsvektoren ${Anzeigestil (a,b,c)}$ werden Zellrippen oder Zellkonstanten genannt. Je nach An- oder Abwesenheit von Rotationssymmetrie können die Rippen beliebige Winkel haben ${Anzeigestil (Alpha, Eta, Gamma)}$ interagieren oder sollen sie im rechten Winkel zueinander stehen. Abhängig von der Gesamtsymmetrie werden auch Einschränkungen hinsichtlich ihrer relativen Länge auferlegt.

Eine Übereinkunft in der Kristallographie besteht darin, ein Gitter mit möglichst hoher Symmetrie zu beschreiben. Und wenn möglich die kürzesten Achsen ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ die das Raster richtig beschreiben.

In einigen Fällen ist es möglich, ein Gitter mit einer höheren Symmetrie zu beschreiben, indem man das Volumen der Elementarzelle mit 2, 3 oder 4 multipliziert. Dies wird als Zentrierung bezeichnet. Dies führt dann zu einem Gitter, das räumlich zentriert, grundebenenzentriert oder ebenenzentriert, also nicht primitiv ist. Es gibt 14 Kombinationen von Rastern mit Zentrierung, die Bravai-Bars.