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ein islamisches Muster, nach Gruppe p4mm

Die gesamte Symmetrie eines zweidimensionalen Muster mit mindestens Translationssymmetrie Zweiwege können in 17 Kategorien eingeteilt werden, die Tapetenmustergruppen werden genannt. Innerhalb einer Kategorie können die Parameter variieren, aber die gesamte Symmetrie ist im Wesentlichen gleich. Seit der Symmetriegruppe eines Musters stellt die exakte Symmetrie dar, eine Tapetengruppe ist eine Kategorie von Symmetriegruppen.

Eine Tapetengruppe ist eine zweidimensionale Raumgruppe. Es gibt in Zwei Dimensionen fünf Arten Bravais-Grills. Ihre Einteilung entspricht der Einteilung in die fünf möglichen Formen der Tapetengruppen.

Yevgraf Fyodorov, ein russischer Mathematiker, lieferte 1891 den Beweis, dass es 17 verschiedene Tapetengruppen gibt. Alle 17 kommen bereits in den islamischen Ornamenten in die Alhambra in Spanien für.

Verwandte sind die Streifenmustergruppen für die Wiederholung in eine Richtung gibt es sieben davon und die Rosettenmustergruppen für Muster ohne Translationssymmetrie: zyklische Gruppen und Diedergruppen.

Symmetrie

Die Symmetriegruppe eines zweidimensionalen Musters, mit Translationssymmetrie in zwei Richtungen, enthält zumindest die Übersetzungen, aber es kann folgendes geben Isometrien Komm zu:

• Drehungen über einen Ecke von 60°, 90°, 120° oder 180° (Rotationssymmetrie der Reihenfolge 6, 4, 3 bzw. 2, eine andere Reihenfolge ist nicht möglich),
• Reflexionen und
• Gleitreflexionen.

Die folgenden Bilder verwenden die folgenden Zeichen:

• eine Raute zeigt den Mittelpunkt einer Drehung über 180° (= 360°/2 )
• ein Dreieck zeigt den Mittelpunkt einer Drehung über 120°(= 360°/3 )
• ein Quadrat bezeichnet den Mittelpunkt einer Drehung über 90° (= 360°/4 )
• ein Sechseck zeigt den Mittelpunkt einer Drehung um 60°(= 360°/6 )
• eine dicke Linie zeigt das Spiegelachse Auf
• eine gestrichelte Linie zeigt eine Gleitreflexion an

Das gezeichnete Parallelogramm, die gelbe und graue Fläche zusammen mit den Sonderfällen Raute, Rechteck und Quadrat, ist a Einheitszelle des Musters. Dies wird aufgrund der Translationssymmetrie mit Translationsvektoren, die zwei aufeinanderfolgenden Seiten entsprechen, immer wieder wiederholt; es ist ein Fundamentalbereich nur Translationssymmetrie. Der gelbe Bereich ist eine grundlegende Domäne des Musters. Eine Elementarzelle besteht aus mehreren Kopien der Fundamentaldomäne, bei chiraler Symmetrie nur verdrillte Versionen, bei achiraler Symmetrie halbmetry Spiegelbilder. Der asymmetrische Buchstabe F und seine verdrehten und eventuell gespiegelten Kopien sind eingezeichnet, so dass eine mit Translationen der gezeichneten Elementarzellen gefüllte Ebene tatsächlich die relevante Symmetrie hat, wenn man die gelbe Farbe des Fundamentalbereichs außer Acht lässt und auch die Positionen der Symbole für Rotationssymmetrie. Die Farben dieser Symbole sind innerhalb einer Figur gleich, wenn es in der entsprechenden Symmetriegruppe eine Isometrie gibt, die einen Rotationspunkt auf einen anderen abbildet (in einer Figur mit der entsprechenden Symmetrie ist die Nähe eines Rotationspunktes gleich der des anderen , ggf. gedreht, oder das Spiegelbild) und sonst anders (in einer Figur mit der entsprechenden Symmetrie ist die Umgebung eines Rotationspunktes prinzipiell sehr verschieden von der Umgebung des anderen).

Das Punktgruppe jeder Elementarzelle eine endliche Gruppe ist, ist die Symmetriegruppe jedes Musters aufgrund der Translationssymmetrie eine unendliche Gruppe. Die Elementarzelle wird so gewählt, dass sie so viel wie möglich die zusätzliche Symmetrie der relevanten Tapetengruppe hat, aber manchmal auch Symmetrie hat, die die Tapetengruppe nicht hat. Andererseits weist die Elementarzelle selbst niemals eine Gleitreflexion als Symmetrie auf. Die Tapetengruppen, deren Symmetrie durch die Translationssymmetrie und die Symmetrie der hier ausgewählten Elementarzelle exakt erzeugt wird, sind p2, pmm, cmm und p4mm.

Diese Muster ergeben eine Wiederholung von zwei gleichseitig dreieckig Kacheln, jede mit Rotationssymmetrie (der Ordnung 3), natürlich. Bei p3m1 haben beide Kacheln separat eine zusätzliche Symmetrie, bei p31m sind sie das Spiegelbild des anderen. Unter der Annahme von p3 ist die stärkere Eigenschaft eines Drittels der Rotationspunkte für p6, dass sie nicht von Ordnung 3, sondern von Ordnung 6 sind: Dies kann die Eckpunkte beider Dreiecke oder den Mittelpunkt eines der beiden betreffen.^[1] Im ersten Fall sind die beiden Kacheln gleich und nur die Position wird umgekehrt. Das Muster wiederholt somit eine gleichseitige dreieckige Kachel mit Rotationssymmetrie der Ordnung 3, die Rotationspunkte der Ordnung 6 sind die Scheitelpunkte. Bei p6m hat diese eine Kachel auch zusätzliche Symmetrie.

Webseiten

• Jan van de Craats. Islamische Ornamentik, 1. März 2005. für die Neues Archiv für Mathematik

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