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Variantieanalyse

Varianzanalyse, ein Konzept aus dem Statistik, oft bezeichnet als ANOVA (aus dem Englischen Varianzanalyse), ist ein Überprüfungsverfahren um zu prüfen, ob die Bevölkerung bedeutet von mehr als 2 Gruppen unterscheiden sich voneinander. In diesem Sinne ist es eine Verallgemeinerung der t-test für zwei Proben. Der Begriff Varianzanalyse bezeichnet die Aufteilung (Analyse) der Gesamtvarianz der Messgröße in zwei Teile, die gruppeninterne Varianz (innerhalb der Varianz) und die Varianz zwischen den Gruppen (mittlere Varianz) verglichen. Die Analysetechnik wurde von dem britischen Statistiker und Genetiker entwickelt Ronald Aylmer Fischer in den 1920er - 1930er Jahren.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel mit drei Gruppen wird den Gedankengang verdeutlichen.

Wir fragen uns, ob es systematische Unterschiede zwischen drei verschiedenen Gruppen in Bezug auf die Körpergröße der Personen in diesen Gruppen gibt oder ob Unterschiede rein auf Zufall einwilligen. Wir vergleichen Friesen, Holländer und Limburger. Ist die Körpergröße in diesen Gruppen im Durchschnitt gleich oder gibt es systematische Unterschiede? Es ist klar, dass innerhalb jede Gruppe wird unterschiedlich lang sein. Nicht alle Niederländer sind gleich groß und nicht alle Friesen und Limburger. Die Frage ist, ob es zwischen die gruppen sind unterschiedlich. Ob sich zum Beispiel die Durchschnittsgröße der Friesen von der Durchschnittsgröße der Limburger unterscheidet. Ob die verschiedenen Gruppen eine Quelle der Variation sind. Natürlich sind die Mittelwerte der drei Gruppen nicht genau gleich. Wir fragen uns daher, ob diese Unterschiede zwischen den Gruppen vergleichbar oder viel größer sind als die Unterschiede innerhalb der Gruppen. Dazu werden Proben gezogen und die Gesamt-„Varianz“, die ein Maß für die Streuung ist, in zwei Komponenten zerlegt, analysiert, die Abweichung innerhalb der Gruppen und der Varianz zwischen den Gruppen. Durch den Vergleich dieser beiden Komponenten kann entschieden werden, ob die Gruppenmittelwerte als unterschiedlich betrachtet werden sollen oder nicht.

Das obige ist ein Beispiel für eine einseitige Varianzanalyse. Es gibt einen Faktor (Herkunft) und drei Ebenen (die drei Gruppen, Friesen, Holländer und Limburger). Es wird untersucht, ob sich die Mittelwerte für die Variable (in diesem Fall Länge) zwischen den einzelnen Stufen des Faktors deutlich stärker unterscheiden als sie sich innerhalb der einzelnen Stufen unterscheiden.

Formeln

wenn Model wir nehmen an, dass die Höhe in jedem der ${Anzeigestil a=3}$ Gruppen a Normalverteilung hat, mit Erwartungswerte bzw. ${displaystyle mu _{1}, mu _{2}}$ und ${displaystyle mu_{3}}$ und das gleiche für jede Gruppe Abweichung ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ .

Es ist üblich, den durchschnittlichen Pegel des zu messen ${Anzeigestil a}$ Gruppen mit ${Anzeigestil mu}$ und deren Abweichungen mit ${displaystyle alpha _{i},}$ So:

{displaystyle mu _{i}=mu alpha _{i}}

,

so dass:

{Anzeigestil Summe Alpha _{i}=0}

Die systematischen Unterschiede spiegeln sich dann in der ${displaystyle alpha_{i}}$ s.

Aus den Gruppen, die wir nehmen (unabhängig, zufällig) Proben, der Einfachheit halber alle gleich groß ${displaystyle m}$ :

{displaystyle X_{11},ldots ,X_{1m},X_{21},ldots ,X_{2m},X_{31},ldots ,X_{3m}}

Für ein solches Element können wir schreiben:

{displaystyle X_{ij}=mu alpha _{i} U_{ij}}

Die Länge des ersten gemessenen Friesen beträgt beispielsweise:

{displaystyle X_{11}=mu alpha _{1} U_{11}}

,

also die Summe des allgemeinen Mittelwerts ${Anzeigestil mu}$ , die Abweichung ${displaystyle alpha_{1}}$ davon für Friesen im Allgemeinen und ein persönlicher Beitrag ${Displaystil U_{11}}$ .Die persönlichen Beiträge (Fehlerbegriffe) ( ${displaystyle U_{ij}}$ ) sind voneinander unabhängig und alle ${Anzeigestil N(0,Sigma ^{2})}$ -geteilt.

Für die Berechnungen nehmen wir als Ergebnis der Stichprobe folgende einfache, fiktive Zahlen:

Friesen: 171.181.191

Niederländisch: 169.179.189

Limburger: 161.171.181

Die Gesamtsumme der Quadrate ${displaystyle SST}$ von Abweichungen vom allgemeinen Mittelwert ${Anzeigestil X..}$ (Es ist üblich, Durchschnittswerte anzugeben, indem man den gemittelten Index durch einen Punkt ersetzt) kann wie folgt erklärt werden:

{displaystyle SST=sum(X_{ij}-X..)^{2}=}

{displaystyle =sum _{i,j}(X_{ij}-X_{i}.X_{i}.-X..)^{2}=}

{displaystyle =sum _{i,j}(X_{ij}-X_{i}.)^{2} msum _{i}(X_{i}.-X..)^{2}}

In unserem Beispiel ${Anzeigestil X..=177,}$ so dass : ${Anzeigestil SST=36 16 196 64 4 144 256 36 16=768}$

Die erste Komponente,

{displaystyle SSE=sum _{i,j}(X_{ij}-X_{i}.)^{2}}

,

beschreibt die Variation innerhalb der Gruppen aufgrund der Abweichungen innerhalb jeder Gruppe vom Gruppenmittel.

Die zweite Komponente,

{displaystyle SSA=msum _{i}(X_{i}.-X..)^{2}}

,

beschreibt die Variation zwischen den Gruppen aufgrund der Abweichungen der Gruppenmittelwerte vom allgemeinen Mittelwert.

In unserem Beispiel ist:

{displaystyle X_{1}.=181, X_{2}.=179}

und

{Displaystil X_{3}.=171}

,

so dass

{Anzeigestil SSE=600}

und

{displaystyle SSA=168}

Unter der Nullhypothese keine Unterschiede gilt für die Verteilungen:

{Anzeigestil SSE/Sigma ^{2}}

ist Chi-Quadrat mit ${Anzeigestil a(m-1)}$ Freiheitsgrade und

{Displaystil SSA/Sigma ^{2}}

ist Chi-Quadrat mit ${Anzeigestil a-1}$ Freiheitsgrade.

Unter der mittleren Quadratsumme versteht man die Summe der Quadrate dividiert durch die entsprechenden Freiheitsgrade:

{Anzeigestil MSE=SSE/(a(m-1))}

und

{Anzeigestil MSA=SSA/(a-1)}

Im Muster: ${Displaystil MSA=168/2=84}$ und ${Anzeigestil MSE=600/6=100}$ .

Als Teststatistik ${Anzeigestil F}$ man nimmt den Quotienten dieser mittleren Quadratsummen:

{Anzeigestil F=MSA/MSE}

Wenn die Nullhypothese wahr ist, hat ${Anzeigestil F}$ ein F-Verteilung mit ${Anzeigestil a-1}$ Freiheitsgrade im Zähler und ${Anzeigestil a(m-1)}$ im Nenner. Beachten Sie, dass der unbekannte Parameter ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ging beim Teilen verloren. Wenn die Nullhypothese nicht wahr ist, ist das ziemlich einfach zu sehen ${Anzeigestil F}$ nimmt statistisch größere Werte an. Die Nullhypothese wird somit für große Werte von abgelehnt ${Anzeigestil F}$ .

Also in unserem Beispiel: ${Anzeigestil F=84/100=0{,}84}$ . Schon seit ${Anzeigestil F<1}$ , ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit ${displaystyle p>0{,}5}$ ; Es gibt also keinen Grund, die Nullhypothese abzulehnen.

Tabelle

Die Ergebnisse der Berechnungen werden in der Regel in einer Varianzanalysetabelle dargestellt:

Faktor	Freiheitsgrade	quadr.summe	durchschn.quadr.summe	${Anzeigestil F}$	p-Wert

Gruppe	2	168	84	0,84	> 0,5
Error	6	600	100

gesamt	8	768

Wir hätten sofort erkennen können, dass die Stichprobe nicht signifikant ist, da es innerhalb der Gruppen Abweichungen von 10 gegenüber gibt. der Gruppenmittelwert und die Differenzen zwischen den Gruppenmittelwerten nicht größer als 10 sind.

Lassen Sie uns die Streuung innerhalb der Gruppen wie folgt reduzieren:

Friesen: 180,181,182

Niederländisch: 178.179.180

Limburger: 170.171.172

dann bleiben die Gruppenmittel gleich, und so wieder:

{Displaystil SSA=3cdot (16 4 36)=168}

Aber jetzt heißt es:

{Anzeigestil SST=9 16 25 1 4 9 49 36 25=174}

und

{Anzeigestil SSE=6}

Die Unterschiede zwischen den Gruppen sind jetzt viel größer als innerhalb der Gruppen.

Die Varianzanalysetabelle lautet nun:

Faktor	Freiheitsgrade	quadr.summe	durchschn.quadr.summe	${Anzeigestil F}$	p-Wert

Gruppe	2	168	84	84	≈ 0
Error	6	6	1

gesamt	8	174

Es gibt daher allen Grund anzunehmen, dass sich die Gruppenmittelwerte voneinander unterscheiden.

Mehrwege-Varianzanalyse

Eine ähnliche Analyse kann auch mit mehr Faktoren durchgeführt werden. Wir sprechen dann von Mehrwege-Varianzanalyse, oder auf die Anzahl der Faktoren, die beispielsweise aus der Drei- und Vier-Wege-Varianzanalyse berücksichtigt werden. Eine Komplikation ist, dass sich die Faktoren gegenseitig beeinflussen können, was als . bezeichnet wird Interaktion. Außerdem werden die Formeln mit zunehmender Anzahl von Faktoren komplizierter und weniger klar. Ein wichtiger praktischer Nachteil vieler Faktoren ist die notwendige große Stichprobengröße für eine zuverlässige Analyse.

Beispiel

Wir diskutieren ein Beispiel für eine Zwei-Wege-Varianzanalyse.

In einer Studie zum Ertrag von Weizensorten in Abhängigkeit von der Bodenbeschaffenheit werden 4 Weizensorten verglichen, die jeweils auf 3 Bodenarten wachsen. Es gibt also zwei Faktoren: Arten auf 4 Ebenen und Boden auf 3 Ebenen. Der Erlös ${Anzeigestil X}$ einer Weizenähre wird modelliert als:

{displaystyle X_{ijk}=mu alpha _{i} eta _{j} alpha eta _{ij} U_{ijk}}

Darin steht:

{displaystyle X_{ijk}}

der Erlös der Ohrnummer

{displaystyle k}

Von Art

{Anzeigestil i}

basierend auf

{Anzeigestil j}

{Anzeigestil mu}

der erwartete Ertrag gemittelt über alle Arten und Böden

{displaystyle alpha_{i}}

der Beitrag zum Ertrag der Arten

{Anzeigestil i}

{displaystyle eta_{j}}

der Beitrag zum Ertrag von Land

{Anzeigestil j}

{displaystyle U_{ijk}}

aar .s eigener spezifischer Beitrag

{displaystyle k}

Von Art

{Anzeigestil i}

basierend auf

{Anzeigestil j;}

voneinander unabhängig und

{Anzeigestil N(0,Sigma ^{2})-}

als geteilt angenommen.

Der Begriff

{displaystyle alpha eta _{ij}}

der sogenannte Interaktionsbegriff bedarf noch einiger weiterer Erläuterungen. Diese beziehen wir nicht immer in das Modell ein. Wenn Grund zu der Annahme besteht, dass eine bestimmte Weizensorte auf einer Bodenart besser gedeiht und eine andere auf einer anderen Bodenart besser gedeiht, dann besteht eine Wechselwirkung zwischen der Weizenart und der Bodenart. Um seine Wirkung in das Modell zu beschreiben, nehmen wir den oben erwähnten Interaktionsterm auf. Es ist üblich, diese mit den Symbolen der interagierenden Faktoren darzustellen, also hier ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ (also nicht als Produkt von beidem zu lesen!)

Die Varianzanalyse bedeutet nun, dass die Gesamtquadratsumme wie folgt zerlegt wird (auch hier zeigt a . an, dass der betreffende Index gemittelt wird):