WikiDer > Wilcoxon-Schlüssel

Das Wilcoxon-Test für zwei Proben ist ein verteilungsfrei (statistisch)-Taste, um zu sehen, ob zwei Verteilungen gegeneinander versetzt sind. Der Schlüssel ist nach dem benannt amerikanischChemikerFrank Wilcoxon und äquivalent zu dem Mann Whitney-Test.

Beispiel

Ein Vermesser hat ein neues Theodolit weil der alte ersetzt werden muss. Das Instrument hat die gleiche Marke und das gleiche Design wie das alte. Um zu überprüfen, ob die Nullstellungen der Instrumente gleich sind, misst er mit beiden Instrumenten mehrmals die gleiche Höhe. Er nimmt 10 Messungen X mit dem alten Instrument und 12 Messungen Y mit dem neuen vor.

Wir können davon ausgehen, dass die Ausschüttungen von X und von Y sind bis auf eine Verschiebung gleich.

Das Nullhypothese ist, dass die Nulleinstellungen gleich sind, also die Verteilungen exakt gleich sind, ohne sich zu verschieben Als Alternativhypothese nehmen wir der Einfachheit halber eine einseitige, nämlich dass das neue Instrument systematisch zu hoch misst.

Mit dem alten Instrument misst er sukzessive:

Instrument X:

3,0163

3,0147

3,0175

3,0150

3,0123

3,0169

3,0143

3,0122

3,0154

3,0164

Mit dem neuen Instrument misst er:

Instrument Y:

3,0148

3,0146

3,0162

3,0155

3,0153

3,0190

3,0187

3,0167

3,0152

3,0178

3,0177

3,0158

Wir ordnen die Ergebnisse nach Größe:

Rangnummer:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Instrument:	X	X	X	Ja	X	Ja	X	Ja	Ja	X	Ja	Ja
Gemessener Wert:	3,0122	3,0123	3,0143	3,0146	3,0147	3,0148	3,0150	3,0152	3,0153	3,0154	3,0155	3,0158

Fortsetzungstabelle:

13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Ja	X	X	Ja	X	X	Ja	Ja	Ja	Ja
3,0162	3,0163	3,0164	3,0167	3,0169	3,0175	3,0177	3,0178	3,0187	3,0190

Als nächstes listen wir die Instrumentenbezeichnungen aus der Tabelle auf:

X X X Y X Y X Y Y X Y Y Y X X Y X X Y Y Y Y

Unter der Nullhypothese ist die Wahrscheinlichkeit eines X für jede Stelle in der Reihe gleich, aber unter der Alternativhypothese gibt es X am Anfang der Reihe mit größerer Wahrscheinlichkeit und Y am Ende der Reihe. Im Extremfall waren die Messungen wie folgt:

X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Klar ist: Das neue Instrument liefert systematisch höhere Werte als das alte. Wenn wir finden:

Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X

Obwohl dies ein ganz besonderes Ergebnis ist, besteht kein Anlass, dem neuen Instrument zu misstrauen.

Was sollen wir aus dem erhaltenen Ergebnis schließen? Auf den ersten Blick erscheinen die X eher links und die Y mehr rechts. Also Beweis gegen die Nullhypothese. Aber ist dieses Ergebnis aussagekräftig? Um dies zu überprüfen, berechnet die Teststatistik ${Anzeigestil W}$ die Summe der Ränge der X in der Reihe. Also in unserem Fall:

${Anzeigestil W=1 2 3 5 7 10 14 15 17 18=92}$

Es versteht sich, dass es umso mehr Gründe gibt, die Nullhypothese abzulehnen, je kleiner W ist. Aber ist unser Ergebnis ${Anzeigestil W=92}$ zu klein? Die Wahrscheinlichkeit erlaubt die Verteilung von ${Anzeigestil W}$ unter der Nullhypothese, unter Verwendung der Tatsache, dass, wenn die Nullhypothese wahr ist, alle möglichen Anordnungen der X und Y gleich wahrscheinlich sind. Diese Berechnung müssen wir nicht immer selbst durchführen, dafür gibt es Tabellen.

Definition

Die Zwei zufällige Variablen${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sein voneinander unabhängig und kontinuierlich verteilt mit Verteilungsfunktionen${Anzeigestil F}$ beziehungsweise ${Anzeigestil G}$ die bis auf einen Offset gleich sind. Es gilt also:

${Anzeigestil G(x)=F(x-a)}$.

Von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sein Stichproben${displaystyle X_{1},ldots ,X_{m}}$ und ${displaystyle Y_{1},ldots ,Y_{n}}$ gegeben.

Die Teststatistik ${displaystyle W_{m,n}}$ des Wilcoxon-Tests zum Testen der Nullhypothese

${Displaystil H_{0}:a=0}$

besteht aus der Summe der Ranglisten aus einer der Proben, sagen wir ${Anzeigestil X}$, in der Summe der Beobachtungen:

${Anzeigestil W_{m,n}=Summe _{i=1}^{m}R(X_{i})}$.

Also darin ${Displaystil R(X_{i})}$ der Rang von ${displaystyle X_{i}}$ in der geordneten Reihenfolge beider Proben. Je nach Alternativhypothese wird die Nullhypothese für zu kleine, zu große oder zu kleine und zu große Werte von . verworfen ${displaystyle W_{m,n}}$.

Genaue Verteilung

Für Muster mit Größe ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$, kann die genaue Verteilung der Teststatistik sein ${displaystyle W_{m,n}}$ unter der Nullhypothese mit Kombinatorik leicht bestimmt werden. Bei größeren Stichen erhöht sich jedoch der Rechenaufwand erheblich. Die Verteilung kann auch mit der folgenden rekursiven Formel bestimmt werden. Die Formel entsteht durch Konditionierung unter der Bedingung, dass der letzte Wert in der Reihenfolge ein X ("...X") oder ein Y ("...Y") ist.

${Anzeigestil p_{m,n}(w)=P(W_{m,n}=w)=P(W_{m,n}=w|lPunkte X)P(lPunkte X) P(W_{m,n }=w|lPunkte Y)P(lPunkte Y)=}$

${displaystyle =P(W_{m-1,n}=w-m-n){frac {m}{m n}} P(W_{m,n-1}=w){frac {n}{m n}}=}$

${displaystyle ={frac {m}{m n}}p_{m-1,n}(w-m-n) {frac {n}{m n}}p_{m,n-1}(w)}$

Normaler Ansatz

Für größere Werte von ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ kann a normaler Ansatz angewendet werden. Der Erwartungswert und die Varianz von ${displaystyle W_{m,n}}$ unter der Nullhypothese sind gegeben durch:

${displaystyle operatorname {E} _{0}W_{m,n}={ frac {1}{2}}m(m n 1)}$

${displaystyle operatorname {var} _{0}W_{m,n}={ frac {1}{12}}mn(m n 1)}$

Mann Whitney-Schlüssel

Das Mann Whitney Test berechnet eine andere Größe, um die Reihenfolge der X- und Y-Werte zu vergleichen ${Displaystil U}$, die jedoch in die Wilcoxon-Teststatistik umgewandelt werden kann.