WikiDer > Sieb von Selberg

In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Sieb von Selberg eine Technik zum Schätzen der Größe von "gesiebten Mengen" von positivganze Zahlen die eine Reihe von Bedingungen erfüllen, die in Kongruenzen. Das Selberg-Sieb wurde in den 1940er Jahren von der norwegisch Mathematiker Atle Selberg.

Beschreibung

In Bezug auf die Siebtheorie ist das Sieb von Selberg der kombinatorischer Typ: das heißt, das Sieb von Selberg wird durch sorgfältige Verwendung der Prinzip der Inklusion und Exklusion. Selberg ersetzt die Werte der Möbius-Funktion erscheinen hier durch ein Gewichtungssystem, das dann optimiert wird, um auf ein gegebenes Problem zu reagieren passen. Das Ergebnis gibt a Obergrenze für die Größe der gesiebten Sammlung.

spät ein eine Menge von positiven ganzen Zahlen ≤ X sein und spät p eine Menge von Primzahlen sein. spät ein_p für jedes p im p die Menge der Elemente von ein angeben durch . teilbar p und erweitere diese um ein_d der Querschnitt des sein ein_p vor dem p die teilen auf d, wann d ein Produkt der verschiedenen Primzahlen von p ist. lass A₁ des Weiteren ein selbst angeben. spät z bezeichne eine positive reelle Zahl und sei p(z) das Produkt der Primzahlen in p bezeichne, dass ≤ z sein. Der Zweck des Siebes ist es, die folgende Formel abzuschätzen

${displaystyle S(A,P,z)=leftvert Asetminus igcup _{pmid P(z)}A_{p}ightvert .}$

Wir nehmen an, dass |ein_d| kann geschätzt werden durch

${displaystyle leftvert A_{d}ightvert ={frac {1}{f(d)}}X R_{d}.}$

wahr f ein multiplikative Funktion ist und X   =   |ein|. Lassen Sie die Funktion G erhalten Sie von f durch Möbius-Inversion, das ist das

${Anzeigestil g(n)=Summe _{dmid n}mu (d)f(n/d)}$

${Anzeigestil f(n)=Summe _{dmid n}g(d)}$

wo μ de Möbius-Funktion ist.

nehmen

${displaystyle V(z)=sum _{ egin{smallmatrix}d$

dann gilt

${displaystyle S(A,P,z)leq {frac {X}{V(z)}} Oleft({sum _{ egin{smallmatrix}d_{1},d_{2}$

Es ist oft nützlich, V(z) nach der Grenze zu schätzen

${displaystyle V(z)geq sum _{dleq z}{frac {1}{f(d)}}.,}$