WikiDer > Absolute Kontinuität

In dem MathematikerAnalyse wird der Begriff absolute Kontinuität für beide Funktionen wie für Größen benutzt. Beide Konzepte sind im Kontext der Lebesgue-Größe auf ${displaystyle mathbb {R} }$.

Absolut kontinuierliche Funktion

EIN reellwertige Funktion${displaystyle f}$ heiß absolut kontinuierlich wie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ einer ${Anzeigestil-Delta >0}$ existiert, so dass für jeden Warteschlange paarweise zusammenhangslosIntervalle${Anzeigestil ([x_{k},y_{k}], k=1,ldots,n)}$ was befriedigt

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})$

gilt:

${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}links|f(y_{k})-f(x_{k})ight|$

Eigenschaften

Jede absolut stetige Funktion ist auch gleichmäßig durchgehend und deshalb auch kontinuierlich. Jeder Lipschitz-weiterFunktion ist absolut kontinuierlich.

Das Bürofunktion ist überall stetig, aber nicht absolut stetig.

Absolut kontinuierliches Maß

Sie ${displaystyle (X,{mathcal {A}})}$ ein messbarer Raum, und ${Anzeigestil mu}$ und ${Anzeigestil u}$ zwei größen drauf Platz. Dan heißt ${Anzeigestil u}$absolut kontinuierlich relativ zu ${Anzeigestil mu}$, bemerkt ${displaystyle du ll mu}$, wenn überhaupt Nullmenge vor dem ${Anzeigestil mu}$ ist auch eine Nullmenge für ${Anzeigestil u}$, also für jeden ${displaystyle Nin {mathcal {A}}}$

${Anzeigestil mu(N)=0impliziert u(N)=0}$

Beispiele

Sie ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ ein nicht-negatives lebesgue-integrierbar Funktion. Das messen${Anzeigestil mu}$, definiert durch die Verordnung

${displaystyle mu (A)=int _{A}f(x),mathrm {d} x}$

ist absolut stetig bezüglich der lebesgue kamerad.

Das Dirac-Größe${Anzeigestil u}$, die lebesgue-messbar erfüllen Kollektionen weist den Wert 1 oder 0 zu, je nachdem ob die Menge die Zahl 0 enthält oder nicht, ist nicht absolut kontinuierlich in Bezug auf das lebesgue-Maß.

Beziehung zwischen den beiden Konzepten

Eine Größe ${Anzeigestil mu}$ auf den reellen Zahlen ist bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut stetig dann und nur dann, wenn ihr Verteilungsfunktion

${displaystyle xmapsto F(x)=mu ((-infty ,x])}$

ist eine absolut stetige Funktion.

Radon-Nikodym-Theorem

wenn ${Anzeigestil mu}$ und ${Anzeigestil u}$endlich Größen sind auf einer messbaren Fläche ${displaystyle (X,{mathcal {A}})}$, und ${displaystyle du ll mu}$, dann gibt es a ${Anzeigestil mu}$-integrierbare Realfunktion ${displaystyle f}$ auf ${Anzeigestil X}$ mit der Eigenschaft, dass für jeden ${displaystyle Sin {mathcal {A}}}$ gilt:

${displaystyle u(S)=int _{S}f,mathrm {d}mu}$

In dem Wahrscheinlichkeit dieser Satz wird wie folgt interpretiert: wenn das Verteilungsmaß von a stochastische Variable absolut stetig in Bezug auf das lebesgue-Maß ist, dann hat die Variable a Wahrscheinlichkeitsdichte. Wir sprechen dann von a kontinuierliche stochastische Variable.

wenn ${Anzeigestil u}$ ist nicht absolut stetig bezüglich ${Anzeigestil mu}$, dann kann es eindeutig in einen absolut stetigen und einen singulären Teil aufgespalten werden, siehe gegenseitig singuläre Größen.