WikiDer > Dirac-Größe

In dem Maßtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Dirac-Größe, δ_X, auf einen SammlungX (mit jedem σ-Algebra von Teilmengen von X) das messen, dass die Singleton (X) ergibt das Maß 1, dies für einen Auserwählten ElementX ∈ X:

${Anzeigestil Delta _{x}links({x}ight)=1.}$

Im Allgemeinen ist das Maß definiert durch

${displaystyle delta _{x}(A)={ egin{cases}0,&xot in A;/1,&xin A.end{cases}}}$

für jeden messbare Sammlungein ⊆ X.

Die Dirac-Größe ist a Wahrscheinlichkeitsmaß und repräsentiert in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit die fast sicher Ergebnis X in dem MusterzimmerX. Wir können auch sagen, dass die Größe eine Single ist Atom auf X ist. Das Dirac-Maß als atomares Maß zu behandeln, ist jedoch nicht richtig, wenn wir die sequentielle Definition des Dirac-Deltas als Grenze einer Delta-Ordnung betrachten. Die Dirac-Größen sind die Extrempunkte des konvexe Sammlungen der Wahrscheinlichkeitsmaße auf X.

Der Name ist eine Ableitung von der Dirac-Delta-Funktion, Als ein Schwartz-Verteilung, zum Beispiel die echte Linie; Größen können als Sonderform der Distribution angesehen werden. Die Identität

${displaystyle int _{X}f(y),mathrm {d} delta _{x}(y)=f(x),}$

die in der Form

${displaystyle int _{X}f(y)delta _{x}y,mathrm {d} (y)=f(x),}$

oft als Teil der Definition der "Deltafunktion" gesehen, gilt als Satz von Lebesgue-Integration.

Eigenschaften einer Dirac-Größe

spät δ_X eins, an einem beliebigen Fixpunkt X zentriert ist, misst Dirac in einem messbaren Raum (X, ) angeben.

• δ_X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und damit ein endliches Maß.

Annehmen (X, T) ein topologischer Raum und dass Σ mindestens so "fein" ist wie das Borel σ-Algebraσ(T) auf X.

• δ_X ist dann und nur dann ein streng positive Maßnahme als Topologie T so ist das X innerhalb jeden offene Sammlung liegt, das heißt: bei einer trivialen Topologie {∅,X}.
• Schon seit δ_X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, es ist auch a lokal endliches Maß.
• wenn X ein Hausdorff-Raum ist bei ihr Borel σ-Algebra, dann genügt δ_X unter der Bedingung, dass es eine interne normale Größe ist, da die Singleton Sammlungen wie {X}, immer kompakte Räume sein. δ_X ist also auch ein Radongröße.
• Annahme der Topologie T "gut" genug ist das {X} geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, dann die Träger von δ_X {X} (sonst supp(δ_X) die Schließung von {X} im (X, T)). Außerdem, δ_X der einzige Wahrscheinlichkeitsraum von {X} wird getragen.
• wenn X ein nein-dimensional Euklidischer RaumR^nein ist bei ihr üblich σ-Algebra und nein-dimensional Lebesgue-Größeλ^nein, dann ist δ_X ein einzigartige Größe über λ^nein: Teilen R^nein auf in ein = R^nein  {X} und B = {X} und wird sich bewusst, dass δ_X(ein) = λ^nein(B) = 0.