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sphärisches Dreieck

Das Kugeldreieckmessung, kugelförmig Trigonometrie oder sphärische Trigonometrie ist ein wichtiger Teilbereich der Kugelgeometrie. Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit der Berechnung der Elemente (Seiten und Winkel) von Kugeldreiecken.

Typische Anwendungen sind:

• Entfernungsberechnungen zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche, wenn ihre geographischen Koordinaten angegeben sind.
• Bestimmung der Position eines Sterns auf der Himmelskugel mit Hilfe des astronomischen Dreiecks.

Historischer Hintergrund

Die Entwicklung der sphärischen Trigonometrie ist eng mit der Astronomie verbunden. Um 350 v. Chr. dachten bereits die alten Griechen über Kugelgeometrie nach. Aber es sind die Araber, die - aufbauend auf den Entdeckungen der Griechen und Inder - im Jahr 900 Sinusregel entdeckt. Auf den Entdeckungsreisen des 15. Jahrhunderts bestand ein großer Bedarf an Werkzeugen zur Bestimmung von Entfernungen und Positionen auf See. Um diese Zeit erfuhr die sphärische Trigonometrie eine bedeutende Entwicklung. Schon damals wurden die Sinusregel, die Tangensformeln und die Kosinusregel für die Seiten des Dreiecks verwendet. Ein Jahrhundert später wurde der Kosinussatz für die Winkel (der zweite Kosinussatz) gefunden. Im 17. Jahrhundert wurden neue mathematische Techniken, wie die Logarithmen, entwickelt und die neuen Methoden der sphärischen Trigonometrie wurden in vielen Bereichen wie der Kartographie angewendet.

Einheitsbirnenkonvention in diesem Artikel in

Sofern nicht anders angegeben, ist unten eine Kugel a Einheitskugel beabsichtigt. Die Länge eines Bogens von a schöner Kreis ist dann gleich dem Mittenwinkel auf diesem Bogen stehen.

Das sphärische Dreieck

EIN sphärisches Dreieck wird von drei Punkten gebildet ${Anzeigestil A,B}$ und ${Anzeigestil C}$ von a sphärische Oberfläche was nicht auf a ist schöner Kreis und die durch Bögen von Großkreisen verbunden sind, die kleiner als Halbkreise sind. Die Punkte ${Anzeigestil A,B}$ und ${Anzeigestil C}$ heißen die Eckpunkte des sphärischen Dreiecks, die Bögen ${Anzeigestil a=BC,,b=CA}$, und ${Anzeigestil c=AB}$ die Seiten und die Kugelwinkel ${displaystyle alpha=BAC,,eta=CBA}$ und ${Displaystil-Gamma = ACB}$ die Ecken des Kugeldreiecks.

In Kugelgeometrie:

1. jede Seite eines kugelförmigen Dreiecks ist kleiner als die Summe der anderen beiden;
2. der Umfang eines kugelförmigen Dreiecks ist kleiner als der eines Großkreises

Grundformel

Die Grundformel der Kugeldreiecksmessung, auch bekannt als zuerst Kosinusregel ist die Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel eines kugelförmigen Dreiecks. Mit Hilfe von Triangulation und einigen Sätzen der Kugelgeometrie kann man diese Grundformel ableiten.

Für sphärisches Dreieck ${Anzeigestil ABC}$ gilt:

${displaystyle cos a=cos bcos c sin bsin ccos alpha }$

und analog für die anderen Seiten und Winkel.

Das ${displaystyle { oldsymbol { au }}}$ (tau) Transformationen

Notwendige Dreiecke und Polardreiecke

Seitenwinkel

die Seiten ${Anzeigestil AB}$ und ${Anzeigestil AC}$ des sphärischen Dreiecks ${Anzeigestil ABC}$ schneiden sich ein zweites Mal im Kontrapunkt ${Anzeigestil A'}$ von ${Anzeigestil A}$. Das Dreieck ${Anzeigestil A'BC}$ heißt der sekundäres Dreieck von ${Anzeigestil ABC}$ relativ zum Punkt ${Anzeigestil A}$. wird genannt ${Anzeigestil a',b',c',A',B',C'}$ die Elemente dieses sekundären Dreiecks, dann ist

${displaystyle { egin{matrix}a'=a&b'=pi -b&c'=pi -c/alpha '=alpha & eta '=pi - eta &gamma '=pi -gamma end{matrix}}}$

Polardreieck

Jeder auf einer Kugelfläche liegende Kreis hat zwei Pole, nämlich die Endpunkte der Mittellinie, die senkrecht zur Kreisebene steht.

Durch den großen Kreis ${displaystyle BC}$ des sphärischen Dreiecks ${Anzeigestil ABC}$ hat zwei Pole. Der Pol, der auf der gleichen Seite ist wie ${Anzeigestil A}$ heißt der Pool ${Displaystil A_{1}}$ von ${Anzeigestil A}$. Das Dreieck ${Displaystil A_{1}B_{1}C_{1}}$ gebildet durch die Pole der drei Ecken heißt die Polardreieck von ${Anzeigestil ABC}$.

In der Kugelgeometrie beweist man, dass jede Seite eines der Dreiecke und der entsprechende Winkel des anderen Dreiecks sind komplementär. Damit,

${displaystyle { egin{matrix}a_{1}=pi -alpha &b_{1}=pi - eta &c_{1}=pi -gamma /alpha _{1}=pi -a& eta _{1}=pi -b&gamma _{1}=pi -cend{array}}}$

Gibt es eine Beziehung zwischen den Elementen eines beliebigen Kugeldreiecks der Form:

${Anzeigestil F(a,b,c,alpha, eta,gamma)=0}$,

dann gilt diese Beziehung auch für das Nebendreieck und das Polardreieck, und somit erhält man zwei neue Beziehungen:

${Anzeigestil F(a',b',c',alpha ',eta',gamma')=0}$

oder

${displaystyle F(a,pi -b,pi -c,alpha ,pi -eta ,pi -gamma )=0quad }$ (1)

und

${displaystyle F(a_{1},b_{1},c_{1},alpha _{1}, eta _{1},gamma _{1})=0}$

oder

${displaystyle F(pi -alpha ,pi -eta ,pi -gamma ,pi -a,pi -b,pi -c)=0quad }$ (2)

Es wird gesagt, dass diese Beziehungen ${displaystyle au }$Transformationen können voneinander abgeleitet werden.

Sphärisches Übermaß

Der sphärische Überschuss ${Anzeigestil E}$ eines kugelförmigen Dreiecks ist die Differenz der Winkelsumme und eines geraden Winkels:

${displaystyle E=alpha eta gamma -pi}$

Es gibt ${Anzeigestil E}$ ist positiv und kleiner als jeder Winkel.

Häufiger ist es ein kugelförmiger Überschuss ${Anzeigestil E}$ einer Glühbirnenein-Dreieck die Summe der Winkel minus ${Anzeigestil (n-2)pi}$.

${Anzeigestil E}$ ist gleich der Fläche und damit auch gleich der Raumwinkel vom Mittelpunkt der Kugel.

Umfang

Der Umfang eines kugelförmigen Dreiecks ist:

${displaystyle a b c<2pi }$

Formeln der Halbwinkel als Funktion der Seiten

${displaystyle cos {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {sin pcdot sin(p-a)}{sin bcdot sin c}}}quad}$ (C)

${displaystyle sin {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {sin(p-b)cdot sin(p-c)}{sin bcdot sin c}}}quad}$ (S)

${displaystyle an {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {sin(p-b)cdot sin(p-c)}{sin pcdot sin(p-a)}}}}$

Die Sinusregel

Aus den vorherigen Formeln folgt:

${displaystyle {frac {sin alpha }{sin a}}={frac {sin eta }{sin b}}={frac {sin gamma }{sin c}}}$

In Worten: die Sinus der Winkel eines kugelförmigen Dreiecks sind mit den Sinus der gegenüberliegenden Seiten verwandt.

Die zweite Kosinusregel

Anwendung der ${displaystyle { oldsymbol { au }}}$Transformation auf die Basisformel ergibt:

${displaystyle cos alpha =-cos eta cdot cos gamma sin eta cdot sin gamma cdot cos a}$

und analog für die anderen Seiten.

Die zweite Kosinusregel wird on François Viete zugeschrieben.

Die Kotangensregel

Die Kotangensregel ist eine Beziehung zwischen zwei Seiten, dem eingeschlossenen Winkel und dem entgegengesetzten Winkel.

${displaystyle bett acdot sin b = cos bcdot cos gamma sin gamma cdot bett alpha }$

Das rechteckige Kugeldreieck

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer seiner Winkel rechtwinklig ist. Wenn zum Beispiel der Winkel ${displaystyle alpha }$ gerade ist, heißen die anderen beiden Winkel ${displaystyle eta }$ und ${Displaystil-Gamma }$ schief. Die Seite ${Anzeigestil a}$ ist die Hypotenuse und ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$ sind die rechteckigen Seiten. Also da ist ${displaystyle alpha=pi /2}$, so dass:

${displaystyle cos a=cos bcdot cos c}$

${displaystyle sin b=sin acdot sin eta }$

${displaystyle sin c=sin akdot sin gamma }$

${displaystyle bett a = bett ccdot cos eta }$

${displaystyle bett a = bett bcdot cos gamma }$

${displaystyle Kinderbett ccdot sin b=Kinderbett gamma }$

${displaystyle bett bcdot sin c = bett eta }$

${displaystyle cos eta =cos bcdot sin gamma }$

${displaystyle cos gamma = cos ccdot sin eta }$

${displaystyle cos a = Kinderbett eta cdot Kinderbett Gamma }$

Formeln von Delambre

Delambre veröffentlichte 1807 die folgenden Formeln ohne Beweis:

${displaystyle { egin{matrix}{cfrac {sin {frac {alpha eta }{2}}}{cos {frac {gamma }{2}}}}={cfrac {cos {frac {ab}{2}}} {cos {frac {c}{2}}}}&{cfrac {cos {frac {alpha eta}{2}}}{sin {frac {gamma }{2}}}}={cfrac {cos {frac { ab}{2}}}{cos {frac {c}{2}}}}/&/{cfrac {sin {frac {alpha - eta}{2}}}{cos {frac {gamma}{2}} }}={cfrac {sin {frac {ab}{2}}}{sin {frac {c}{2}}}}&{cfrac {cos {frac {alpha - eta}{2}}}{sin { frac {gamma}{2}}}}={cfrac {sin {frac {ab}{2}}}{sin {frac {c}{2}}}}end{matrix}}}$

Die Analogien von Neper

Die Division der entsprechenden Mitglieder der Formeln von Delambre ergibt die Analogien von Fälschung:

${displaystyle { egin{matrix}{cfrac { an {frac {alpha eta }{2}}}{cot {frac {gamma }{2}}}}={cfrac {cos {frac {ab}{2}}} {cos {frac {ab}{2}}}}&{cfrac { an {frac {alpha - eta}{2}}}{cot {frac {gamma}{2}}}}={cfrac {sin {frac {ab}{2}}}{sin {frac {ab}{2}}}}/&/{cfrac { an {frac {ab}{2}}}{ an {frac {c}{2}}} }={cfrac {cos {frac {alpha - eta}{2}}}{cos {frac {alpha eta}{2}}}}&{cfrac { an {frac {ab}{2}}}{ an { frac {c}{2}}}}={cfrac {sin {frac {alpha - eta}{2}}}{sin {frac {alpha eta}{2}}}}end{matrix}}}$

Formeln, die aus dem sphärischen Überschuss abgeleitet werden können

Ausdrücke für die halbe Seite

Anwendung der ${displaystyle { oldsymbol { au }}}$Die Transformation für das Polardreieck nach den Formeln (C) und (S) ergibt:

${displaystyle sin {frac {a}{2}}={sqrt {frac {sin {frac {E}{2}}cdot sin(alpha -{frac {E}{2}})}{sin eta cdot sin gamma }}}}$

${displaystyle cos {frac {a}{2}}={sqrt {frac {sin( eta -{frac {E}{2}})cdot sin(gamma -{frac {E}{2}})}{sin eta cdot sin gamma }}}}$

${displaystyle an {frac {a}{2}}={sqrt {frac {sin {frac {E}{4}}cdot sin(alpha -{frac {E}{4}})}{sin(eta -{ frac {E}{4}})cdot sin(gamma -E)}}}}$

Ausdrücke für den sphärischen Überschuss E

${displaystyle sin {frac {E}{2}}={frac {sin {frac {a}{2}}cdot sin {frac {b}{2}}cdot sin gamma }{cos {frac {c}{2 }}}}}$

Formel von Cagnolie:

${displaystyle Kinderbett {frac {E}{2}}={frac {Kinderbett {frac {a}{2}}cdot Kinderbett {frac {b}{2}} cos gamma }{sin gamma }}}$

Formel von Euler:

${displaystyle cos {frac {E}{2}}={frac {1 cos a cos b cos c}{4cdot cos {frac {a}{2}}cdot cos {frac {b}{2}}cdot cos { frak {c}{2}}}}}$

Formel von LHuillier:

${displaystyle an {frac {E}{4}}={sqrt { an {frac {p}{2}}cdot an {frac {pa}{2}}cdot an {frac {pb}{2}}cdot an {frac {pc}{2}}}}}$

Die erste und letzte Formel sind bereits logarithmisch.

Anwendungen

Navigation und Entfernungsbestimmung auf der Erde

Geografische Koordinaten

Definition der geografischen Koordinaten

Das geografische Koordinaten von einem Punkt A auf dem Globus sind:

• die Länge ${Displaystil L_{A}}$, dies ist der Winkel, den die Meridian${displaystyle PAP'}$ durch ${Anzeigestil A}$ macht mit dem Nullmeridian (${displaystyle PWP'}$) (das Greenwich-Meridian) oder auch der Bogen zwischen diesen beiden Meridianen ${displaystyle WA'}$ am Äquator werden östliche und westliche Längengrade unterschieden;
• die Breite ${displaystyle varphi_{A}}$, das ist der sphärische Abstand ${Anzeigestil AA'}$ von diesem Punkt ${Anzeigestil A}$ zum Äquator; Es wird zwischen nördlichen und südlichen Breitengraden unterschieden.

Praxisbeispiel 1

Die Frage ist die kürzeste Entfernung zwischen zwei Orten auf einer (kugelförmigen) Erde, wenn die geografischen Koordinaten Breitengrad sind ${Anzeigestil Varphi }$ und Länge ${Anzeigestil L}$ berühmt sein.

Kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Erde

Die Erde wird als rein kugelförmig angenommen. Der kürzeste Weg ${Anzeigestil x}$ zwischen beispielsweise dem Flughafen Amsterdam Schiphol (AMS), Punt ${Anzeigestil A}$ und Los Angeles International Airport (LAX), dot ${Anzeigestil B}$ ist die Länge des Bogens ${Anzeigestil AB}$ über einen großen Kreis. Die geografischen Koordinaten von Schiphol sein ${displaystyle varphi _{A}=52^{circ }18'31'',,L_{A}=4^{circ }45'50''}$ und das von L.A. Int. Flughafen sein ${displaystyle varphi _{B}=33^{circ }56'33'',,L_{B}=-118^{circ }24'29''}$.

Anwenden der Grundformel auf das geografische Dreieck ${Anzeigestil PAB}$ gibt:

${displaystyle cos x=cos(90^{circ }-varphi _{A})cdot cos(90^{circ }-varphi _{B}) sin(90^{circ }-varphi _{A})cdot sin (90^{circ }-varphi _{B})cdot cos |L_{B}-L_{A}|}$

oder

${displaystyle cos x=sin varphi _{A}cdot sin varphi _{B} cos varphi _{A}cdot cos varphi _{B}cdot cos |L_{b}-L_{a}|}$,

so dass

${displaystyle cos x=sin 52^{circ }18'31''cdot sin 33^{circ }56'33'' cos 52^{circ }18'31''cdot cos 33^{circ }56'33' 'cdot cos 123^{circ }10'9''}$

${Anzeigestil =0{,}164331076}$

Geografische Koordinaten

Daraus folgt

${Displaystil x=80{,}5416227^{circ }=4832{,}49734838'}$

Jetzt auf der Erde 1' = 1 Seemeile = 1852 m, also

${displaystyle x=4832{,}4973838 imes 1{,}852,{ ext{km}}=8949{,}8,{ ext{km}}}$

Die Erde ist in Wirklichkeit ein Ellipsoid, die tatsächliche Entfernung ist daher etwas größer, die Abweichung entlang der geodätischen Linie auf dem Ellipsoid und dieser auf dem Großkreis weicht jedoch um weniger als 0,2% ab Da ein Flugzeug verpflichtet ist, Flugrouten zu folgen, ist die zurückgelegte Entfernung deutlich größer als der oben berechnete Wert.

Praxisbeispiel 2

Kurs eines Schiffes bei Abfahrt

Geografische Koordinaten

Welchen Kurs sollte ein Schiff bei der Abfahrt nehmen, um den kürzesten Weg vom Punkt zu nehmen? ${Anzeigestil A}$ (Chile) auf den Punkt ${Anzeigestil B}$ (Neuseeland) zu segeln.

${displaystyle varphi _{A}=33^{circ }2',{ ext{ZB}},,L_{A}=74^{circ }3',{ ext{WL}}}$

und

${displaystyle varphi _{B}=43^{circ }51',{ ext{ZB}},,L_{B}=170^{circ }45',{ ext{OL}}}$

Aus dem nautischen Kugeldreieck ${Anzeigestil PAB}$ sind die zwei seiten ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$, und der eingeschlossene Winkel ${displaystyle alpha }$ bekannt. Es kommt also auf die Ecke ${displaystyle eta }$ zu entscheiden. Der Abflugkurs, der Winkel mit dem Meridian, ist dann gleich ${displaystyle 180^{circ }-eta }$.

Die Anwendung der dritten Kotangensregel ergibt:

${displaystyle cot eta ={frac {cot bcdot sin c-cos bcdot cos alpha }{sin alpha }}}$

${displaystyle ={frac {cot(90^{circ }-varphi _{B})cdot sin(90^{circ }-varphi _{A})-cos(90^{circ }-varphi _{A}) cdot cos |L_{B}-L_{A}|}{sin |L_{B}-L_{A}|}}}$

${displaystyle ={frac { an varphi _{B}cdot cos varphi _{A}-sin varphi _{A}cdot cos |L_{B}-L_{A}|}{sin |L_{B}-L_{ A}|}}}$

${displaystyle ={frac { an 43^{circ }51'cdot cos 33^{circ }2'-sin 33^{circ }2'cdot cos 244^{circ }48'}{sin 244^{circ }48 '}}}$

Nach einigen Berechnungen folgt:

${displaystyle bett eta = an(90^{circ }-eta )=-1{,}146585376}$,

so dass

${displaystyle 90^{circ }-eta =-48{,}90653215^{circ }}$

oder

${displaystyle eta =41{,}09346785^{circ }=41^{circ }5'36''}$

Der Preis bei Abreise muss daher ${displaystyle 180^{circ }-eta =138^{circ }54'23''}$ sein.

Dies ist der kürzeste Winkel zwischen North und Departure Course.

Da Kompasskurse immer in Grad von Norden im Uhrzeigersinn angegeben werden, muss der Kompasskurs

${displaystyle 360^{circ }-138^{circ }54=221^{circ }06'=221{,}1^{circ }}$ (SW)

voraus.