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Komplexe Netzwerke sind ein relativ junges Forschungsgebiet, das sich aus der Graphentheorie und das konzentriert sich weniger auf das Studium von kleinen Grafiken, und die Eigenschaften einzelner Knoten und Seiten in diesen Graphen, aber mehr zu den statistische Eigenschaften von großen Netzwerken.

Vorwort

Ein Netzwerk ist eine Sammlung von Elementen mit Verbindungen zwischen. Wir nennen die Gegenstände Knoten, die Verbindungen zwischen ihnen Bögen. In der mathematischen Literatur sind Netzwerke normalerweise Grafiken erwähnt. Beispiele für Netzwerke sind die Internet, soziale Netzwerke, Neuronale Netze, Referenznetzwerke in wissenschaftlichen Arbeiten etc. Recherche zu Netzwerken in Form von Graphentheorie ist einer der wichtigsten Teile der diskrete Mathematik. Die Lösung von Euler für die "Sieben Brücken von KönigsbergenDas Problem von 1735 wird üblicherweise als erster Beweis in der Graphentheorie angesehen.In den letzten Jahren hat sich ein neuer Trend in der Graphenforschung herausgebildet, der sich weniger auf das Studium kleiner Graphen und die Eigenschaften einzelner Knoten und Bögen in diesen Graphen konzentriert auf der statistisch Eigenschaften großer Netzwerke. Diese Bewegung entstand, weil die Möglichkeit entstanden ist, ComputersTermine in viel größerem Maßstab als bisher möglich war. Während in der Vergangenheit Studien mit Graphen von einigen zehn oder manchmal einigen hundert Knoten durchgeführt wurden, werden heute Netzwerke mit Millionen oder sogar Milliarden von Knoten untersucht. Es gibt noch einen weiteren Grund, warum sich die Forschung zu Netzwerken verändert hat. Bei Graphen mit einigen zehn oder einigen hundert Knoten ist es noch möglich, den Graphen mit Punkten und Linien darzustellen und anhand dieser Abbildung Antworten auf bestimmte Fragen abzuleiten. Bei Graphen mit Millionen oder gar Milliarden Knoten ist dies nicht mehr möglich. Statistische Methoden sollen nun diese Aufgabe übernehmen und einen Einblick in die Struktur des Netzes geben.

Netzwerkeigenschaften

Mittlerer geodätischer und kleiner Welteffekt

Das bedeuten geodätischl eines Netzwerks ist die durchschnittliche kürzeste Entfernung zwischen zwei Knoten im Netzwerk. In den sechziger Jahren, Stanley Milgram ein Experiment, bei dem Briefe zwischen zwei zufälligen Personen verschickt wurden Nordamerika durch soziale Kontakte. Dieses Experiment zeigte, dass es nur wenige Schritte (etwa sechs) braucht, um einen Brief von Person a an Person b zu senden. In diesem Fall entspricht die Anzahl der Schritte der mittleren Geodäten im sozialen Netzwerk. Die Existenz von a kurz Der Weg zwischen zwei beliebigen Knoten in einem komplexen Netzwerk wird in der Literatur als kleiner welteffekt erwähnt. Das a kurz Weg zwischen zwei beliebigen Knoten kann statistisch dargestellt werden für Zufallsgrafiken. Eine wichtigere Schlussfolgerung, die wir aus den Ergebnissen des Experiments ziehen können, ist, dass Menschen diesen Weg anscheinend nur mit lokaler Kenntnis des Netzwerks finden können.

Das bedeuten geodätisch kann wie folgt definiert werden:

${displaystyle l={frac {1}{{frac {1}{2}}n(n 1)}}summe _{igeq j}d_{ij}}$

bei welchem ${displaystyle d_{ij}}$ die kürzeste Entfernung von Knoten ich knoten ja ist. Beachten Sie, dass die Formel den Abstand jedes Knotens von sich selbst enthält (der Null ist). Die mittlere Geodäte kann für ein Netzwerk mit nein Knöpfe und ich Bögen werden berechnet in ${Anzeigestil O(mn)}$ jetzt sofort Breite zuerstSuchalgorithmus.

Die Anwendung dieser Formel führt bei Graphen mit mehr als einer Komponente zu Problemen. In diesen Fällen gibt es Knotenpaare, zwischen denen kein Pfad existiert. Normalerweise ist der Abstand zwischen solchen Knoten gleich unendlich, aber dann l auch unendlich werden. Deshalb, l für diese Netze normalerweise definiert als die durchschnittliche kürzeste Entfernung zwischen allen Paaren, zwischen denen ein Pfad existiert. Paare mit Knoten in unterschiedlichen Komponenten werden daher nicht im Durchschnitt berücksichtigt.

Abschluss

Wir können den Durchschnitt für ein Netzwerk berechnen Grad Berechne seine Knoten. Diese Zahl gibt uns jedoch nicht viele Informationen, da sie nichts über die Verteilung der Abschlüsse aussagt. Daher ist es interessanter, eine Verteilung der Abschlüsse im Netz zu erstellen. Der Prozentsatz der Knoten im Netzwerk mit Grad k ist definiert als ${displaystyle p_{k}}$. Dieser Wert entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Knotengrad k hast. Die Serie ${displaystyle {p_{1},p_{2},...}}$, wir nennen die Gradverteilung. Die Gradverteilung kann visuell in a . dargestellt werden Histogramm. Statt Prozentsätze ${displaystyle p_{k}}$ kann auch die Anzahl der Knoten mit Grad angeben k werden im Histogramm angezeigt.

Diese Darstellung bereitet Probleme für Einzelknotengraphen mit sehr hohem Grad, wie zum Beispiel Graphen mit a Machtgesetz Grad Verteilung. Bei den hohen Graden werden die statistischen Abweichungen so groß, dass in den Histogrammen deutliches Rauschen zu sehen ist. Eine alternative Darstellung, die dieses Problem minimiert, ist die kumulativ Gradverteilung. In diesem, statt der Chancen ${displaystyle p_{k}}$ die Chancen ${displaystyle P_{k}}$ gegeben mit ${displaystyle P_{k}=Summe _{k'=k}^{infty}p_{k'}}$, oder anders ausgedrückt die Wahrscheinlichkeit eines Knotens mit einem Grad größer oder gleich k.

Bipartitegraphen haben Knoten von zwei verschiedenen Typen. Knoten der gleichen Art haben nie gegenseitige Bögen, daher können wir für Bipartitegraphen eine Zwei-Grad-Division erstellen.

Potenzfunktion, Pareto-Verteilung und Zipf .-Gesetz

Eine gängige Gradverteilung in realen Netzwerken, einschließlich der waaronder Internet und soziale Netzwerke, ist ein Potenzfunktion Gradverteilung. Eine Potenzfunktionsverteilung ist eine Verteilung der Form:

${Anzeigestil P[X=x]=Cx^{-alpha }}$

Das kumulative Verteilung davon heißt a Pareto-Verteilung:

${displaystyle P[X>x]=Cx^{-lambda }}$

der Exponent ${ Anzeigestil Lambda }$ einer Pareto-Verteilung ist gleich ${displaystyle alpha -1}$, mit ${displaystyle alpha }$ der Exponent der entsprechenden Potenzverteilung. Wenn wir die Grade aller Knoten dieser Graphen nach ihrer Größe auftragen, erhalten wir a Zipfus Gesetz:

${displaystyle y=Cx^{- au}}$

Hier ist der Exponent ${displaystyle alpha }$ der entsprechenden Potenzfunktionsverteilung (Gradverteilung) gleich ${displaystyle 1 {frac {1}{au }}}$

Wenn wir von beiden Mitgliedern von ${displaystyle y=ax^{k}}$ das Logarithmus nehmen, wir bekommen we ${displaystyle log(y)=klog(x) log(a)}$, was äquivalent zu ist ${Anzeigestil y=mxc}$, die Gleichung einer Linie. Mit anderen Worten, eine Potenzfunktion (und auch Pareto-Verteilungen und Zipf-Gesetze) kann als a Gerade auf einen Diagramm im Logarithmische Darstellung.

Clustering

In vielen realen Netzwerken wurde festgestellt, dass, wenn Knoten A mit Knoten B und Knoten B mit Knoten C verbunden ist, eine höhere Wahrscheinlichkeit besteht, dass Knoten A auch mit Knoten C verbunden ist. Zum Beispiel für soziale Netzwerke: die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Freunde einer bestimmten Person auch miteinander befreundet sind, ist größer als zwei zufällige Personen Freunde sind. Diese Eigenschaft wird als Clustering bezeichnet. In Bezug auf die Netzwerktopologie bedeutet Clustering, dass es eine hohe Anzahl von Dreiecken im Netzwerk gibt. Ein Dreieck ist eine Ansammlung von drei Knoten, die jeweils miteinander verbunden sind. Ein Maß für die Clusterbildung in einem Netzwerk ist der Clustering-Koeffizient C:

${displaystyle C={frac {3 imes {mbox{die Anzahl der Dreiecke im Netzwerk}}}{mbox{die Anzahl der verbundenen Tripletts von Knoten}}}}$

bei welchem die Anzahl der verbundenen Tripletts von Knoten ist die Anzahl der Teilgraphen von 3 Knoten und 2 Bögen. Der Clustering-Koeffizient gibt den Prozentsatz der Tripletts mit einem dritten Bogen an, der sie zu einem Dreieck macht.

Muster

Der Clustering-Koeffizient liefert ein Maß für das Auftreten von Dreiecken in einem Netzwerk. In realen Netzwerken kehren häufig komplexere Muster (auch Motive genannt) wieder. Um zu zeigen, dass das Auftreten eines bestimmten Motivs nicht zufällig ist, muss gezeigt werden, dass das Motiv von Bedeutung häufiger im ursprünglichen Netzwerk als in vergleichbaren zufällige Netzwerke. Mit dem Konfigurationsmodell können wir vergleichbare Zufallsnetzwerke erstellen. Die Anzahl der Motive im realen Netz (${displaystyle N_{real}}$) kann dann mit der durchschnittlichen Anzahl von Motiven in den Zufallsnetzwerken verglichen werden (${displaystyle N_{rand}pm Sigma }$, mit ${Displaystil-Sigma}$ das Standardabweichung). Auf der Grundlage der Z-Score es lässt sich zeigen, ob das Motiv im Originalgraphen deutlich häufiger vorkommt. Der Z-Score gibt an, um wie viele Standardabweichungen die Differenz für das ursprüngliche Diagramm größer ist:${displaystyle Z={frac {N_{real}-N_{rand}}{sigma }}}$

Skalierungsfreie Netzwerke

Skalierungsfreie Netzwerke sind eine spezielle Art von Netzwerken, die in der Praxis üblich sind. Die wichtigste Eigenschaft skalierungsfreier Netzwerke ist, dass die meisten Knoten eine niedrige Grad aber einige Knoten haben einen sehr hohen Grad. Diese hochgradigen Knoten werden Naben angerufen und das Netzwerk zusammengehalten. Diese Eigenschaft macht skalierungsfreie Netzwerke robust gegenüber zufälligen Angriffen (über einen zufälligen Knoten), aber anfällig für gezielte Angriffe (im schlimmsten Fall über einen Hub).

Trotz der Tatsache, dass skalenfreie Netzwerke in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit erhalten haben, gab es bis vor kurzem keine genaue Definition. Darüber hinaus gab es keine Hinweise auf die angenommenen Eigenschaften dieser Netzwerke. Es kann sogar gezeigt werden, dass die Theorien Widersprüche enthielten und falsche Annahmen gemacht wurden. Erst 2005 wurde erstmals eine formale Definition vorgeschlagen, um einen Großteil der angenommenen Eigenschaften skalenfreier Netze zu beweisen.

Die meisten Graphen, die als skalenfrei gekennzeichnet sind, sind Graphen mit einer Potenzfunktions-Grad-Verteilung. Von M.E.J. Neumann in Aufbau und Funktion komplexer Netzwerke ein skalenfreies Netzwerk wird als Synonym für ein Netzwerk mit a . angesehen Leistungsfunktionsverteilung. Es wird diskutiert, dass skalenfrei bezieht sich nur auf die Gradverteilung. Der Begriff frei skalieren bezieht sich auf jede Funktion f(x) die unverändert bleibt, bezogen auf einen Skalierungsfaktor b na, wenn das argument X um einen Faktor ein wird multipliziert: ${Anzeigestil f(ax)=bf(x)}$. Potenzfunktionen stellen die einzige Funktion, die diese Bedingung erfüllt, dar. Eine Potenzfunktions-Gradverteilung impliziert die Existenz einiger weniger hochgradiger Knoten neben vielen niedergradigen Knoten. Die sogenannten Hubs haben jedoch nicht nur einen hohen Grad, sondern haben auch die Eigenschaft, das Netz zusammenzuhalten (robust aber angreifbar).

Neben der Potenzfunktions-Gradverteilung sind mit skalenfreien Netzen weitere Eigenschaften verbunden. Dies sind die Haupteigenschaften von skalierungsfreien (SF) Netzwerken, die in der Literatur beschrieben sind:

1. SF-Netzwerke haben a Potenzfunktion Gradverteilung.
2. SF-Netzwerke können durch bestimmte zufällige Grabmodelle (wie das Modell von Barabasi und Albert).
3. In SF-Netzwerken treten Hubs auf, die halte das Netzwerk zusammen und Sicherstellen, dass das Netzwerk sowohl robust als auch anfällig für den Ausfall bestimmter Knoten ist.
4. SF-Netzwerke sind generisch
5. Muster eines SF-Netzes spiegeln sich in Teilgraphen des Netzes wieder (Selbstähnlichkeit).
6. SF-Netzwerke sind universell, also unabhängig von domänenspezifischen Eigenschaften.

Oft wird eine dieser Eigenschaften (normalerweise die Potenzfunktions-Grad-Verteilung) demonstriert, um ein Netzwerk skalenfrei zu nennen. Die anderen Eigenschaften werden dann als Konsequenz gesehen.

Im Auf dem Weg zu einer Theorie maßstabsfreier Graphen: Definition, Eigenschaften und Implikationen führt eine neue Definition ein, die möglichst viele dieser Eigenschaften umfasst. Dafür, für ein Grab G das so-metrisch s(g) umgesetzt:

${Anzeigestil s(g)=Summe _{(i,j)in Epsilon}d_{i}d_{j}}$

Darin ist ${Anzeigestil Epsilon}$ die Sammlung von Bögen von G und ${displaystyle d_{i}}$ der Knotengrad ich. Dieses so-metric liefert ein Maß für das Vorhandensein von Hubs, da es maximiert wird, wenn Knoten in hohem Maße verbunden sind (dies folgt aus dem Reorganisationsungleichheit).für ein gegebenes Grab G kann das Maximum so-metrisch ${displaystyle s_{max}}$ für alle Graphen mit gleicher Gradverteilung berechnet werden wie G. Damit kann ein Maß zwischen 0 und 1 definiert werden:${displaystyle S(g)={frac {s(g)}{s_{max}}}}$Grafik mit ${Displaystil S(g)ca. 1}$ sein skalenfrei, Grafiken mit einem niedrigeren ${Anzeigestil S(g)}$schuppenreich. Es kann gezeigt werden, dass diese Definition die meisten der gegebenen Eigenschaften skalenfreier Netzwerke abdeckt. Es ist jedoch nicht der Fall, dass nur eine Potenzfunktionsverteilung impliziert, dass ein Netzwerk skalenfrei ist.

Zufällige Netzwerke

Zufällige Netzwerke werden häufig verwendet, um Eigenschaften von Netzwerken zu untersuchen. Zufällige Netzwerke können auf unterschiedliche Weise aufgebaut werden. Im Folgenden finden Sie Bewertungen einiger häufig verwendeter Modelle.

Erste zufällige Netzwerkmodelle

Ein erstes Modell zur Konstruktion eines beliebigen Graphen wurde vorgeschlagen von Paul Erdes und Alfred Renyic 1959. Erdös und Rényi definierten das Modell ${displaystyle G_{n,p}}$, hat ein nach diesem Modell konstruierter Graph nein Knoten und eine Wahrscheinlichkeit eines Bogens zwischen einem beliebigen Knotenpaar gleich p.

Rund um die Grenze für hoch nein zu nehmen ist der Durchschnitt Grad konstant gehalten an ${Anzeigestil z=p(n-1)}$. In diesem Fall hat das Modell a Giftgradverteilung weil das Vorhandensein oder Fehlen eines Bogens unabhängig ist und daher die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bogen den Grad k hat, gleich ist:

${displaystyle p_{k}={n wähle k}p^{k}(1-p)^{n-k}simeq {frac {z^{k}e^{-z}}{k!}}}$

Die ungefähre Gleichheit wird im Grenzwert für hoch . genau nein und behoben k. Daher sind diese Graphen auch Poisson-Zufallsgrafiken erwähnt.

Die Struktur eines Poisson-Zufallsgraphen wird hauptsächlich durch den Wert von . bestimmt p. Eine wichtige Eigenschaft von Poisson-Zufallsgraphen ist der Übergang von einem Graphen mit wenigen Bögen und kleinen Komponenten zu einem kleinen p, zu einem Grab mit vielen Bögen und einem großen und einigen kleinen Bauteilen. Diese Eigenschaft wird in der Literatur als Phasenübergang erwähnt. Die eine Komponente, die merklich größer ist als alle anderen, wird als bezeichnet riesiges Bauteil. Das Vorhandensein einer riesigen Komponente ist ein Merkmal, das auch in vielen realen Netzwerken vorhanden ist.

Eine Poisson-Grad-Verteilung ist in realen Netzwerken selten. Ein anspruchsvolleres und realistischeres Modell ist es Konfigurationsmodell. In diesem Modell ein Grab mit nein Knoten, die nach einer bestimmten Gradverteilung angeordnet sind. Die Gradverteilung ergibt für jeden Grad k die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten im Grab auftritt mit Grad k. Wir können die Gradverteilung als Folge von Graden darstellen ${displaystyle k_{i}}$ der Knöpfe i=1, ...,n. Wir können einen Graphen nach diesem Modell konstruieren, indem wir zu jedem Knoten hinzufügen ich zuerst ${displaystyle k_{i}}$ Halbbögen hängen und dann diese Halbbögen zufällig verbinden. Beachten Sie, dass es nicht möglich ist, für jede Gradverteilung ein Grab zu konstruieren. Das Konfigurationsmodell ist interessant, weil wir für einen gegebenen Graphen einen zufälligen Graphen mit der gleichen Gradverteilung konstruieren können. Dafür schneiden wir sind einfach alle Bögen in zwei und kleben dann nach dem Zufallsprinzip wieder zusammenbauen. Auf diese Weise können wir beispielsweise zeigen, dass ein Merkmal mit Parameter X ist spezifisch für das gegebene Grab, wenn X für den gegebenen Graphen weicht signifikant von X für Zufallsgraphen mit Gleichverteilung. Das Modell kann erweitert werden, um bipartite Zufallsgraphen zu konstruieren. In diesem Fall werden zwei Gradverteilungen benötigt, um den Zufallsgraphen zu konstruieren.

Das kleine Weltmodell

Die Topologie von Netzwerken kann strukturiert oder völlig zufällig sein. Beispiele für reale Netzwerke (wie soziale Netzwerke) liegen jedoch normalerweise irgendwo dazwischen. Sie zeichnen sich durch kurze mittlere Weglängen und einen hohen Clustering-Koeffizienten aus. Diese Netzwerke werden analog zu den kleiner welteffekt Kleine Weltnetzwerke genannt.

Wir können ein vollständig strukturiertes Netzwerk aufbauen, indem wir einen Ring erstellen mit nein Knöpfe und k um Bögen pro Knoten einzurichten. Aus solch einem strukturierten Netzwerk können wir ein zufälliges Netzwerk erstellen, indem wir für jeden Bogen mit Wahrscheinlichkeit p um eine Schaltfläche zu ändern. Der untere p je strukturierter das Netzwerk, desto höher p desto zufälliger. Irgendwo dazwischen liegt ein Small-World-Netzwerk. Dieses Modell wurde 1998 von Watts und Strogatz vorgeschlagen.

Vollständig strukturierte Netzwerke haben einen hohen Clustering-Koeffizienten, aber eine lange durchschnittliche Pfadlänge. Zufällige Netzwerke haben eine kurze Pfadlänge, haben aber wiederum einen niedrigen Clustering-Koeffizienten. Betrachtet man die mittlere Weglänge und den Clustering-Koeffizienten für Netzwerke nach dem vorgeschlagenen Modell mit zunehmendem p dann sehen wir tatsächlich, dass es eine Übergangsphase gibt, in der das Netzwerk sowohl eine kurze durchschnittliche Pfadlänge als auch einen hohen Clustering-Koeffizienten hat.

Dieses Modell kann vereinfacht werden, indem man beide Knoten eines Bogens anstelle eines Knotens vertauscht und Doppelbögen und Schlaufen zulässt. Monasson schlug ein alternatives Modell vor, bei dem keine Bögen neu gelegt werden, sondern Bögen zur kreisförmigen Struktur hinzugefügt werden. Dieses Modell hat den Vorteil, dass das Netzwerk immer verbunden bleibt und der Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten somit immer definiert ist.

Netzwerkwachstumsmodelle

Mit den Modellen aus den vorherigen Abschnitten können wir zufällige Netzwerke mit Eigenschaften konstruieren, die sich in realen Netzwerken widerspiegeln. Eine wichtige Frage ist aber auch, wie diese Eigenschaften zustande kommen. Typische reale Netzwerke können sich ändern. Beispielsweise wachsen die meisten Netzwerke im Laufe der Zeit. Im Internet kommen beispielsweise täglich neue Webseiten hinzu. Basierend auf dieser Tatsache wurden einige neue Modelle vorgeschlagen. Die wichtigsten sind das Modell von Price und das Modell von Barabasi und Albert.

1965 studierte Derek de Solla Preis das Netzwerk der Literaturhinweise in wissenschaftlichen Artikeln. Dieses Netzwerk ist fokussiert und azyklisch (ein Artikel kann sich nicht auf einen Artikel beziehen, der später erschienen ist). Er stellte fest, dass die Knoten im Netzwerk eine ein- und ausgehende Leistungsfunktionsgradverteilung aufwiesen und suchte nach einem Modell, um diese Eigenschaft zu erklären. Potenzfunktionen treten typischerweise auf, wenn der reichste wird reicher. Es war Price's Beitrag, dies auf das Wachstum eines Netzwerks anzuwenden. Bei wissenschaftlichen Referenzen ist auch die Wahrscheinlichkeit plausibel, dass Artikel, auf die häufig verwiesen wird, wieder häufiger zitiert werden als selten zitierte Artikel.

Das Modell geht wie folgt. Betrachten Sie einen Graphen mit nein Knöpfe und ${displaystyle p_{k}}$ der Prozentsatz der Knoten im Netzwerk mit Inbound-Grad k. Dem Netzwerk werden ständig neue Knoten hinzugefügt. Diese Knoten haben einen bestimmten ausgehenden Grad, der sich nachträglich nicht ändern kann, dieser Grad kann variieren, aber der durchschnittliche ausgehende Grad wird konstant bei . gehalten ich. Der Wert ich ist auch der durchschnittliche Inbound-Grad des Netzwerks. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Bogen einem bestimmten Knoten zugeordnet ist, ist proportional zu seinem eingehenden Grad k in diesem Moment. Da der anfängliche Eingangsgrad eines neuen Knotens immer null ist, würde die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bogen in diesem Knoten ankommt, immer null bleiben. Daher schlug Price vor, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bogen mit einem bestimmten Knoten verbunden ist, proportional zu ${displaystyle k k_{0}}$, mit ${displaystyle k_{0}}$ eine Konstante. In den meisten Fällen, ${displaystyle k_{0}}$ einem gleichgesetzt.

Ein weiteres Modell ist das Modell von Barabasi und Albert. Dieses Modell ist dem von Price ziemlich ähnlich, unterscheidet jedoch nicht zwischen eingehenden und ausgehenden Abschlüssen. Es ist also ein Modell für ungerichtete Graphen. Wie bei Price beginnt es mit nein Äste und neue Äste werden mit einem gewissen Grad hinzugefügt. Auch hier wird der durchschnittliche Grad konstant gehalten bei ich. Da nicht zwischen ankommenden und abgehenden Bögen unterschieden wird, ist die anfängliche Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Bogen in einem Knoten ankommt, nicht Null, sondern proportional zu seinem Grad.

Die Idee (die Reichen werden reicher) hinter den Modellen von Price, Barabasi und Albert wird heute oft als Ursache von Machtfunktionsteilungen gesehen, die in realen Netzwerken wiederkehren. Eine mögliche Modellierung reicht jedoch nicht aus, um das Auftreten in der Praxis zu erklären.

Software

• (und) NetzwerkX ist ein Python geschrieben Open-Source-Programm zur Erstellung, Manipulation und Untersuchung von Struktur, Eigenschaften und Funktion komplexer Netzwerke