WikiDer > Logarithmische Darstellung

An einer Logarithmische Darstellung erhält nicht den Zahlenwert einer Größe selbst, sondern a Logarithmus des Verhältnis von der Menge zu einem Referenzwert. Die Größe ${Anzeigestil G}$ wird nicht direkt als Vielfaches des Referenzwertes angezeigt ${Displaystil G_{0}}$, die Einheit, ausgedrückt, aber in einer bestimmten Höhe darüber:

"Niveau von" ${displaystyle G=log _{a}left({frac {G}{G_{0}}}ight)}$

Zum Beispiel die Glockenskala für die Geräuschpegel das Hörschwelle als Referenzwert mit Stufe 0 verwendet und die Zahl wird 10, wenn die Base des verwendeten Logarithmus. Ein Schallpegel von 4,5 Glocken bedeutet also a Schallintensität ab 10^4,5 = 31623 mal die Hörschwelle. Als Pseudoeinheit wird die Bezeichnung Glocke verwendet. Daraus ergibt sich die gebräuchlichere Pseudoeinheits-Dezibelskala Dezibel (dB) entstehen. Ein Pegel von 45 dB entspricht 4,5 Glocken. Die Dezibelskala verwendet eigentlich die Hörschwelle als Referenzwert, genau wie die Glockenskala, aber die Zahl 10 ist die Basis des verwendeten Logarithmus.^0,1 = 1,258925... Wird zum natürlicher Logarithmus gebraucht, man spricht von neper skala. Andere logarithmische Skalen umfassen:

• Größe für die Helligkeit von a Himmelskörper, ${Anzeigestil a=10^{-2/5}}$
• das Richter Skala für die Stärke von a Erdbeben, ${Anzeigestil a=10^{3/2}}$
• das pH- Skala für Säure, ${Anzeigestil a=10^{-1}}$
• das Cent für die Tonhöhe (Frequenzverhältnis) in Musik-, ${Anzeigestil a=2^{1/1200}}$
• die 12 Töne pro Oktave im gleiches Temperament (100 Cent pro Ton), ${Anzeigestil a=2^{1/12}}$; diese werden auch als "Halbschritte" bezeichnet; bezüglich "ganze Tonhöhe" (200 Cent) gilt ${Displaystil a=2^{1/6}}$

Bevölkerungswachstum Englands auf einer logarithmischen Skala mit 1,67 Dekade

Logarithmische Skalen repräsentieren relative Veränderungen. Erhebt sich eine Größe ${Anzeigestil G}$ relativ um 10%, dann ist der neue Wert value ${Displaystil 1{,}10,G}$. Auf logarithmischer Skala entspricht dieser Anstieg einem Anstieg von

${displaystyle log(G/G_{0})}$

bis um

${displaystyle log(1{,}10 G/G_{0})=log(G/G_{0}) log(1{,}10)}$,

also eine Erhöhung von ${displaystyle log(1{,}10)}$, unabhängig vom Ausgangspegel. Denn viel sensorisch Wahrnehmungen gleich relative Zunahmen erlebt gleich (Das Webersche Gesetz) sind logarithmische Skalen ein geeignetes Mittel, um Größen so auszudrücken, dass ihre Werte unseren Erfahrungen entsprechen. Auch auf andere Weise ist es manchmal bequemer, gleiche Steigerungsfaktoren als gleiche Pegelzunahme darzustellen. Eine Verdoppelung des Wertes in dB-Skala bedeutet eine Pegelerhöhung um ca. 3,01 dB (immerhin ${Displaystil 2=10^{3{,}01/10}}$).

In der obigen Grafik des Bevölkerungswachstums in England entspricht das Verhältnis zwischen 2 Millionen und 5 Millionen (2,5) dem Verhältnis zwischen 20 Millionen und 50 Millionen (ebenfalls 2,5). Der logarithmische Abstand zwischen 2 Millionen und 5 Millionen ist also gleich dem Abstand zwischen 20 Millionen und 50 Millionen.

Wenn der Logarithmus mit dem Base 10 wird verwendet (¹⁰log), dann ist jede Schrittgröße 1 auf der Skala 10 mal größer als die vorherige. Eine Skala von 1, 2, 3 bedeutet also in Werten: 10, 100, 1000.

Grafik

Es elektromagnetisches Spektrum als Beispiel für eine logarithmische Skala mit vielen number dekadent

Für die grafische Darstellung bestimmter Größen wird manchmal eine logarithmische Skala verwendet. Die entsprechende Achse hat dann nicht die übliche Skalierung der Zahlenreihe, sondern eine logarithmische Verteilung mit Positionen, die den Logarithmen der Werte des positiven Teils der Zahlengeraden entsprechen. Jeder Dekade hat also die gleiche Länge, und zwei Zahlen mit einer bestimmten relativen Differenz (zum Beispiel der reelle Wert und die Näherung bei einem bestimmten relativer Fehler) werden in einem Abstand angezeigt, der nicht von der Größe der Zahlen abhängt.

Ein Grund für die Verwendung dieser Skala kann sein, dass man für ein Jahrzehnt mit kleinen Zahlen genauso viel Platz einplanen möchte wie für eines mit großen Zahlen, da sonst bei dem verfügbaren Platz viel zu wenig Platz für die kleinen Zahlen vorhanden ist, um relevante anzuzeigen Allerdings wählt man einen mathematisch gleichmäßigen Maßstab, um die Verzerrung zu vermeiden, die man erhält, wenn in einer bestimmten Anwendung die Größe der Darstellung jedes Zahlenbereichs vollständig durch den erforderlichen Platz bestimmt wird.

An einer Rechenschieber Es werden logarithmische Skalen mit einer, zwei und manchmal drei Dekaden verwendet.

Charakteristisch für die Skalierung entlang der Achse ist, dass sich jedes Jahrzehnt das gleiche Muster wiederholt. Innerhalb einer Dekade gibt es mal keine weitere Unterteilung (wie bei der zweiten und dritten Skala im Bild), mal eine Unterteilung mit Zwischenwerten 2 bis 9 mit immer kleineren gegenseitigen Abständen (wie bei der ersten Skala im Bild), und manchmal, besonders bei einer feineren Unterteilung, bei einem oder mehreren Werten innerhalb der Dekade ein Übergang zu einer gröberen Unterteilung^[1].

In einer visuellen Darstellung in a ebene Fläche von Sätzen von Zahlenpaaren (z. B. ein Graph von einem oder mehreren Funktionen oder ein Punktwolke) kann eine logarithmische Skala für eine oder beide Achsen verwendet werden (siehe auch einfache logarithmische Darstellung und doppelte logarithmische Darstellung). Zusätzlich zu den allgemeinen Gründen für die Verwendung einer solchen Skala ist es möglich, dass die Graphen bestimmter Funktionen zu geraden Linien werden: eine Konstante plus den Logarithmus von ${Anzeigestil x}$ mit beliebiger Basis (der Logarithmus zu einer beliebigen Basis einer positiven Konstanten mal ${Anzeigestil x}$) wenn die x-Achse eine logarithmische Skala hat, Exponentialfunktionen mit positiv Koeffizient wenn die y-Achse eine logarithmische Skala hat und a Leistung mit einem positiven Koeffizienten, wenn beide eine solche Skala haben.

Eine Log-Log-Skala platziert eine Zahl ${Anzeigestil x}$ an einer Position proportional zu ${displaystyle log log x}$, entspricht eine Verschiebung um eine bestimmte Distanz auf dieser Skala einer Potenzerhöhung. Dies wird zur Exponentiation mit einem Rechenschieber verwendet. Die Skala umfasst alle Zahlen größer als 1.