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Das Pareto-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, benannt nach dem italienischen Ökonomen Vilfredo Pareto.

Die Einteilung gilt für eine Vielzahl praktischer Situationen. Die Verteilung wird auch als Bradford-Verteilung bezeichnet. Ursprünglich verwendete Pareto diese Verteilung als Modell für die Vermögensverteilung. Es Pareto-Prinzip, bekannt als die "80-20"-Regel, besagt, dass 20% der Bevölkerung 80% des Vermögens besitzen. Die Pareto-Verteilung ist geeignet, eine solche Situation zu beschreiben. Das Prinzip gilt auch für andere Situationen, wie zum Beispiel:

• die Häufigkeit der Wörter im Text (nur eine kleine Anzahl von Wörtern macht den größten Teil des Textes aus)
• das Ausmaß menschlicher Siedlungen.
• die Größe der Unternehmen (wenige große Unternehmen, viele kleine).

Definition

Die Pareto-Verteilung mit Parametern ${Anzeigestil a>0}$ und ${Anzeigestil Lambda >0}$ ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, definiert für ${Anzeigestil x>a}$ und deren Überschreitungswahrscheinlichkeiten gegeben sind durch:

${displaystyle P(X>x)=left({frac {a}{x}}ight)^{lambda }}$

Die Verteilungsfunktion wird also für wordt ${Anzeigestil x>a}$ gegeben von:

${displaystyle F(x,a,lambda)=P(Xleq x)=1-links({frac {a}{x}}ight)^{lambda}}$

und die Wahrscheinlichkeitsdichte für ${Anzeigestil x>a}$ durch:

${displaystyle f(x,a,lambda)=left({frac {lambda }{a}}ight)left({frac {a}{x}}ight)^{lambda 1}}$

Darin ist ${Anzeigestil X}$ ein zufällige Variable mit der vorgesehenen Verteilung.

Erwartungswert und Varianz

Das erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ der Pareto-Verteilung ist:

${displaystyle mu ={ egin{cases}a{frac {lambda }{lambda -1}}&lambda >1/infty &lambda leq 1end{cases}}}$

und der Abweichung:

${displaystyle sigma ^{2}={ egin{cases}a^{2}{frac {lambda }{(lambda -1)^{2}(lambda -2)}}&lambda >2/infty &lambda leq 2end{cases }}}$

Beziehung zur Exponentialverteilung

Die Pareto-Verteilung steht in direktem Zusammenhang mit der Exponentialverteilung. Als die stochastische Variable${Anzeigestil X}$ ist exponentiell verteilt mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$, hast ${displaystyle e^{X}}$ eine Pareto-Verteilung mit Parametern ${displaystyle a=1}$ und ${ Anzeigestil Lambda }$, schließlich für ${Anzeigestil y>1}$ ist:

${displaystyle P(e^{X}$

Eine Pareto-Verteilung mit einem Parameter ${displaystyle aeq 1}$ ist analog auf eine verschobene Exponentialverteilung bezogen.

Siehe auch

• Power-Funktion
• Zipf-Verteilung
• Komplexe Netzwerke

Verweise

• Newman, M.E.J. (2005). Potenzgesetze, Pareto-Verteilungen und das Zipfsche Gesetz. Zeitgenössische Physik 46: 323–351. DOI: 10.1080/00107510500052444.