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Das Gaußsche Summenformels ist ein Formel um die Summe des ersten ${displaystyle n}$ aufeinanderfolgenden natürliche Zahlen zu entscheiden

${displaystyle 1 2 3 4 ldots n=sum _{k=1}^{n}k={frac {n(n 1)}{2}}}$.

Die Formel gibt für die Summe von den Zahlen 1 bis ${displaystyle n}$ ein einfacheres Ausdruck dann addiere ${Anzeigestil n-1}$ wiederholen. Die aufeinanderfolgenden Ergebnisse der Summenformel für aufeinanderfolgende ${displaystyle n,}$ konstituieren Warteschlange, und ein arithmetische Zeile. Die Summen 1, 3, 6, 10 usw. heißen Dreieckszahlen.

Name

Die Summenformel ist seit langem bekannt, basiert aber auf einer Anekdote nach dem berühmten Deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß erwähnt. Sein Lehrer am on Grundschule, J. G. Büttner, möchte seine Schüler eine Weile beschäftigen, indem er ihnen die ganze Zahlen von 1 bis 100. Doch der junge Gauß hätte zur Überraschung seines Lehrers und seiner Assistentin innerhalb weniger Sekunden die richtige Antwort gegeben Martin Bartels. Gauss erkannte, dass unter der Annahme, dass die zu addierenden ganzen Zahlen im Bereich von 1 bis 100 liegen, die paarweise Addition "entgegengesetzter" Zahlen identische Zwischenergebnisse liefert: 1 100 = 101, 2 99 = 101, 3 98 = 101 und so weiter, die Gesamtsumme ist dann 50 × 101 = 5050.^[1] Die Geschichte ist wahrscheinlich apokryph.

Summenformel

Die Summe der ganzen Zahlen 1 bis ${displaystyle n}$ ist das Subjekt der Identität:

${displaystyle S=1 2 3 ldots (n-1) n=sum _{i=1}^{n}i={ frac {1}{2}}n(n 1)}$

Die Methode, die Gauss zum Beweis dieser Formel verwendet hat, ist wie folgt:

${displaystyle { egin{array}{r*{10}{c}}S&=&1& &2& &ldots & &n-1& &n/S&=&n& &n-1& &ldots & &2& &1/&{mbox{so}}&{mbox{ add}}&{mbox{gives}}/2S&=&n 1& &n 1& &ldots & &n 1& &n 1/end{array}}}$

Dies führt zu

${Anzeigestil 2S=n(n 1)}$,

woraus die Formel folgt.

Die Summenformel von Gauß kann auch sein: bewährt mit volle Einweisung.

Literatur

• (NL) J. van de Craats, R. Bosch, Mathematik-Grundbuch, 2009, Gaußsche Summenformels, S. 61
• (das) Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erste Band. Vorgriechische Mathematik. Springer, 1969, S. 172–173
• (das) Wolfgang Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss, S. Hirzel, Leipzig 1856, bei Google Books: [1] ; Anekdote auf den Seiten 12 und 13

Externe Links

• (das) Herleitung der Gaußschen Summenformel auf Zwei Arten einfach erklärt auf Youtube
• (das) Mehr Geometrischer Beweis der Gaußschen Summenformel auf Vimeo
• Versionen der Gauss-Schulzimmer-Anekdote

Fußnoten