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Elo-rating

EIN Elo-Bewertung ist ein numerischer Hinweis auf die Stärke eines Spielers. Es wird am häufigsten verwendet in Schach, Dame und gehen, kann aber grundsätzlich in jeder Sportart eingesetzt werden, bei der Spieler 1 gegen 1 spielen.

Das mathematische System basiert auf der Methode des paarweisen Vergleichs und wurde von dem amerikanischen Physiker und Schachspieler in der Praxis ausgearbeitet rpad Elő. Im Kapitel 8 Theorie des Bewertungssystems^[1] verweist Elo auf Good 1955^[2], David 1959^[3], Trawinsky und David 1963^[4] und Buhlman und Huber 1963^[5].

Elo-Werte können von etwa 1000 bis fast 2900 reichen.

Methode

Árpád Élő kam auf der Grundlage statistischer Untersuchungen zu dem Schluss, dass die Verteilung der Spielstärken von Schachspielern a Normalverteilung. In Anlehnung an das bestehende Bewertungssystem der USCF Élő entschied sich für eine Einstufung von C = 200 Punkten. Die Klasseneinteilung wird gleichgesetzt mit der Standardabweichungσ der Spielerleistung. Die Standardabweichung eines Spiels zwischen zwei Spielern beträgt: σ = 200√2. Anhand dieser Verteilung stellte er einen Zusammenhang zwischen der Ratingdifferenz und der Gewinnwahrscheinlichkeit her. Diese Beziehung sieht in tabellarischer Form so aus:

Unterschied	starker Spieler	Schwacher Spieler	Unterschied	starker Spieler	Schwacher Spieler
0	0.50	0.50	300	0.85	0.15
25	0.53	0.47	350	0.89	0.11
50	0.57	0.43	400	0.92	0.08
100	0.64	0.36	450	0.94	0.06
150	0.70	0.30	500	0.96	0.04
200	0.76	0.24	735	0.99	0.01
250	0.81	0.19	> 735	1.00	0.00

Die Tabelle ist mit 10/7 als Näherung von √2 konstruiert. Der von Elo entworfene Tisch (2.11 The Percentage Expectancy Table)^[1]. ist von der FIDE noch verwendet (Tabelle 8.1b)^[6].Angenommen, die Wertungsdifferenz zwischen zwei Spielern beträgt 300. Dividiere durch σ gibt ein Z-Score ab 1.05. Nach der kumulativen Normalverteilung dies ergibt eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,8531, aufgerundet auf 85%.

Um die Wertung nach mehreren gespielten Spielen anzupassen, wird die erwartete Punktzahl auf Basis der Gewinnprognose berechnet. Dieser wird mit der tatsächlichen Punktzahl verglichen. Mit dieser Differenz wird die Erhöhung bzw. Verminderung der Wertung in einer Formel ermittelt, wobei üblicherweise folgende Formel verwendet wird: EloProfit = K*(W-We) , mit W das Ergebnis des Spiels, und We die erwartete Punktzahl, ermittelt nach zu Tabellen und Formeln In Belgien (und einer Reihe anderer Länder) gilt diese Formel erst ab 20 Parteien. Dafür wird ein anderes System verwendet.

Beispiel

Vladimir Kramnik gespielt in der Schachweltmeisterschaft 2007 in Mexiko. Seine FIDE-Wertung für das Turnier war 2769. Die durchschnittliche Wertung seiner Gegner war 2749. Seine Gewinnchancen waren 0,528. Das Turnier umfasste 14 Spiele, seine erwartete Punktzahl lag bei 7,39. Kramnik erzielte 8 Punkte. Seine neue Bewertung berechnet sich dann wie folgt:

Neue Bewertung(2775) = Alte Bewertung(2769) ( Punktzahl(8) - erwartete Punktzahl(7,39) * K-Faktor(10)

Der K-Faktor ist ein von der Berechnungsorganisation festgelegter Koeffizient, der normalerweise von der Bewertung und der Anzahl der gespielten Spiele abhängt.

Die Implementierungsdetails können je nach Gewerkschaft variieren. Es ist auch möglich, Bewertungsunterschiede pro Partei kumuliert zu berechnen, was zu einer etwas genaueren Bewertung führt.

K-Faktor in Belgien

Der K-Faktor ist ein Faktor, der mit Ihren Gewinn- oder Verlustquoten multipliziert wird, um Ihren jeweiligen Elo-Gewinn oder -Verlust zu berechnen. Je höher der Wert, desto schneller ändert sich dein Elo. In Belgien hast du folgende Werte. (Dies hängt von allen Arten von Systemen ab)

Elo	Anzahl Lose	K-Faktor
-	<20	andere Berechnung
-	20-100	32
-	101-300	24
≤ 2000	>300	16
> 2000	>300	12
> 2200	>300	10

K-Faktor nach Fide

Das FIDE berechnet auch elos, aber nach einem anderen System. Wir nennen das die Noemen FIDE elos. Dieses System ist strenger als das belgische Modell.

Geschichte

Der Amerikanische Schachverband (Schachverband der Vereinigten Staaten) führte in den 1950er Jahren ein von Kenneth Harkness entworfenes Bewertungssystem ein. Dieses System war nicht ganz zufriedenstellend. 1960 wechselte die USCF zu Elos System, das übrigens viel von Harkness übernommen hatte. 1970 wurde es von der FIDE übernommen und seitdem hat es fast jeder Schachverband angewendet.

Anwendungen

Beim Schach wird die eigentliche Berechnung auf internationaler Ebene von der FIDE und der ICCF und auf nationaler Ebene durch den nationalen Schachverband, in den Niederlanden die KNSB und in Belgien die KBSB. Jede Organisation, die eine Bewertung berechnet, verwendet eine andere Gruppe von Spielern und Mannschaften und einen anderen Bewertungszeitraum. Das FIDE-Bewertung dient gewissermaßen als Bezugspunkt in Bezug auf die Höhe. Dadurch sind sie bis zu einem gewissen Grad vergleichbar. Allerdings gibt es Unterschiede in der genauen Verarbeitung neuer Ergebnisse in den verschiedenen Ratings.

Auch der Flämische Tischtennisliga nutzt das elo-System auf seiner Ergebnis-Website - allerdings nur als Anhaltspunkt.

Es gibt auch ein Elo-Weltrangliste der Fußballnationalmannschaften.

Turnierleistungsbewertung (TPR)

Oft wird in einem Turnierergebnis die Turnierleistungsbewertung (TPR) jedes Teilnehmers aufgeführt, die die Bewertungsstufe angibt, auf der sie gespielt haben. Die TPR wird aus der Punktzahl und der durchschnittlichen Wertung der Gegner berechnet.^[6]^[7]

Listenleistungsbewertung (LPR)

Das KNSB berechnet eine Leistungskennzahl, die Leistungskennzahlliste^[8], basierend auf individuellen Ergebnissen.

Die LPR ist die Bewertung, bei der die Summe der erwarteten Werte (Wx basierend auf der LPR) der Summe der tatsächlich erreichten Werte am nächsten wäre. Bei 0 % oder 100 % wird ein fiktives „Unentschieden gegen sich selbst“ (Ro) addiert.

Eine berechnete Ratingänderung kann vom LPR begrenzt werden.

Relative Bewertungen

Sind Turnierergebnisse über einen längeren Zeitraum bekannt, können relative Wertungen ermittelt werden, auch wenn Spieler nicht gegeneinander gespielt haben. Elo führt dies (R5) anhand der folgenden Kreuztabelle aus. Die Daten bestehen aus 342 Spielen, die zwischen 1846 und 1862 gespielt wurden.^[9].

											W	p
R5	Spieler	ein	Ha	ho	k	l	ich	p	so	W	Sieg	Stk.	D(P)
552	Anderssen		10½	1½	10½	5	4	5	4		40½	.513	10
518	Harrwitz	7½		14½	1½	16	3½		0	21	64	.542	30
406	Horwitz	½	11½		1	1			11	7½	32½	.378	−90
516	Kolik	9½	2½	3				17			32	.500	0
505	Löwenthal	3	11	5			4½		2	11	36½	.474	−18
695	Morphy	13	5½			10½		9½			38½	.726	171
502	Paulsen	4			19		2½				25½	.447	−44
508	Staunton	1	7	20		0				11	39	.591	66
425	Williams		6	9½		8			10		33½	.399	−72

514	Verluste:L	38½	54	53½	32	40½	14½	31½	27	50½	342

Um die relative Bewertung eines Spielers anzupassen, verwendet Elo die folgende Formel:

{Anzeigestil R_{p}=R_{c} D(P)qquad (E1)}

R_p ist seine eigene Bewertung und R_c die durchschnittliche Wertung der Gegner, gewichtet pro gespieltem Spiel.

Die relative Bewertung wird nun durch sukzessive Näherungen berechnet:

Weisen Sie allen Spielern eine Anfangswertung R . zu_ich groß genug, um während der Iteration positiv zu bleiben.
Finden Sie den D(P) für jeden Spieler basierend auf dem tatsächlichen Punkteprozentsatz P und der Beziehung zwischen Gewinnwahrscheinlichkeit und Bewertungsdifferenz.
Berechnen Sie dann die erste Korrektur R. für jeden Spieler₁ nach Regel (E1), mit R_c = R_ich.
Bestimmen Sie dann den gewichteten Durchschnitt der Gegnerbewertungen R. für jeden Spieler_c1.
Bestimmen Sie die zweite Näherung basierend auf Formel (E1), mit R_c = R_c1.
Fahren Sie mit der Berechnung fort, bis sich die berechneten Bewertungen wenig ändern.

Dieses Verfahren konvergiert nicht besonders schnell.

Relative Bewertungen gehen zurück auf Thurstone (1927)^[10], und Zermelo (1928)^[11]. Einen Überblick über die Entwicklungen in diesem Bereich finden Sie in^[12].

Berechnung relativer Bewertungen

Die relativen Bewertungen können als Null der mehr dimensionale Funktion:

 ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{n},{ ext{where }}f(x)=Wir(x)-W}$

Hier ist W die Reihe der tatsächlichen Bewertungen, We(x) ist die Reihe der erwarteten Bewertungen als Funktion von x und x ist die Reihe der Bewertungen. Die Nullstelle dieser Funktion ist^[11], und kann mit iterativen Methoden durchgeführt werden^[13] effizient bestimmt werden.^[14]

Die Zuverlässigkeit von Bewertungen

Unterschiede zwischen tatsächlicher Punktzahl W und erwarteter Punktzahl Wir können geprüft sei, unter der Annahme, dass die Differenzen |W - We| normal unterteilt werden:

Prozentsatz der Spieler mit |W - We| ≤ 0,6745 * σ ist größer als 50% (8 Spieler)
Prozentsatz der Spieler mit |W - We| ≤ 1 * σ ist größer als 68,3% (11 Spieler)
Prozentsatz der Spieler mit |W - We| ≤ 2 * σ ist größer als 95,6% (16 Spieler)

Als Beispiel wählt Elo^[15] die Großmeistergruppe der Hoogovens Schachturnier, Ausgabe 1975.

37. Hoogovens Schachturnier, Wijk aan Zee 1975, *Großmeistergruppe*
Spieler	R	W	da	P(Da)	Wir	W - Wir	SPORT	1.σ
Lajos Portisch	2635	10,5	101	0,64	9,74	0,76
Vlastimil Hort	2600	10,0	66	0,59	8,94	1,06
Jan Smejkal	2600	9,5	66	0,59	8,94	0,56
Lubomir Kavaleki	2555	9,0	21	0,53	7,98	1,02

Svetozar Gligoric	2575	8,5	41	0,56	8,46	0,04
Robert Hübner	2615	8,5	81	0,61	9,26	−0,76
Gennadi Sosonko	2470	8,5	−64	0,41	6,06	2,44	*	*
Walter Browne	2550	8,0	16	0,52	7,82	0,18
Jeffim Geller	2600	8,0	66	0,59	8,94	−0,94

Jan Timman	2510	8,0	−24	0,47	7,02	0,98
Semyon Furman	2560	7,0	26	0,54	8,14	−1,14
Kick Langeweg	2410	6,5	−124	0,33	4,78	1,72	*
Hans Ree	2470	5,5	−64	0,41	6,06	−0,56

Jan Hein Donner	2485	5,0	−49	0,43	6,38	−1,38	*
Frans Kuijpers	2445	4,0	−89	0,38	5,58	−1,58	*
Luben Popov	2460	3,5	−74	0,40	5,9	−2,4	*	*

Durchschnittlich	2534		61	0,58			= 1,91

Die Kolumne da ist die Differenz zwischen der eigenen Bewertung und der durchschnittlichen Bewertung der Gruppe, in diesem Beispiel 2534. Die mittlere Differenz |Da| aller Spieler ist ungefähr gleich Da = 61 Bewertungspunkte. Die damit verbundene Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt P(Da) = 58%. Angenommen die Punktzahl Binomial- geteilt ist, dann die Abweichung gleich 15 × 58 % × (100 % - 58 %) = 3,56. Das Standardabweichung σ = 1,91 ist die Quadratwurzel davon. Das wahrscheinlicher Fehler (PE) gleich 0,6745 * 1,91 = 1,29. Elo schätzt das KGV auf 1,27 basierend auf dem Ratingunterschied zwischen Portisch und Popov. Statistisch erwarten wir 8 Differenzen |W - We| größer als der wahrscheinliche Fehler. In Wirklichkeit ist diese Zahl nur 5. Wir können erwarten, dass 15 × (100% - 68%) = 5 Ergebnisse außerhalb der Standardabweichung liegen, aber diese Zahl ist auf 2 begrenzt. Alle Ergebnisse liegen innerhalb von 2 × σ. Daraus schließt Elo, dass die Turnierergebnisse innerhalb der statistischen Toleranzen liegen.

Das Verfahren enthält eine Reihe von Vereinfachungen. Es berücksichtigt nicht diegegenseitige Abhängigkeiten in den Ergebnissen. Die erwartete Punktzahl We und die Standardabweichung σ werden auf der Grundlage von Durchschnittswerten und nicht auf Basis einzelner Übereinstimmungen bestimmt.

Die Gegenleistung basiert auf einer Binomialverteilung, es fallen nur Gewinn (1) und Verlust (0) an. In der Schachpraxis ist ein Remis (½) keine Ausnahme. Dadurch ist die Verteilung^[16] schmeicheln. Die binomiale Varianz eines Spiels zwischen gleich starken Spielern ist per Definition gleich: μ = (0 1)/2, und σ² = (1 - )²/2 (0 - )²/2 = 1/4. Einschließlich eines Unentschiedens ergibt sich daraus: μ = (0 ½ 1)/3, und σ² = (1 - )²/3 (½ - μ)²/3 (0 - )²/3 = 1/6. Dies ist ein Faktor von 2/3 kleiner.

Externe Links

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑ ^ein ^bArpad E. Elo, Die Bewertung von Schachspielern. Vergangenheit und Gegenwart. ISHI Press International, Bronx NY 10453 [1978] (2008). ISBN 978-0-923891-27-5 .
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↑HA. David (1959). Turniere und Paarvergleiche. Biometrie 46 (1-2): 139-149. DOI: 10.1093/biomet/46.1-2.1.
↑B. J. Trawinski und H. A. David (1963). Auswahl der besten Behandlung in einem Paarvergleichsexperiment. Annalen der mathematischen Statistik 34 (1): 75-91. DOI: 10.1214/aoms/1177704243.
↑Hans Buhlmann und Peter J. Huber (1963). Paarweiser Vergleich und Ranking in Turnieren 34 (2): 501-510. DOI: 10.1214/aoms/1177704161.
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↑Anhang 9 FMJD-Ratingsystem und seine Anwendungsregeln. Anhang 9 FMJD-Bewertungssystem. FMJD. Zugegriffen unter 25. April 2014.
↑Regeln KNSB-Bewertungen (pdf-Datei). 9.1 Leistungsbewertung (LPR) auflisten. Königlich Niederländischer Schachverband. Zugegriffen unter 25. April 2014.
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↑Louis L. Thurstone, Ein Gesetz der vergleichenden Beurteilung, Psychologische Überprüfung 34 (1927) 273-286
↑ ^ein ^bE. Zermelo, Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift 29 (1929) 436–460
↑Glickman, Mark E, Einleitende Anmerkung zu 1928. http://www.gliko.net/. Zugriff am 17.02.2015.
↑Newton-Raphson-Iteration in mehr Dimensionen
↑Jaan Kiusalaas, Numerische Methoden im Ingenieurwesen. Mit Python (2. Aufl.), Cambridge University Press, New York, 2010, Kapitel 2.7 Iterative Methoden und 4.6 Gleichungssysteme, ISBN 978-0-521-19132-6 .
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[4] B. J. Trawinski und H. A. David (1963). Auswahl der besten Behandlung in einem Paarvergleichsexperiment. Annalen der mathematischen Statistik 34 (1): 75-91. DOI: 10.1214/aoms/1177704243.

[5] Hans Buhlmann und Peter J. Huber (1963). Paarweiser Vergleich und Ranking in Turnieren 34 (2): 501-510. DOI: 10.1214/aoms/1177704161.

[fidehandbook-6] FIDE Rating Regulations (Qualifikationskommission). Handbuch, B. Ständige Kommissionen, 01. Internationale Titelordnung (Qualifikationskommission), 1.48 Leistungsbewertung (Rp). Weltschachverband (FIDE). Zugegriffen unter 25. April 2014.

[7] Anhang 9 FMJD-Ratingsystem und seine Anwendungsregeln. Anhang 9 FMJD-Bewertungssystem. FMJD. Zugegriffen unter 25. April 2014.

[8] Regeln KNSB-Bewertungen (pdf-Datei). 9.1 Leistungsbewertung (LPR) auflisten. Königlich Niederländischer Schachverband. Zugegriffen unter 25. April 2014.

[9] Arpad E. Elo, Die Bewertung von Schachspielern. Vergangenheit und Gegenwart. ISHI Press International, Bronx NY 10453 [1978] (2008), „3.42 Die Methode der sukzessiven Approximationen“. ISBN 978-0-923891-27-5 .

[Thurstone-10] Louis L. Thurstone, Ein Gesetz der vergleichenden Beurteilung, Psychologische Überprüfung 34 (1927) 273-286

[Zermelo-11] E. Zermelo, Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift 29 (1929) 436–460

[12] Glickman, Mark E, Einleitende Anmerkung zu 1928. http://www.gliko.net/. Zugriff am 17.02.2015.

[13] Newton-Raphson-Iteration in mehr Dimensionen

[14] Jaan Kiusalaas, Numerische Methoden im Ingenieurwesen. Mit Python (2. Aufl.), Cambridge University Press, New York, 2010, Kapitel 2.7 Iterative Methoden und 4.6 Gleichungssysteme, ISBN 978-0-521-19132-6 .

[15] Arpad E. Elo, Die Bewertung von Schachspielern. Vergangenheit und Gegenwart. ISHI Press International, Bronx NY 10453 [1978] (2008), „2.5 Die Zuverlässigkeit der Bewertungen“. ISBN 978-0-923891-27-5 .

[16] K. Balasubramanian, R. Viperos & N. Balakrishnan, Einige diskrete Verteilungen in Bezug auf erweiterte Pascal-Dreiecke, Fibonacci-Quart. 33(5) (1995) 415–425. (S. 419)

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