WikiDer > Erlanger Programm

Es Erlanger Programm ist ein einflussreiches Forschungsprogramm, das 1872 durch Felix Klein erscheint unter dem Titel "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen". 1872 wurde Klein mit der Universität Erlangen, daher der Name. Es Erlanger Programm plädierte für einen neuen Weg Geometrie klassifizieren und charakterisieren anhand der projektive Geometrie und der Gruppentheorie. Damals gab es schon eine neue Familie nichteuklidische Geometrie ohne ausreichende Klarheit über ihre gegenseitigen Hierarchien und Beziehungen. Was Klein vorschlug, war in dreierlei Hinsicht eine grundlegende Innovation:

• Klein betonte die projektive Geometrie als den vereinigenden Rahmen aller von ihm betrachteten Geometrie. Das affin, metrisch und Euklidisch Geometrien zum Beispiel sind spezielle und zunehmend restriktivere Fälle der projektiven Geometrie.

• Klein war der Meinung, dass die Gruppentheorie, ein Zweig der Mathematik, der algebraische Methoden verwendet, um die Idee von Symmetrie zu abstrahieren war der nützlichste Weg, geometrisches Wissen zu organisieren; zu der Zeit, als er das Erlanger-Programm entwarf, wurde es nur in der Gleichungstheorie, in dem Galois-Theorie, verwenden immer noch die Gruppentheorie.

• Klein machte die Idee deutlich, dass jede geometrische Sprache ihre eigenen maßgeschneiderten Konzepte verwendet. In der projektiven Geometrie beispielsweise spricht man von Kegelschnitte, aber nicht über Kreise oder Ecken, denn diese Konzepte sind es nicht unveränderlich sind unter projektive Transformationen. Die Art und Weise, wie sich die verschiedenen Sprachen der Geometrie wieder vereinen, könnte durch die Art und Weise erklärt werden, in der die Untergruppen von a Symmetriegruppe Sich aufeinander beziehen.

Tatsächlich sagt Klein, dass für die Erstellung von Geometrie zwei Dinge erforderlich sind: eine Menge von Punkten und eine Transformationsgruppe. Geometrie ist das Studium der Invarianten unter diesen Verwandlungen. Wenn wir etwas am Set oder an der Gruppe ändern, haben wir eine andere Geometrie. Alles, was nicht invariant ist, ist eigentlich unwichtig.