WikiDer > Affiner Raum

Liniensegmente in einem zweidimensionalen affinen Raum.

In dem Geometrie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein affiner Raum ein Geometer Struktur, dass die affin Eigenschaften der euklidischer Raum verallgemeinert. Informell kann man sich einen affinen Raum vorstellen als a Vektorraum, aber ohne a Punkt dass wenn Ursprung Funktionen. In einem affinen Raum kann man Punkte voneinander subtrahieren, um zu erhalten Vektoren oder man kann einem Punkt einen Vektor hinzufügen, um einen anderen Punkt zu erhalten, aber man kann keine Punkte zusammenfügen.

Definition

EIN affiner Raum ist ein Dreier ${Anzeigestil (A,V,{overrightarrow {}})}$, in welchem${Anzeigestil A}$ ist eine nichtleere Menge, deren Elemente Punkte heißen, ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über einem Körper/Feld ${Anzeigestil K}$ ist und ${displaystyle {overrightarrow {}}}$ Ein Bild, Pfeilbild, ${displaystyle A imes A oder V}$ liegt es am Punktepaar ${Anzeigestil (P,Q)}$ ihr Verbindungsvektor${displaystyle {overrightarrow {PQ}}in V}$ fügt hinzu, worauf zutrifft;

• für alle drei Punkte ${Anzeigestil P,Q,Rin A}$ ist ${displaystyle {overrightarrow {PQ}} {overrightarrow {QR}}={overrightarrow {PR}}}$ (Dreiecksregel oder Beziehung von Verfolgungsjagden)
• für jeden punkt ${Displaystil-Pin A}$ und jeder Vektor ${displaystyle vin V}$ gibt es einen bestimmten punkt? ${Anzeigestil Qin A}$, so dass ${displaystyle {overrightarrow {PQ}}=v}$.^[1]

Man spricht einfach vom affinen Raum ${Anzeigestil A}$ ohne weiteres, wenn aus dem Kontext klar ist, was der Vektorraum ${Anzeigestil V}$ und das Pfeilbild.

Das Abmessungen eines affinen Raums ist die gleiche Dimension wie der zugehörige Vektorraum.

Beispiel

spät ${Anzeigestil A}$ ein normaler eben sein. Durch die Wahl eines Koordinatensystems, ${Anzeigestil A}$ zu einer euklidischer Raum${Anzeigestil V}$. Das Pfeilbild wird bestimmt durch ${displaystyle {overrightarrow {PQ}}=Q-P}$. Tatsächlich ist es:

• ${displaystyle {overrightarrow {PQ}} {overrightarrow {QR}}=Q-P R-Q=R-P={overrightarrow {PR}}}$
• vor dem ${Displaystil-Pin A}$ und ${displaystyle vin V}$ ist ${Anzeigestil Q=P vin A}$, und da ist

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {PQ}}=Q-P=P v-P=v}$

wenn ${displaystyle {overrightarrow {PQ'}}=v}$, dann ist ${Anzeigestil Q'-P=v=Q-P}$, So ${Anzeigestil Q'=Q}$

Elementare Eigenschaften

Sie ${Anzeigestil (A,V,{overrightarrow {}})}$ ein affiner Raum. Für Punkte ${Anzeigestil P,Q,R,Sin A}$ gilt:

${displaystyle {overrightarrow {PQ}}=0Longleftrightarrow P=Q}$

${displaystyle {overrightarrow {PQ}}=-{overrightarrow {QP}}}$

${displaystyle {overrightarrow {PQ}}={overrightarrow {RS}}Longleftrightarrow {overrightarrow {PR}}={overrightarrow {QS}}}$ (Parallelogrammregel)

Vor dem ${displaystyle P_{1},ldots ,P_{n}in A}$ gilt:

${displaystyle {overrightarrow {P_{1}P_{n}}}=Summe _{i=1}^{n-1} {overrightarrow {P_{i}P_{i 1}}}}$ (verallgemeinerte Beziehung von Chasles)

Affine Unterräume

wenn ${Anzeigestil S}$ ist ein Punkt im affinen Raum ${Anzeigestil (A,V,{overrightarrow {}})}$ und ${Displaystil U}$ ein Unterraum von ${Anzeigestil V}$, dann ist die Teilmenge von ${Anzeigestil A}$:

${displaystyle B=S U={S umid uin U}}$

mit der Einschränkung des Pfeilbildes auf ${displaystyle B imes B}$ ein affiner Raum ${Displaystil U}$ dieser affine Unterraum von ${Anzeigestil (A,V,{overrightarrow {}})}$ wird genannt. Es gelten schließlich Punkte ${Anzeigestil Q,R,Sin B}$:

${Anzeigestil P = S p, Q = S q, R = S r}$, mit ${Anzeigestil p,q,rin U}$,

So

${Anzeigestil {überrechter Pfeil {PQ}} = Q-P = S q-(S p) = q-Pin U}$

und für ${displaystyle uin U}$ und ${Anzeigestil Q=Spuin B}$ ist

${Anzeigestil P u = S p u = Q}$

Affiner Raum, projektiver Raum, Vektorraum

EIN affiner Unterraum von a Vektorraum${Anzeigestil V}$ (auch a genannt lineare Vielfalt erwähnt) ist ein Sub affine Kombinationen von Vektoren in diesem PlatzGeschlossenTeilmenge.

Zu gegebener Zeit Familie${displaystyle {v_{i}}_{i}}$ von Vektoren in ${Anzeigestil V}$ ist zum Beispiel der Sammlung

${displaystyle A={Groß {}Summe _{i=1}^{N}Alpha _{i}v_{i}{Big |}Summe _{i=1}^{N}Alpha _{i}=1 {Groß }}}$

der aus den affinen Kombinationen endlich vielen Vektoren aus der Familie besteht, einem affinen Unterraumraum, der die affine Spanne von der Familie ${displaystyle {v_{i}}_{i}}$ wird genannt. Um zu sehen, dass dies tatsächlich ein affiner Raum ist, kann man beweisen, dass diese Menge a transitiv Aktion des linearer Unterraum${Anzeigestil W}$ von ${Anzeigestil V}$ tragen:

${displaystyle W={Groß {}Summe _{i=1}^{N} eta _{i}v_{i}{Big |}Summe _{i=1}^{N} eta _{i}=0 {Groß }}.}$

Dieser affine Unterraum kann äquivalent beschrieben werden als der Co-Klasse des ${Anzeigestil W}$-Aktion

${Anzeigestil S=pW,}$

in welchem ${displaystyle p}$ ein Element von ${Anzeigestil A}$ ist, oder äquivalent zu a Level-Sammlung des Quotiententopologie${Displaystil V oder V/W}$. Eine Auswahl von ${displaystyle p}$ gibt einen Basispunkt von ${Anzeigestil A}$ und eine Identifizierung von ${Anzeigestil W}$ mit ${Anzeigestil A}$, aber es gibt weder eine logische Wahl noch eine natürliche Identifizierung von ${Anzeigestil W}$ mit ${Anzeigestil A}$.

EIN lineare Transformation ist eine Funktion, die alle Linearkombinationen hält; ein affine Transformation ist eine Funktion, die alle affine Kombinationen hält. Ein linearer Unterraum ist ein affiner Unterraum, der einen Ursprung enthält, oder äquivalent ein Unterraum, der unter Linearkombinationen abgeschlossen ist.

Zum Beispiel im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ der Ursprung, die Linien und Ebenen durch den Ursprung und auch der ganze Raum mit Ursprung sind selbst lineare Unterräume, während Punkte, Linien und Ebenen im Allgemeinen sowie der ganze Raum affine Unterräume sind.

Siehe auch

• Affine Gruppe
• Platz

Verweise

• Harold Scott MacDonald Coxeter, Einführung in die Geometrie, John Wiley & Sons, New York, 2., ISBN 978-0-471-50458-0 , 1969