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Die ersten beiden Schritte der Gram-Schmidt-Methode

Das Gram-Schmidt-Methode ist ein Algorithmus mit welchen senkrecht System wird ausgeschaltet Sammlunglinear unabhängigVektoren in einem Vektorraum versehen mit a Innenprodukt, bei jedem weiteren Vektor Bestimmen Sie die Komponente, die in Bezug auf dieses innere Produkt zu allen vorherigen orthogonal ist. Diese Komponente wird erhalten, wenn die Unterschied mit dem Projektion auf der Unterraum durch die vorherigen Vektoren erzeugt. Dann durch Addieren jedes Vektors standardisieren, erhält man a orthonormal Systemvektoren.

Die Methode ist benannt nach Jörgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt, ist aber älteren Datums und wurde bereits gefunden von Laplace und Cauchy. In der Theorie von Lügengruppen ist die Methode verallgemeinert durch Kenkichi Iwasawa.

Methode

In einem Vektorraum mit Innenprodukt${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ sind die linear unabhängigen Vektoren ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ gegeben. Die Gram-Schmidt-Methode berechnet die orthogonalen Vektoren ${displaystyle y_{1},y_{2},ldots ,y_{n}}$ (in diesem Artikel standardisieren wir sie nicht nachträglich) mit der gleichen Spanne wie folgt. Als Startvektor nehmen wir einfach den ersten gegebenen Vektor:

${displaystyle y_{1}=x_{1}}$.

Dann gilt für ${displaystyle i=2,ldots,n}$:

${displaystyle y_{i}=x_{i}-summe _{j=1}^{i-1}{frac {langle y_{j},x_{i}Winkel }{langle y_{j},y_{j }Winkel }}y_{j}}$.

In Worten ist ${displaystyle y_{i}}$ also gleich ${displaystyle x_{i}}$ von dem zunächst alle Komponenten abgezogen wurden, die den bereits konstruierten orthogonalen Vektoren entsprachen. Die Formel zeigt auch, dass die Projektion von ${displaystyle x_{i}}$ auf dem von diesen Vektoren aufgespannten Raum ${displaystyle y_{1},y_{2},ldots ,y_{i-1}}$ die Summe der einzelnen Projektionen

${displaystyle {frac {langle y_{j},x_{i}Winkel }{langle y_{j},y_{j}Winkel}}y_{j}}$

ist. Das ist nur richtig, wenn ${displaystyle y_{1},y_{2},ldots ,y_{i-1}}$ zueinander orthogonal, da sich sonst die Projektionen gegenseitig stören und zu viel davon haben ${displaystyle x_{i}}$ abgezogen wird.

Beispiel 1

Die drei Vektoren

${Displaystil x_{1}=(3,1,2,1),Quad x_{2}=(2,2,2,3),Quad x_{3}=(2,1,3,2)}$,

im ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ mit dem gewöhnlichen inneren Produkt, sind linear unabhängig und spannen einen dreidimensionalen Unterraum auf. In diesem Unterraum kann aus den drei gegebenen Vektoren mit der Gram-Schmidt-Methode eine orthogonale Basis gewonnen werden ${displaystyle {b_{1},b_{2},b_{3}}}$ bestimmt werden.

${displaystyle b_{1}=x_{1}=(3,1,2,1)}$

${displaystyle b_{2}=x_{2}-{frac {langle b_{1},x_{2}angle }{langle b_{1},b_{1}angle }}b_{1}=(2.2 ,2 ,3)-{ frac {15}{15}}(3,1,2,1)=(-1,1,0,2)}$

${displaystyle b_{3}=x_{3}-{frac {langle b_{1},x_{3}angle }{langle b_{1},b_{1}angle }}b_{1}-{frac {langle b_{2},x_{3}Winkel }{langle b_{2},b_{2}Winkel }}b_{2}=}$

${displaystyle =(2,1,3.2)-{ frac {15}{15}}(3,1,2,1)-{ frac {3}{6}}(-1,1,0,2 )= { frac {1}{2}}(-1,-1,2,0)}$

Es ist leicht zu überprüfen, dass:

${displaystyle langle b_{1},b_{2}angle =langle b_{1},b_{3}angle =langle b_{2},b_{3}angle =0}$

Beispiel 2

Im zweidimensionalen reellen Vektorraum linearer Funktionen ${Anzeigestil f(t)=pqt}$ auf dem Intervall [0,1], mit innerem Produkt (siehe die Beispiel für einen zweidimensionalen Funktionsraum)

${displaystyle langle f_{1},f_{2}angle =int _{0}^{1}{f_{1}(t)f_{2}(t),mathrm {d} t}}$

wird die Basis sein, bestehend aus ${displaystyle e_{1}(t)=1}$ und ${displaystyle e_{2}(t)=t}$ mit der Gram-Schmidt-Methode zu einem Orthonormalsystem ${displaystyle b_{1},b_{2}}$ gemacht. Zu Beginn ist

${displaystyle b_{1}(t)=e_{1}(t)=1}$.

Die Komponente ${displaystyle b}$ von ${displaystyle e_{2}}$ senkrecht zu ${displaystyle b_{1}}$ ist

${displaystyle b=e_{2}-{frac {langle b_{1},e_{2}angle }{langle b_{1},b_{1}angle }}b_{1}=e_{2}-{ frac {1}{2}}b_{1}=t-{ frac {1}{2}}}$

Standardisierung von ${displaystyle b}$ gibt

${displaystyle b_{2}(t)={frac {b}{|b|}}=2{sqrt {3}}(t-{frac {1}{2}})}$.