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Helikoid

Das schraubenförmig hat die Form von a Archimedes Schraubenschroef. Wer a Wendeltreppe mit immer mehr und schmaleren Stufen versehen, erhält man schließlich eine Wendel, bei der die Stufenenden a steps Wendel Formen. Dem verdankt auch die Oberfläche ihren Namen. Dies legt nahe, dass das Helikoid a Körper der Revolution des Wendel wäre, aber das ist nicht der Fall. Die Oberfläche kann als aus konzentrischen Helices mit gleichem zusammengesetzt dargestellt werden Dringlichkeit.

Meusnier einstellen 1776 erstens, dass das Helikoid a . ist Mindestfläche ist, und es ist das einzige, was a . ist Regelfläche ist wie katalanisch im 1842 bewiesen, mit Ausnahme der trivialen flaches Flugzeug.^[1]

Eine Linealfläche ist eine Fläche, bei der mindestens ein Lineal durch jeden Punkt der Fläche verläuft, dh eine gerade Linie, die vollständig innerhalb dieser Fläche liegt; eine minimale Fläche ist die kleinste Fläche, die in einem gegebenen Rahmen aufgespannt werden kann. Wer hat einen groß genug Blase Wenn Sie in einen spiralförmigen Rahmen blasen, sehen Sie, dass die Seifenoberfläche ein Helikoid bildet.

Das Helikoid wird wie folgt beschrieben parametrische Gleichung:

${displaystyle x=ho cos(alpha heta), }$

${displaystyle y=ho sin(alpha heta), }$

${displaystyle z=heta , }$

mit für die Variablen ρ und θ Werte von plus unendlich bis minus unendlich, während α ist eine Konstante. Mit positiv α ist die Wendel wie in der Abbildung rechtsgängig, negative Werte deuten auf eine linksgängige Schraube hin.

Das Helikoid hat die Kopfkrümmung${displaystyle pm 1/(1 ho ^{2}) }$. Zusammen ergibt die mittlere Krümmung (Null, da es sich um eine Minimalfläche handelt) und Multiplikation ergibt Gaußsche Krümmung.

Verformung eines Helikoids zu einem Catenoid

Das Helikoid ist homöomorph mit dem flugzeug ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Das sieht man an α in der parametrischen Gleichung von einem beliebigen Wert bis Null. Mit abnehmenden Werten entsteht eine immer breitere Schraube (als ob eine archimedische Schraube gedehnt wird, wodurch die Klinge flacher wird) und mit α = 0 bleibt eine ebene Ebene parallel zur Spindel. Umgekehrt kann sich ein flaches Gesicht in ein Helikoid verwandeln, indem Twist um einen Drehpunkt, der in dieser Ebene liegt.

Die Helikoid und die katenoid, es Körper der Revolution des Kettenlinie, gehören zu einer Familie von helikoid-katenoiden Minimalflächen.

Externe Links

• Euklid-Galerie der Katholischen Universität Brüssel, einschließlich Animationen des Helikoids und des Katenoids besucht 5. September 2010
• (und) foundalis.com - verallgemeinerte Formel für Helicoid und Catenoid, mit Animation besucht 5. September 2010