WikiDer > Homologische Algebra
homologische Algebra ist der Zweig der Mathematik Das Homologie im allgemeinen algebraischen Kontext. Es handelt sich um eine relativ junge Disziplin, deren Ursprünge auf Forschungen in der kombinatorische Topologie (ein Vorgänger des algebraische Topologie) und der abstrakte Algebra (Theorie der Module und Syzygien) Ende des 19. Jahrhunderts, insbesondere von Henri Poincare und David Hilbert.
Die Entwicklung der homologischen Algebra war eng mit der Entstehung der Kategorientheorie. Grob gesagt ist die homologische Algebra das Studium der homologischen Funktionen und der Komplex algebraische Strukturen dass sie enthalten. Die verborgene Struktur der Mathematik ist gewoben aus Kettenkomplexe, die durch ihre Homologie und Kohomologie Manifest. Homologische Algebra bietet die Möglichkeit, Informationen aus diesen Kettenkomplexen zu extrahieren und diese Informationen in Form von homologischen Invarianten von Ringe, Module, topologische Räume, und andere 'greifbare' mathematische Objekte. Ein mächtiges Werkzeug dafür sind Spektralbereiche.
Die homologische Algebra hat von Anfang an eine große Rolle in der algebraischen Topologie gespielt. Der Einflussbereich hat sich nach und nach erweitert und umfasst nun kommutative Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie, Darstellungstheorie, mathematische Physik, Operatoralgebras, komplexe Analyse und die Theorie der partielle Differentialgleichungen. K-Theorie ist eine eigenständige Disziplin, die auf Methoden der homologischen Algebra basiert, gleiches gilt für die nicht-kommutative Geometrie von Alain Connes.