WikiDer > Darstellungstheorie

Representatietheorie

Darstellungstheorie ist ein Zweig der Mathematik, Das abstraktalgebraische Strukturen studiert von ihren Elemente zu vertreten wenn lineare Transformationen von Vektorräume.[1]

In erster Näherung konkretisiert eine Darstellung ein abstraktes algebraisches Objekt durch Elemente dieses algebraischen Objekts durch Matrizen und algebraische Operationen bezüglich Matrixaddition und Matrix-Multiplikation beschreiben. Zu den algebraischen Objekten, die sich gut für eine solche Beschreibung eignen, gehören die Gruppen, assoziative Algebra's und Lügen-Algebras. Der prominenteste dieser drei (und historisch auch der erste) ist der Darstellung von Gruppen, in dem Elemente einer Gruppe repräsentiert werden durch invertierbare Matrizen mit der Gruppenoperationsmatrixmultiplikation.[2]

Die Darstellungstheorie ist ein mächtiges Werkzeug, weil sie Probleme löst abstrakte Algebra reduziert auf Probleme im Lineare Algebra, die im Allgemeinen besser verstanden werden.[3] Außerdem ist ein Vektorraum, auf dem beispielsweise a Gruppe wird angezeigt, unendlichdimensional sind, und indem man zum Beispiel zulässt, dass es a hilbert zimmer ist, Methoden aus dem Analyse auf die Gruppentheorie angewendet.[4] Die Darstellungstheorie ist auch in der Physik, weil sie zum Beispiel beschreibt, wie die Symmetriegruppe von a physikalisches System beeinflusst die Lösungen von Gleichungen, die dieses physikalische System beschreiben.[5]

Ein auffallendes Merkmal der Darstellungstheorie ist ihre Allgegenwart in der Mathematik. Das hat zwei Seiten. Erstens sind die Anwendungen der Darstellungstheorie vielfältig:[6] Neben ihrem Einfluss auf die Algebra hat die Darstellungstheorie auch Fourier-Analyse (über die harmonische Analyse) stark präzisiert und verallgemeinert.[7] Die Theorie ist auch tief verbunden mit der Geometrie über die Invariante Theorie und der Erlangen-Programm von Felix Klein.[8] Auch die Darstellungstheorie hat einen enormen Einfluss auf die Zahlentheorie durch die Theorie der automorphe Formen und der Langlands-Programm.[9] Der zweite Aspekt ist die Vielfalt der Ansätze der Repräsentationstheorie. Dieselben Objekte können mit Methoden aus der algebraische Geometrie, das Modultheorie, das analytische Zahlentheorie, das Differentialgeometrie, das Operatortheorie und der Topologie.[10]

Der Erfolg der Darstellungstheorie hat zu zahlreichen Verallgemeinerungen geführt. Die häufigste davon ist in der Kategorientheorie.[11] Die algebraischen Objekte, für die die Darstellungstheorie gilt, können als eine besondere Art angesehen werden Kategorien, und die Darstellungen als Funktionen von der Objektkategorie zum Kategorie der Vektorräume. Diese Beschreibung weist auf zwei offensichtliche Verallgemeinerungen hin: erstens, dass algebraische Objekte durch allgemeinere Kategorien ersetzt werden können, und zweitens, dass die Zielkategorie der Vektorräume durch andere wohlverstandene Kategorien ersetzt werden kann.

Fußnoten

  1. ↑Klassische Texte zur Repräsentationstheorie sind Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Darstellungstheorie endlicher Gruppen und assoziativer Algebren, Reine und Angewandte Mathematik, Vol. 2, No. XI, Interscience Publishers, John Wiley & Sons, New York-London, ISBN 978-0-8218-4066-5 , MR0144979 und Serre, Jean-Pierre, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 (1977). Andere ausgezeichnete Quellen sind William Fulton und Joe Harris Darstellungstheorie, ein erster Kurs, Springer (1991) und R. Goodman, N.R. Wallach, Darstellungen und Invarianten der klassischen Gruppen, Cambridge University Press, Cambridge (1998).
  2. ↑Zur Geschichte der Darstellungstheorie von endliche Gruppen, siehe Lam (1998). Vor dem algebraische GruppenLügengruppen, siehe Borel (2001).
  3. ↑Es gibt viele Lehrbücher über Vektorräume und der Lineare Algebra. Für eine weiterführende Behandlung siehe Kostrikin (1997).
  4. ↑Sally, Paul; Vogan, David A., Darstellungstheorie und harmonische Analyse an halbeinfachen Lie-Gruppen, Amerikanische Mathematische Gesellschaft, ISBN 978-0821815267 (1989)
  5. ↑Sternberg (1994).
  6. ↑Lamm (1998), S. 372.
  7. ↑Folland (1995)
  8. ↑Goodman und Wallach (1998), Olver (1999), Sharpe (1997)
  9. ↑Borel und Casselman (1979), Gelbert (1984).
  10. ↑Siehe die vorherigen Fußnoten und auch Borel (2001).
  11. ↑Simson, Skowronski und Assem (2007).