WikiDer > Algebraische Geometrie

Diese Togliatti-Oberfläche ist ein algebraische Fläche der fünften Klasse.

Teil einer Artikelserie über Mathematik
Formeln von a stochastischer Prozess
––– Menge –––
komplexe Zahl · Gerade Zahl · Natürliche Zahl · Unendlichkeit · Reelle Zahl · Arithmetik
––– Struktur und Platz –––
Algebra · Funktion · Zahlentheorie · Trigonometrie · Gruppentheorie · Geometrie · Topologie
––– Veränderung –––
Analyse · Infinitesimalrechnung · Chaostheorie · Dynamisches System · Vektoren
––– Angewandte Mathematik –––
Diskrete Mathematik · Graphentheorie · Informationstheorie · Wahrscheinlichkeit · Statistiken · Mathematische Physik
Portal Mathematik

Algebraische Geometrie ist ein Teilbereich der Mathematik dass Techniken aus dem abstrakte Algebra, insbesondere die kommutative Algebra, verbindet sich mit der Sprache und den Problemen der Geometrie. Die algebraische Geometrie nimmt einen zentralen Platz in der modernen Mathematik ein und hat vielfältige konzeptionelle Verbindungen zu so unterschiedlichen Bereichen wie komplexe Analyse, Topologie und Zahlentheorie. Wenn es mehr als einen gibt Variable Geometrie kommt ins Spiel. Ursprünglich eine Studie polynomischer Gleichungen in mehreren Variablen, beginnt das Thema der algebraischen Geometrie dort, wo die Gleichungen lösen und es ist in der algebraischen Geometrie mindestens genauso wichtig, die Gesamtheit der Lösungen eines Gleichungssystems zu verstehen wie ein eine Lösung finden; all dies führt zu einigen der tiefsten Gewässer der gesamten Mathematik, sowohl konzeptionell als auch technisch.

Das Fundamentale Studienobjekt in algebraischer Geometrie sein algebraische Sorten, geometrische Ausdrücke von Lösungen von Systemen von Polynomgleichungen. Algebraische Gesichtskurven, unter denen Linien, Kreise, Parabeln, Lemniskaten und Ovale von Cassini, sind eine der am besten untersuchten Klassen algebraischer Varietäten. Ein Punkt in der eben gehört zu a algebraische Kurve, wenn seine Koordinaten eine gegebene Polynomgleichung erfüllen. Grundlegende Fragen betreffen die relative Position der verschiedenen Kurven und die Beziehungen zwischen den Kurven, gegeben durch verschiedene Gleichungen.

Die Idee von Koordinaten gemäß René Descartes ist von zentraler Bedeutung für die algebraische Geometrie, aber der Koordinatenbegriff hat seit dem frühen 19. Jahrhundert eine Reihe bemerkenswerter Veränderungen erfahren. Zuvor wurde angenommen, dass Koordinaten Tupel von reale Nummern waren, aber das änderte sich zuerst komplexe Zahlen, und später auch Elemente von einem zufälligen Feld wurde auch akzeptabel. Homogene Koordinaten von dem projektive Geometrie bot eine Erweiterung des Begriffs von a Koordinatensystem in eine andere Richtung und bereicherte den Anwendungsbereich der algebraischen Geometrie. Ein Großteil der Entwicklung der algebraischen Geometrie im 20. Jahrhundert spiegelte sich in a abstrakte Algebra Rahmen, in dem immer mehr Wert auf „intrinsische“ Eigenschaften algebraischer Varietäten gelegt wird, Eigenschaften, die nicht von einem bestimmten Modus abhängen Einbettung des Vielfalt in einem Ambiente Koordinatenraum; dies entspricht parallelen Entwicklungen in der Topologie und der komplexe Geometrie.

Ein wichtiger Unterschied zwischen der klassischen projektiven Geometrie des 19. Jahrhunderts und der modernen algebraischen Geometrie, in der Form gegeben durch Grothendieck und Gewächshaus, ist, dass sich die klassische projektive Geometrie auf den geometrischeren Begriff von a . konzentriert Punkt, während die moderne algebraische Geometrie die analytischeren Konzepte von a . unterstützt normale Funktion und ein normales Bild betont und stützt sich umfassend auf die Garbentheorie. Ein weiterer wichtiger Unterschied liegt im Umfang des Themas. Grothendiecks Idee von a planen liefert die Sprache und Werkzeuge für eine geometrische Behandlung beliebiger Kommutative Ringe und überbrückt insbesondere die Unterschiede zwischen der algebraischen Geometrie und der algebraische Zahlentheorie. Andrew Wiles werden gefeiert Beweis des Fermats letzter Satzmat ist der lebende Beweis für die Kraft dieses Ansatzes. André Weil, Alexander Grothendieck und Pierre Deligne zeigte, dass die Grundideen der Topologie von glatte Sorten haben tiefe Analogien in der algebraischen Geometrie von endliche Felder.

Nullstellen von Polynomsystemen

Die klassische algebraische Geometrie konzentriert sich hauptsächlich auf die Nullstellen von Systemen von Polynome, also die Menge aller Punkte, die eine oder mehrere Polynomgleichungen erfüllen. Somit ist die zweidimensionale Kugel im dreidimensionalen Euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ sind definiert als eine Sammlung von allen Punkte${Anzeigestil(x,y,z)}$ die entsprechen

${Anzeigestil x^{2} y^{2} z^{2}-1=0}$.

In den Kreis ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ in dem ${Anzeigestil(x,y)}$-Wohnung mit Strahl 1, kann als die Menge aller Punkte definiert werden ${Anzeigestil(x,y,z)}$ die beiden Polynomgleichungen erfüllen

${Anzeigestil x^{2} y^{2} z^{2}-1=0}$,

${Anzeigestil z=0}$.

EIN Kegelschnitt ist die Kollektion Nullen eines Polynoms zweiten Grades in zwei Variablen. EIN quadratisch ist die Menge der Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades in drei Variablen. Ein Beispiel für a algebraische Kurve dritten Grades ist a elliptische Kurve.

Algebraisch geschlossener Körper

Die Existenz von Lösungen, und falls vorhanden, die Struktur der Nullmenge, wird stark von der Zahlenfeld in denen die Lösungen a priori sind erlaubt. Dies wird bereits deutlich, wenn man nach Nullstellen von Polynomen in einer Variablen sucht. Die gleichung

${Anzeigestil x^{2}-2=0}$

hat zwei Lösungen in der reale Nummern, aber keiner im Rationale Zahlen. In zwei Variablen hat die Gleichung Höhe

${Anzeigestil x^{2} y^{2} 1=0}$

keine Lösungen, wenn ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ als reell angenommen werden, aber ein (komplexer) Kreis als Lösung, wenn komplexe Lösungen zulässig sind.

Deutlicher wird die algebraische Geometrie, wenn man sich auf Gleichungssysteme über beschränkt algebraisch geschlossene Felder, wie komplexe Zahlen. Das Studium der algebraische Sorten über andere Körper, zum Beispiel die reelle algebraische Geometrie, kann dann als weitere Studie verstanden werden.

Affine Vielfalt

In der klassischen algebraischen Geometrie war der Zahlenkörper immer der Körper ${displaystyle mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen. Viele der Ergebnisse gelten auch für einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körper ${Anzeigestil K}$. Das ${displaystyle n}$-dimensionaler affiner Raum über ${Anzeigestil K}$ wird notiert als ${displaystyle mathbb {A} _{n}(K)}$, oder einfach als ${Anzeigestil K^{n}}$. Der Zweck dieser scheinbar redundanten Notation besteht darin, hervorzuheben, dass die Vektorstruktur von ${Anzeigestil K^{n}}$ sollte für eine Weile vergessen werden. Abstrakt gesprochen, ${displaystyle mathbb {A} _{n}(K)}$ im Moment nur eine Sammlung von Punkten. Der Einfachheit halber, auch in der Fortsetzung, nur ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$ notiert und der Bezug zum Körper ${Anzeigestil K}$ weggelassen.

Regelmäßige Funktionen auf einem affinen ${displaystyle n}$-dimensionaler Raum ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$ sind die gleichen wie Polynome über ${Anzeigestil K}$ im ${displaystyle n}$ Variablen. Nach Auswahl eines Koordinatensystems können die regulären Funktionen functions ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$ mit dem identifiziert werden Ring${displaystyle K[mathbb {A} _{n}]}$ von Polynomen in ${displaystyle n}$ Variablen über ${Anzeigestil K}$.

Für eine Sammlung ${Anzeigestil S}$ von Polynomen in ${displaystyle k[mathbb {A} _{n}]}$ man definiert die Teilmenge ${Displaystil V(S)}$ aller Punkte in ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$ wobei jedes Polynom in ${Anzeigestil S}$ hat den Wert 0. In Formel:

${displaystyle V(S)={(t_{1},dots,t_{n})in mathbb {A} _{n}mid p(t_{1},dots,t_{n})=0 { ext{ für alle}} Stift S}}$,

und nennt diese Sammlung a affine algebraische Menge erwähnt.

Eine interessante Frage ist, ob für eine gegebene affine algebraische Menge ${Anzeigestil V}$ von ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$, die Sammlung ${Anzeigestil S}$ von Polynomen gefunden werden, für die ${Anzeigestil V=V(S)}$.

Definieren Sie dazu für eine beliebige Teilmenge ${Anzeigestil W}$ von ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$, die Menge der Polynome ${Anzeigestil I(W)}$ Das ${Anzeigestil W}$ als gemeinsame Nullen, für die ${Anzeigestil W=V(I(W))}$:

${displaystyle I(W)={pin K[mathbb {A} _{n}]mid p(x)=0{ ext{ für alle }}xin W}}$

Die Sammlung ${Anzeigestil I(W)}$ ist ein Ideal im ${displaystyle k[mathbb {A} _{n}]}$, denn wenn zwei Polynome ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ beide verschwinden auf ${Anzeigestil V}$, dann auch ${Anzeigestil p(x)=q(x)=0}$ für alle ${Anzeigestil xin W}$ und wenn ${displaystyle r}$ ein beliebiges Polynom ist, dann auch ${Anzeigestil (rp)(x)=0}$ für alle ${Anzeigestil xin W}$.

Die Lösung des gestellten Problems ist durch die Einführung des sogenannten Zariski-Topologie, eine Topologie für ${displaystyle mathbb {A} _{n}}$, das ist die algebraische Struktur von ${displaystyle K[mathbb {A} _{n}]}$ spiegelt. Anscheinend ${Anzeigestil W=V(I(W))}$ dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil W}$ ist eine abgeschlossene Menge in der Zariski-Topologie.

Eine algebraische Menge wird zu irreduzibel aufgerufen, wenn es sich nicht um die Vereinigung zweier kleinerer algebraischer Mengen handelt. Eine irreduzible algebraische Menge wird zu a Vielfalt erwähnt. Jede algebraische Menge ist eine endliche Vereinigung irreduzibler algebraischer Mengen, und diese Zerlegung ist eindeutig. Die Elemente der Zerlegung heißen irreduzible Komponenten der algebraischen Menge.

Es stellt sich heraus, dass eine algebraische Menge nur dann irreduzibel ist, wenn die sie definierenden Polynome a Primideal des Polynomrings.

Projektiver Raum

Eine Parabel (${Anzeigestil y=x^{2}}$, rot) und eine kubische Kurve (${Anzeigestil y=x^{3}}$, blau) im projektiver Raum

Die Vielfalt ${Anzeigestil V(y-x^{2})}$ ist ein Parabel. Mit steigenden Werten von ${Anzeigestil z}$ ist die Steigung der Geraden durch die Ursprung auf den Punkt ${displaystyle(x,x^{2})}$ größer werden. Wie ${Anzeigestil x}$ nimmt der Wert ab, die Steigung der Linie nimmt ab.

Die Vielfalt ${Anzeigestil V(y-x^{3})}$ ist ein kubische Kurve. Wie ${Anzeigestil x}$ an Wert zunimmt, wird die Steigung der Linie durch den Ursprung zum Punkt ${displaystyle(x,x^{3})}$ größer und größer. Aber abweichend von dem, was mit einer Parabel passiert, da ${Anzeigestil x}$ nimmt im Wert ab, wenn der Neigungswinkel derselben Linie zunimmt und zunimmt. Das Verhalten "im Unendlichen" von ${Anzeigestil V(y-x^{3})}$ unterscheidet sich vom "bei Unendlich"-Verhalten von ${Anzeigestil V(y-x^{2}).}$ Beschränkt man sich jedoch auf die Arbeit im affinen Raum, ist es schwierig, dem Begriff „im Unendlichen“ einen sinnvollen Inhalt zu geben.

Abhilfe schafft hier for projektiver Raum arbeiten. Der projektive Raum hat ähnliche Eigenschaften wie ein Van kompaktHausdorff-Raum. Das Projektive zwingt uns unter anderem dazu, den Begriff "im Unendlichen" zu konkretisieren, indem wir zusätzliche Punkte in ihn aufnehmen. Das Verhalten einer Sorte in Bezug auf diese zusätzlichen Punkte gibt uns dann mehr Informationen über diese Sorte. Es stellt sich heraus, dass ${Anzeigestil V(y-x^{3})}$ zu einem dieser zusätzlichen Punkte a Singularität hat, aber das ${Anzeigestil V(y-x^{2})}$ein reibungslose Funktion ist.

Obwohl die projektive Geometrie wurde ursprünglich auf einem gegründet synthetische geometrische Stiftung, erlaubte die Verwendung von homogene Koordinaten die Einführung algebraischer Techniken. Darüber hinaus hat die Einführung projektiver Techniken Thesen in der algebraischen Geometrie einfacher und schärfer: die Satz von Bézout die Zahl der Schnittmengen zwischen zwei Varietäten kann in ihrer schärfsten Form, zB nur im projektiven Raum, angegeben werden. Aus diesem Grund spielt der projektive Raum eine grundlegende Rolle in der algebraischen Geometrie.

Geschichte

Vorgeschichte: vor dem 19. Jahrhundert

Einige der Grundlagen der algebraischen Geometrie gehen auf Arbeiten zurück, die in der klassisches Griechenland aus dem 5. Jahrhundert v. Es Delikatessenproblem bestand zum Beispiel aus der Seide ${Anzeigestil x}$ um die zu konstruieren Würfel mit gleichem Inhalt ${Anzeigestil a^{2}b}$ als die rechteckig Kasten mit Seiten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Menächmus (ca. 350 v. Chr.) betrachtete das Problem geometrisch durch die beiden Kegelschnitte${displaystyle ay=x^{2}}$ und ${displaystyle xy=ab}$ in dem eben zusammenschneiden^[1]

In der späteren Arbeit im Hellenistische Zeit (3. Jahrhundert v. Chr.) von Archimedes und Apollonius Probleme mit Kegelschnitten wurden systematischer analysiert,^[2] wo sie bereits Koordinaten verwendet haben^[1] Das Arabische Mathematiker konnten nur algebraische Mittel verwenden, um bestimmte kubische Gleichungen und dann die erhaltenen Ergebnisse geometrisch interpretieren. Dies war zum Beispiel im 10. Jahrhundert n. Chr. der Fall. durch Ibn al-Haytham getan^[3] Dann die . entdeckt persisch Mathematiker Omar Khayyam (geb. 1048) die allgemeine Methode zur Lösung kubischer Gleichungen nach a Parabel mit a schneiden Kreis^[4] Jede dieser frühen Entwicklungen in der algebraischen Geometrie beschäftigte sich mit der Frage, wie die Schnittmengen von algebraische Kurven zu finden und zu beschreiben.

Solche Techniken zur Anwendung geometrischer Konstruktionen auf algebraische Probleme wurden auch von einer Reihe von Renaissance Mathematiker, wie z Gerolamo Cardano und Niccol "Tartaglia", angenommen in ihrem Studium der kubische Gleichung. Der geometrische und nicht der algebraische Ansatz für Konstruktionsprobleme wurde von den meisten Mathematikern des 16. und 17. Jahrhunderts bevorzugt, wie z Blaise Pascal der sich gegen den Einsatz algebraischer und analytischer Methoden in der Geometrie aussprach.^[5] Die französischen Mathematiker François Viete und später René Descartes und Pierre de Fermat revolutionierte die konventionelle Denkweise über Bauprobleme. Sie stellten die "Koordinaten" Geometrie. Sie interessierten sich vor allem für die Eigenschaften von algebraische Kurven, wie definiert durch diophantische Gleichungen (bei Fermat) und die algebraische Neuformulierung der klassischen griechischen Werke über Kegelschnitte und Quader (bei Descartes).

Im gleichen Zeitraum haben Blaise Pascal und Girard Desargues Geometrie aus einer anderen Perspektive. Sie entwickelten die Synthetik Konzepte der projektive Geometrie. Pascal und Desargues haben auch studiert Kurven, aber aus rein geometrischer Sicht: das Analogon der klassisches GriechischKonstruktion mit Zirkel und Lineal. Am Ende hat der . gewonnen analytische Geometrie von Descartes und Fermat, denn das 18. Jahrhundert lieferte den Mathematikern die konkreten quantitativen Werkzeuge, die sie brauchten, um physikalische Probleme mit den neuen Differential- und Integralrechnung von Newton und Leibniz studieren. Am Ende des 18. Jahrhunderts wurde der größte Teil der algebraischen Natur der "Koordinaten"-Geometrie von der Infinitesimalrechnung von übernommen Lagrange und Euler.

Neunzehntes und frühes 20. Jahrhundert

Es gab zwei gleichzeitige Entwicklungen des 19. nichteuklidische Geometrie und der Abelsche Integrale notwendig, um die alten algebraischen Ideen wieder in den Mainstream der geometrischen Welt zu bringen. Die erste dieser Neuentwicklungen war Edmond Laguerre und Arthur Cayley verhaftet. Sie versuchten, die allgemeinen metrischen Eigenschaften projektiver Räume zu ermitteln. Cayley stellte die Idee vor homogene Polynomformen, und genauer gesagt quadratische Formen auf dem projektiven Raum.

Dann studiert Felix Klein projektive Geometrie (zusammen mit anderen Geometrietypen) aus der Sicht, dass die Geometrie auf einem Platz ist in einer bestimmten Klasse von . kodiert Transformationen auf diesem Raum. In den späten 1800er Jahren untersuchten projektive Geometer gängige Arten von Transformationen von Figuren im projektiven Raum.

Anstelle von projektiven linearen Transformationen, die normalerweise als fundamentale kleine Geometrie auf projektiven Raum geben, projektive Geometer hielten sich auch an höheren Graden birationale Transformationen beschäftigt. Diese schwächere Vorstellung von Kongruenz setzen Mitglieder des 20. Jahrhunderts Italienische Schule für algebraische Geometrie später einen Versuch zu machen algebraische Flächen auf und zu ("bis") birationaler Isomorphismus klassifizieren.

Die zweite Entwicklung des frühen 19. Jahrhunderts, die der Abelsche Integrale, würde Bernhard Riemann fördern die Entwicklung der Riemann-Oberflächen.

Zwanzigstes Jahrhundert

Bartel Leendert van der Waerden, Oscar Zarisk, André Weil und andere versuchten, eine strenge Grundlage für die algebraische Geometrie zu legen, basierend auf der zeitgenössischen kommutative Algebra, einschließlich der Bewertungstheorie und die Theorie der Ideale.

In den 1950er und 1960er Jahren neu geordnet Jean-Pierre Serre und Alexander Grothendieck diese Fundamente. Sie nutzten die Garbentheorie. Später, ab etwa 1960, und maßgeblich angeführt von Grothendieck, wurde die Idee der planen's ausgearbeitet, dies in Verbindung mit der hochentwickelten Apparatur der homologische Techniken. Nach einem Jahrzehnt rasanter Entwicklung stabilisierte sich das Feld in den 1970er Jahren, neue Anwendungen fanden sich sowohl in der Zahlentheorie sowie bei eher klassischen geometrischen Fragen zu algebraische Sorten, Singularitäten und moduli.

Eine wichtige Klasse von Sorten, die direkt aus der Definition ihrer Gleichungen nicht leicht zu verstehen ist, sind die abelsche Sorten, eigentlich projektive Varietäten, deren Spitzen eine abelsche haben Gruppe Formen. Prototypische Beispiele sind die in Kenntnis einer reichen Theorie elliptische Kurven. Elliptische Kurven waren maßgeblich am Beweis der Fermats letzter Satzmat und werden jetzt auch in der Kryptographie mit elliptischen Kurven.

Während sich ein Großteil der algebraischen Geometrie mit abstrakten und allgemeinen Aussagen über Varietäten beschäftigt, wurden auch Methoden zur effektiven Berechnung mit konkret gegebenen Polynomen entwickelt. Das wichtigste ist die Technik von Gröbner-Basen, was insgesamt Computeralgebrasysteme werden verwendet. Basierend auf diesen Methoden können verschiedene Löser alle Lösungen von a . finden System von Polynomgleichungen berechnen, deren zugehörige Mannigfaltigkeit die Dimension Null hat und somit aus a endlich Anzahl der Punkte.

Anwendungen

Die algebraische Geometrie findet nun Anwendung in der Statistik, das Mess- und Regeltechnik, das Robotik, Fehlerkorrekturcodes, das Phylogenetik und geometrische Modellierung. Es gibt auch Verbindungen zu den Stringtheorie, das Spieltheorie, passende Grafiken, Solitonen und Integer-Programmierung. Google Scholar bietet Hunderte von Studien zur algebraischen Geometrie in den Bereichen Biologie, Chemie, Wirtschaft, Physik und natürlich anderen Bereichen der Mathematik.

Fußnoten