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Hauptkomponentenanalyse, oder Hauptkomponentenanalyse, ist eine multivariate Analysemethode im Statistik eine große Datenmenge mit einer geringeren Anzahl relevanter Größen zu beschreiben, die Hauptbestandteile oder Hauptkomponenten.

Hauptkomponentenanalyse war 1901 erfunden von Karl Pearson.^[1]

Man spricht von Datenreduzierung, wobei die Daten streng genommen nicht reduziert werden, sondern nur deren Beschreibung. Als Hauptkomponenten berechnet die Methode die Eigenvektoren des Kovarianzmatrix der Daten und wählen Sie die wichtigsten aus. Diese Eigenvektoren sind die Hauptachsen des Ellipsoid die durch die Kovarianzmatrix beschrieben wird und die mehr oder weniger die "Punktewolke" der Termine schlägt vor.

Die Hauptkomponentenanalyse kann als erster Schritt in a Faktorenanalyse um die maximale Anzahl und Art der Faktoren zu bestimmen.^[2]

Verwandte Methoden sind Korrespondenzanalyse (CA) oder "reziproke Mittelung" (RA) und die kanonischen Formen der Hauptkomponentenanalyse und Korrespondenzanalyse: Redundanzanalyse (RDA) und kanonische Korrespondenzanalyse (CCA).^[3]

Berechnungen

Ausgangspunkt der Hauptkomponentenanalyse ist die Kovarianzmatrix C der Daten. Diese Matrix hat nicht-negativ Eigenwerte.

Die Hauptbestandteile sind die senkrechtEigenvektoren dieser Matrix. Diese Eigenwerte können mit Standardtechniken aus dem Matrixkonto. Die Hauptkomponenten sind nach ihrer Wichtigkeit nach ihren Eigenwerten geordnet.

Eine Datenreduktion tritt auf, wenn nur ein Teil der Hauptkomponenten benötigt wird, um die Variation der Daten ausreichend zu erklären.

Beispiel

In einer Studie wurden Größe und Gewicht einer Vielzahl von Probanden ermittelt. Es Streudiagramm, in der das Gewicht gegen die Länge aufgetragen ist, zeigt eine elliptische Punktwolke, in der die Korrelation (Korrelation) beider Variablen. Wenn wir die Größe einer Person kennen, können wir ihr Gewicht vernünftig schätzen. Tatsächlich werden nicht beide Variablen benötigt, um die Daten zu beschreiben. Wir können nur mit der Höhe oder nur mit dem Gewicht ausreichen, wenn auch mit etwas Genauigkeitsverlust. Eine Kombination aus beidem könnte noch besser sein. Die – in gewissem Sinne – beste Kombination ist die gesuchte Hauptkomponente. Dies wird durch die Längsachse der Punktwolke bestimmt. Die Form der Punktwolke hängt jedoch stark von den gewählten Einheiten ab. Daher zeichnen wir ein Streudiagramm der standardisiert Mengen und bestimmen den Hauptbestandteil darin. Das bedeutet, dass jeder von uns seine eigene Körpergröße und sein eigenes Gewicht hat durchschnittlich subtrahiere und dividiere die Differenzen durch ihre Standardabweichung. Die Hauptkomponente, die als Ersatz für Größe und Gewicht verwendet werden kann, um die Daten zu beschreiben, kann als "Größe" des Probanden bezeichnet werden, ähnlich der Konfektionsgröße im Kleiderindustrie. Innerhalb der Personengruppe mit einer bestimmten Größe gibt es natürlich noch Unterschiede in Größe und Gewicht, wobei Größe und Gewicht in einer solchen Gruppe nicht unabhängig voneinander variieren können. Diese Variation wird durch die andere Hauptkomponente, die Nebenachse der Ellipse, beschrieben.

Aus biologischen Gründen ist jedoch ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht zu erwarten. Die erwartete Streuung ist nicht normal. Auf dieser Grundlage können andere Methoden gewählt werden, wie z Korrespondenzanalyse (CA).

Wenn die Auswirkungen anderer erklärender Variablen als der Körpergröße auf das Gewicht vernachlässigt werden müssen, stehen partielle PCA und partielle CA zur Verfügung.