WikiDer > Расслоение Хопфа - Википедия

Hopf fibration - Wikipedia
Расслоение Хопфа можно визуализировать с помощью стереографическая проекция из S3 к р3 а затем сжимая р3 к границе шара. На этом изображении показаны точки на S2 и соответствующие им волокна того же цвета.
Попарно связаны брелоки мимическая часть расслоения Хопфа.

В математической области дифференциальная топология, то Расслоение Хопфа (также известный как Набор хопфа или же Карта Хопфа) описывает 3-сферагиперсфера в четырехмерное пространство) с точки зрения круги и обычный сфера. Обнаружил Хайнц Хопф в 1931 году это влиятельный ранний пример пучок волокон. Технически Хопф нашел подход "многие к одному" непрерывная функция (или "карта") из 3-сфера на 2-сфера такая, что каждый отдельный точка из 2-сфера нанесена на карту из разных большой круг из 3-сфера (Хопф 1931).[1] Таким образом 3-сфера состоит из волокон, где каждое волокно представляет собой круг - по одному на каждую точку 2-сфера.

Эта структура пучка волокон обозначается

это означает, что пространство волокна S1 (круг) встроенный в общем пространстве S33-сфера), и п : S3S2 (Карта Хопфа) проекты S3 на базовое пространство S2 (обычный 2-сфера). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение, обладает важным свойством: локально а пространство продукта. Однако это не банальный пучок волокон, т.е. S3 не является глобально продукт S2 и S1 хотя локально неотличим от него.

Это имеет много значений: например, существование этого пакета показывает, что чем выше гомотопические группы сфер в целом нетривиальны. Он также представляет собой базовый пример основной пакет, отождествив волокно с круговая группа.

Стереографическая проекция расслоения Хопфа индуцирует замечательную структуру на р3, в котором пространство заполнено вложенными тори сделан из связывания Вильярсо круги. Здесь каждое волокно проецируется на круг в пространстве (одна из которых - линия, которую можно представить как «круг в бесконечности»). Каждый тор представляет собой стереографическую проекцию обратное изображение круга широты 2-сфера. (Топологически тор - это произведение двух окружностей.) Эти торы показаны на изображениях справа. Когда р3 сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия). Петли гомеоморфный к кругам, хотя они не геометрические круги.

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексное координатное пространство Cп+1 волокна естественно над сложное проективное пространство CPп с кружками в качестве волокон, а также есть настоящий, кватернионный,[2] и октонионный версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит к семейству из четырех расслоений, в которых все пространство, базовое пространство и расслоение являются сферами:

К Теорема Адамса такие расслоения могут возникать только в этих размерностях.

Расслоение Хопфа важно в твисторная теория.

Определение и конструкция

Для любого натуральное число п, п-мерная сфера, или n-сфера, можно определить как множество точек в -размерный Космос которые находятся на фиксированном расстоянии от центрального точка. Для конкретности за центральную точку можно принять источник, а расстояние между точками сферы от этого начала координат можно принять за единицу длины. Согласно этому соглашению, п-сфера, , состоит из точек в с Икс12 + Икс22 + ⋯+ Иксп + 12 = 1. Например, 3-сфера состоит из точек (Икс1Икс2Икс3Икс4) в р4 с Икс12 + Икс22 + Икс32 + Икс42 = 1.

Расслоение Хопфа п: S3S2 из 3-сфера над 2-сфера может быть определена несколькими способами.

Прямое строительство

Идентифицировать р4 с C2 и р3 с C × р (куда C обозначает сложные числа) написав:

и

.

Таким образом S3 отождествляется с подмножество из всех (z0, z1) в C2 такой, что |z0|2 + |z1|2 = 1, и S2 отождествляется с подмножеством всех (z, Икс) в C×р такой, что |z|2 + Икс2 = 1. (Здесь для комплексного числа z = Икс + яу, |z|2 = z z = Икс2 + у2, где звездочкой обозначен комплексно сопряженный.) Тогда расслоение Хопфа п определяется

Первый компонент - комплексное число, а второй компонент - действительный. Любая точка на 3-сфера должна иметь свойство, |z0|2 + |z1|2 = 1. Если это так, то п(z0, z1) лежит на блоке 2-сфера в C × р, как можно показать, возведя в квадрат комплексные и действительные компоненты п

Кроме того, если две точки на 3-сфере отображаются в одну и ту же точку на 2-сфере, т.е. если п(z0, z1) = п(ш0, ш1), тогда (ш0, ш1) должен равняться (λ z0, λ z1) для некоторого комплексного числа λ с |λ|2 = 1. Обратное также верно; любые две точки на 3-сферы, которые отличаются общим комплексным фактором λ сопоставить с той же точкой на 2-сфера. Эти выводы следуют из того, что комплексный фактор λ отменяется с его комплексным сопряжением λ в обеих частях п: в комплексе 2z0z1 компонент и в реальном компоненте |z0|2 − |z1|2.

Поскольку набор комплексных чисел λ с |λ|2 = 1 образуют единичный круг на комплексной плоскости, следует, что для каждой точки м в S2, то обратное изображение п−1(м) круг, т.е. п−1м ≅ S1. Таким образом 3-сфера реализована как несвязный союз этих круговых волокон.

Прямая параметризация 3-сфера, использующая отображение Хопфа, выглядит следующим образом.[3]

или в евклидовом р4

Где η пробегает диапазон 0 к π/2, ξ1 пробегает диапазон 0 и 2π и ξ2 может принимать любые значения между 0 и 4π. Каждое значение η, Кроме 0 и π/2 которые указывают круги, указывает отдельный плоский тор в 3-сфера и одно путешествие туда и обратно (0 к 4π) либо ξ1 или же ξ2 заставляет вас сделать один полный круг обеих конечностей тора.

Отображение указанной выше параметризации на 2-сфера выглядит следующим образом, точки на окружностях параметризованы ξ2.

Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной линии

Геометрическую интерпретацию расслоения можно получить с помощью сложная проективная линия, CP1, который определяется как множество всех сложных одномерных подпространства из C2. Эквивалентно, CP1 это частное из C2\{0} посредством отношение эквивалентности который определяет (z0, z1) с (λ z0, λ z1) для любого ненулевого комплексного числа λ. На любой сложной линии в C2 есть круг единичной нормы, и поэтому ограничение карта частных в точки единичной нормы является расслоением S3 над CP1.

CP1 диффеоморфен 2-сфера: действительно, ее можно отождествить с Сфера Римана C = C ∪ {∞}, какой компактификация в одну точку из C (получается добавлением точка в бесконечности). Формула для п выше определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2-сфера в 3-мерное пространство. В качестве альтернативы точка (z0, z1) можно отобразить на соотношение z1/z0 в сфере Римана C.

Структура пучка волокон

Расслоение Хопфа определяет пучок волокон, с выступом пучка п. Это означает, что он имеет "местную структуру продукта" в том смысле, что каждая точка 2-сфера имеет некоторые район U чей прообраз в 3-сфера может быть идентифицированный с товар из U и круг: п−1(U) ≅ U × S1. Такое расслоение называется локально тривиальный.

Для расслоения Хопфа достаточно удалить одну точку м из S2 и соответствующий круг п−1(м) из S3; таким образом можно взять U = S2\{м}, и любая точка в S2 имеет окрестность такого вида.

Геометрическая интерпретация с использованием вращения

Другая геометрическая интерпретация расслоения Хопфа может быть получена при рассмотрении поворотов 2-сфера в обычном 3-мерное пространство. В группа вращения SO (3) имеет двойная крышка, то вращательная группа Отжим (3), диффеоморфный к 3-сфера. Спиновая группа действует переходно на S2 вращениями. В стабилизатор точки изоморфна круговая группа. Легко следует, что 3-сфера - это пучок главных кругов над 2-сфера, и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, есть два подхода: группа Отжим (3) можно отождествить с группой Sp (1) единицы кватернионы, или с особая унитарная группа SU (2).

В первом подходе вектор (Икс1, Икс2, Икс3, Икс4) в р4 интерпретируется как кватернион qЧАС написав

В 3-сфера затем отождествляется с версоры, кватернионы единичной нормы, те qЧАС для которого |q|2 = 1, куда |q|2 = q q, что равно Икс12 + Икс22 + Икс32 + Икс42 за q как указано выше.

С другой стороны, вектор (у1, у2, у3) в р3 можно интерпретировать как воображаемый кватернион

Тогда, как известно, поскольку Кэли (1845)отображение

вращение в р3: действительно, это явно изометрия, поскольку |q p q|2 = q p q q p q = q p p q = |п|2, и нетрудно убедиться, что он сохраняет ориентацию.

Фактически, это идентифицирует группу версоры с группой вращений р3, по модулю того факта, что версоры q и q определить такое же вращение. Как отмечалось выше, вращения действуют транзитивно на S2, и множество версоров q которые фиксируют данный верный вариант п иметь форму q = ты + v п, куда ты и v настоящие числа с ты2 + v2 = 1. Это круговая подгруппа. Для конкретности можно взять п = k, и тогда расслоение Хопфа можно определить как карту, отправляющую версор ω к ω k ω. Все кватернионы ωq, куда q один из круга версоров, фиксирующих k, сопоставляются с одним и тем же объектом (который является одним из двух 180° вращения вращающийся k туда же, где ω делает).

Другой способ взглянуть на это расслоение состоит в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на {1, k} к новому самолету, натянутому на {ω, ωk}. Любой кватернион ωq, куда q один из круга версоров, фиксирующих k, будет иметь тот же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна можно однозначно сопоставить с 2-сфера 180° оборотов, что составляет диапазон ωkω*.

Этот подход связан с прямым построением путем определения кватерниона q = Икс1 + я Икс2 + j Икс3 + k Икс4 с 2×2 матрица:

Это идентифицирует группу версоров с SU (2), а мнимые кватернионы с косоэрмитовой 2×2 матрицы (изоморфные C × р).

Явные формулы

Вращение, вызванное единичным кватернионом q = ш + я Икс + j у + k z дается явно ортогональная матрица

Здесь мы находим явную вещественную формулу для проекции расслоения, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль z ось, (0,0,1), поворачивается к другому единичному вектору,

которая является непрерывной функцией (ш, Икс, у, z). То есть изображение q это точка на 2-сфера, куда он отправляет единичный вектор вдоль z ось. Волокно для данной точки на S2 состоит из всех тех единичных кватернионов, которые отправляют туда единичный вектор.

Мы также можем написать явную формулу для слоя над точкой (а, б, c) в S2. Умножение единичных кватернионов дает композицию вращений, и

вращение 2θ вокруг z ось. В качестве θ меняется, это сметает большой круг из S3, наш прототип волокна. Пока базовая точка, (а, б, c), не антипод, (0, 0, −1), кватернион

пошлет (0, 0, 1) к (а, б, c). Таким образом, волокно (а, б, c) дается кватернионами вида q(а, б, c)qθ, которые являются S3 точки

Поскольку умножение на q(а,б,c) действует как вращение кватернионного пространства, волокно - это не просто топологическая окружность, это геометрическая окружность.

Конечное волокно для (0, 0, −1), можно задать, определив q(0,0,−1) в равной я, производя

что завершает комплект. Но обратите внимание, что это взаимно однозначное соответствие между S3 и S2×S1 не является непрерывным на этом круге, что отражает тот факт, что S3 не топологически эквивалентен S2×S1.

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа заключается в следующем. Любая точка на 3-сфера эквивалентна кватернион, что, в свою очередь, эквивалентно определенному повороту Декартова система координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов производит набор всех возможных вращений, который перемещает вершину одного единичного вектора такой системы координат (скажем, z вектор) во все возможные точки на блоке 2-сфера. Однако фиксация кончика z вектор не определяет поворот полностью; возможен дальнейший поворот вокруг z-ось. Таким образом 3-сфера отображается на 2-сфера плюс одно вращение.

Вращение можно представить с помощью Углы Эйлера θ, φ и ψ. Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, задаваемую θ и φ, а соответствующая окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены по отдельности, поэтому у нас нет взаимно-однозначного отображения (или взаимно-однозначного отображения) между 3-тор из (θ, φ, ψ) и S3.

Гидравлическая механика

Если расслоение Хопфа рассматривается как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемого, невязкого) Уравнения Навье-Стокса гидродинамики, в которой жидкость течет по окружностям проекции расслоения Хопфа в трехмерном пространстве. Размер скоростей, плотность и давление можно выбрать в каждой точке, чтобы удовлетворить уравнениям. Все эти величины падают до нуля при удалении от центра. Если a - расстояние до внутреннего кольца, поля скоростей, давления и плотности определяются как:

для произвольных постоянных А и B. Подобные шаблоны полей находятся как солитон решения магнитогидродинамика:[4]

Обобщения

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как пучок волокон п: S3CP1, допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную линию на п-размерный проективное пространство. Во-вторых, комплексные числа можно заменить любыми (действительными) алгебра с делением, в том числе (для п = 1) октонионы.

Реальные расслоения Хопфа

Реальная версия расслоения Хопфа получается рассмотрением окружности S1 как подмножество р2 обычным способом и путем определения противоположных точек. Это дает пучок волокон S1RP1 над реальная проективная линия с волокном S0 = {1, −1}. Как только CP1 диффеоморфна сфере, RP1 диффеоморфен окружности.

В более общем плане п-сфера Sп волокна над реальное проективное пространство RPп с волокном S0.

Комплексные расслоения Хопфа

Конструкция Хопфа дает расслоения кругов п : S2п+1CPп над сложное проективное пространство. На самом деле это ограничение пучок тавтологических линий над CPп к единичной сфере в Cп+1.

Кватернионные расслоения Хопфа

Точно так же можно рассматривать S4п + 3 как лежащий в ЧАСп + 1 (кватернионный п-пространство) и разложить на единичный кватернион (= S3) умножение, чтобы получить кватернионное проективное пространство HPп. В частности, поскольку S4 = HP1, есть связка S7S4 с волокном S3.

Октонионные расслоения Хопфа

Аналогичная конструкция с октонионы дает связку S15S8 с волокном S7. Но сфера S31 не переплетается S16 с волокном S15. Можно рассматривать S8 как октонионная проективная линия OP1. Хотя можно также определить октонионная проективная плоскость OP2, сфера S23 не переплетается OP2с волокном S7.[5][6]

Волокна между сферами

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивается расслоениями между сферами, полученными выше, которые

  • S1S1 с волокном S0
  • S3S2 с волокном S1
  • S7S4 с волокном S3
  • S15S8 с волокном S7

Как следствие Теорема Адамса, пучки волокон с сферы поскольку общее пространство, базовое пространство и волокна могут встречаться только в этих измерениях. Пучки волокон с аналогичными свойствами, но отличающиеся от расслоений Хопфа, использовались Джон Милнор строить экзотические сферы.

Геометрия и приложения

Волокна расслоения Хопфа стереографически проектируются в семейство Вильярсо круги в р3.

Расслоение Хопфа имеет много значений, одни исключительно привлекательные, другие более глубокие. Например, стереографическая проекция S3р3 индуцирует замечательную структуру в р3, что, в свою очередь, освещает топологию пучка (Лион 2003). Стереографическая проекция сохраняет круги и отображает волокна Хопфа в геометрически совершенные круги в р3 которые заполняют пространство. Здесь есть одно исключение: круг Хопфа, содержащий точку проекции, отображается на прямую линию в р3 - «круг в бесконечности».

Волокна по кругу широты на S2 сформировать тор в S3 (топологически тор является произведением двух окружностей), и они проецируются на вложенные торы в р3 которые также заполняют пространство. Отдельные волокна соответствуют связям. Вильярсо круги на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через его противоположная точка: первая отображается в прямую линию, вторая - в единичную окружность, перпендикулярную этой прямой и с центром на которой, которую можно рассматривать как вырожденный тор, малый радиус которого уменьшился до нуля. Каждое другое изображение волокна также окружает линию, и поэтому симметрично каждый круг связан через каждый круг, как в р3 И в S3. Два таких соединительных круга образуют Ссылка Хопфа в р3

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет Инвариант Хопфа 1 и, следовательно, не нуль-гомотопный. Фактически он генерирует гомотопическая группа π3(S2) и имеет бесконечный порядок.

В квантовая механика, сфера Римана известна как Сфера Блоха, а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантово-механического двухуровневая система или же кубит. Точно так же топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

(Моссери и Дандолофф 2001).

Расслоение Хопфа эквивалентно структуре расслоения Монополь Дирака.[7]

Примечания

  1. ^ Этот раздел 3-сфера на непересекающиеся большие круги возможна, потому что, в отличие от 2-сфера, отчетливые большие круги 3-сферы не должны пересекаться.
  2. ^ кватернионная фибрация Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
  3. ^ Смит, Бенджамин. "Заметки Бенджамина Х. Смита о расслоении Хопфа" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 14 сентября 2016 г.
  4. ^ Камчатнов, А. М. (1982), Топологические солитоны в магнитогидродинамике (PDF)
  5. ^ Бесс, Артур (1978). Коллекторы, все геодезические которых закрыты. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08158-6. (§0.26 на странице 6)
  6. ^ sci.math.research 1993 тема "Сферы, расслоенные сферами"
  7. ^ Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о связках волокон». Физика сегодня. 68 (6): 11. Bibcode:2015ФТ .... 68ф..11Ф. Дои:10.1063 / PT.3.2799.

Рекомендации

внешняя ссылка