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In dem Statistik ist ein Quantil eine Zahl, die a . ist Datensatz teilt sich in zwei Teile, den kleineren und den größeren Wert. Der Datensatz kann ein konkreter oder abstrakter Datensatz sein Population sind oder die Ergebnisse von a Stichprobe. Für die Zahl ${Anzeigestil p,,0$, ist das wichtig? ${displaystyle p}$-quantiliere eine Division in einen Teil mit den kleineren Größenwerten ${displaystyle p}$ und ein Teil mit den größeren Größenwerten ${displaystyle 1-p}$ der Gesamtgröße. Bekannt ist das 0,5-Quantil, das Median genannt, das ist die Mitte von a bestellt Datensatz.

Definition

Für eine Funktion ${Anzeigestil X}$ einer abstrakten Population gegeben durch a Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Zahl ${displaystyle x_{p}}$ ein ${displaystyle p}$-Quantil wenn:

${displaystyle P(Xleq x_{p})geq p}$

und

${displaystyle P(Xgeq x_{p})geq 1-p}$

Insbesondere mehrere ${displaystyle p}$Quantile existieren. Um Eindeutigkeit zu erzwingen, definieren einige Autoren den Durchschnitt der möglichen Werte, die sich als Quantile qualifizieren, als Quantile.

Für eine konkrete Grundgesamtheit oder Stichprobe, bestehend aus ${displaystyle n}$ Zahlen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$, einschließlich möglicherweise gleicher, wird Wortt ${displaystyle p}$-Quantil ${displaystyle x_{p}}$ bestimmt durch die Anforderungen:

• mindestens ${displaystyle quad pnquad }$ der Daten sind kleiner oder gleich ${displaystyle x_{p}}$.
• mindestens ${Anzeigestil (1-p)n}$ der Daten ist größer oder gleich ${displaystyle x_{p}}$.

Hier gilt das gleiche wie in a diskrete Verteilung: Wenn zwei benachbarte Ergebnisse die Anforderungen erfüllen, wird der Durchschnitt beider als Quantil genommen.

In einer abstrakten oder konkreten Population ist ein Quantil ein Parameter der Population. In einer Stichprobe ist ein Quantil a schätzen des entsprechenden Quantils in der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe gezogen wurde.

Beispiele

Das 0,20-Quantil ${displaystyle x_{0{,}20}}$ in einem Exponentialverteilung mit Parameter 1 wird durch die Gleichung bestimmt:

${displaystyle 0{,}20=F(x_{0{,}20})=1-e^{-x_{0{,}20}}}$,

woraus folgt:

${displaystyle x_{0{,}20}=-ln(0{,}80)=ln(5)-ln(4)}$

Das 0,2-Quantil des (geordneten) Datensatzes:

${Anzeigestil 2,3,5,7,8,9,11,12,15}$

ist die Zahl 3. Es gibt 2, also mindestens 1,8 Zahlen kleiner oder gleich 3, und es gibt 8, also mindestens 7,2 Zahlen größer oder gleich 3.

Aus dem Datensatz:

${Anzeigestil 2,3,5,7,8,9,11,12,15,20}$

Sowohl 3 als auch 5 erfüllen die Anforderungen. Das 0,2-Quantil ist also (3 5)/2 = 4. Wir sehen auch, dass 4 den Datensatz schön in einen Teil von 2 und einen Teil von 8 Zahlen aufteilt.

Formel

Wenn der Datensatz eine endliche Grundgesamtheit oder ein Stichprobenergebnis von ist ${displaystyle n}$ Elemente, ist es? ${displaystyle p}$-quantiliere das "Element" mit if Rangnummer in den bestellten Terminen:

${displaystyle pn { frac {1}{2}}}$

Das Wort "Element" steht in Anführungszeichen, da dieser Rang nicht immer a . ist gerade Zahl. Als Quantil wird dann der Durchschnitt der umgebenden Elemente gewählt.

Spezielle Quantile

Die zu einer Unterteilung in 2, 4, 10 oder 100 Teile gehörenden Quantile haben einen eigenen Namen.

• 2 Teile: Median
• 4 Teile: Quartile
• 10 Teile: Dezile
• 100 Teile: Perzentile