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In dem Statistik ist ein Quartil einer von drei Werten, die einen geordneten Datensatz darstellen, der Stichprobe oder Population, in vier (so gut wie möglich) gleiche Teile teilen. In diesem Fall ist jeder Teil ein Viertel des Datensatzes. Man spricht vom ersten, zweiten und dritten Quartil und schreibt sie auf als ${displaystyle Q_{1}}$, ${displaystyle Q_{2}}$ und ${displaystyle Q_{3}}$.

In diesem System werden die Extreme des Datensatzes, die Minimum und der maximal notiert als ${displaystyle Q_{0}}$ und ${displaystyle Q_{4}}$. Mit den so ermittelten fünf Quartilen lässt sich ein Datensatz kurz zusammenfassen, was die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung heiß.

Definition

Quartile eines Datensatzes

Für das erste Quartil ${displaystyle Q_{1}}$ gilt:

• mindestens 1/4 der Daten sind nicht größer als ${displaystyle Q_{1}}$
• mindestens 3/4 der Daten sind nicht weniger als ${displaystyle Q_{1}}$

Für das zweite Quartil ${displaystyle Q_{2}}$ gilt:

• mindestens 1/2 der Daten ist nicht größer als ${displaystyle Q_{2}}$
• mindestens 1/2 der Daten sind nicht weniger als ${displaystyle Q_{2}}$

Für das dritte Quartil ${displaystyle Q_{3}}$ gilt:

• mindestens 3/4 der Daten sind nicht größer als ${displaystyle Q_{3}}$
• mindestens 1/4 der Daten sind nicht weniger als ${displaystyle Q_{3}}$

So formal vermerkt gilt für die Quartile der ${displaystyle n}$ Termine${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$:

${displaystyle #{kmid x_{k}leq Q_{1}}geq { frac {1}{4}}n}$

${displaystyle #{kmid x_{k}geq Q_{1}}geq { frac {3}{4}}n}$

${displaystyle #{kmid x_{k}leq Q_{2}}geq { frac {1}{2}}n}$

${displaystyle #{kmid x_{k}geq Q_{2}}geq { frac {1}{2}}n}$

${displaystyle #{kmid x_{k}leq Q_{3}}geq { frac {3}{4}}n}$

${displaystyle #{kmid x_{k}geq Q_{3}}geq { frac {1}{4}}n}$

Quartile einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für die Quartile der Wahrscheinlichkeitsverteilung von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$ gilt:

• ${displaystyle P(Xleq Q_{i})geq {frac {i}{4}}}$;
• ${displaystyle P(Xgeq Q_{i})geq 1-{frac {i}{4}}}$.

Bereitstellung

Die obige Definition bestimmt die Quartile nicht in allen Fällen eindeutig.Beispielsweise bei einem endlichen Datensatz bestehend aus 8 Daten teilen die Quartile den Datensatz in genau vier gleiche Teile, aber die Quartile sind nicht eindeutig bestimmt. Für das erste Quartil qualifizieren sich alle Zahlen zwischen der zweiten und dritten Größe. Das Offensichtliche ist der Durchschnitt der 2. und 3. Zahl als ${displaystyle Q_{1}}$ zu wählen, aber es muss völlig klar sein, dass dies ein Wahl. Wenn die Anzahl der Daten nicht vervierfacht wird, ist eine Aufteilung des Datensatzes in vier gleiche Teile nicht möglich. Auch in diesem Fall muss man eine bestimmte Methode zur Bestimmung der Quartile wählen.

Zur Berechnung der Quartile sind mehrere Methoden bekannt. In jedem statistischen Softwarepaket ist ein spezifisches Algorithmus, wodurch verschiedene Pakete unterschiedliche Werte für die Quartile bereitstellen können.

Quartile sind ein Sonderfall von Perzentilen. Im Eintrag über Perzentile Es werden zehn verschiedene Methoden zur Berechnung von Perzentilen und damit auch Quartilen angegeben. Siehe auch die Mathworld-Website.

Eine der Methoden zur Berechnung von Quartilen

Ein üblicher Weg, um aus einem bestellten Set zu kommen ${displaystyle x_{(1)}leq ldots leq x_{(n)}}$ von ${displaystyle n}$ Daten zur Bestimmung der Quartile sind wie folgt:

${displaystyle Q_{1}=x_{(k)},{ ext{with }}k=leftlbrack { frac {n 1}{4}}ightbrack }$

${displaystyle Q_{2}=x_{(k)},{ ext{with }}k=leftlbrack { frac {n 1}{2}}ightbrack }$

${displaystyle Q_{3}=x_{(k)},{ ext{with }}k=leftlbrack { frac {3n 3}{4}}ightbrack }$,

darin ist ${displaystyle lbrack ,cdot ,brack }$ das Nint-Funktion, zum Runden auf die nächste ganze Zahl.

Interquartilsabstand

Der Unterschied zwischen dem ersten und dem dritten Quartil ${displaystyle Q_{3}-Q_{1}}$ wird Interquartilsabstand als Maß für die Verbreitung der Daten bezeichnet.

Siehe auch

• Quintile, die das Set in 5 gleiche Teile teilen;
• Dezile die das Set in 10 gleiche Teile teilen;
• Perzentile, die das Set in 100 gleiche Teile teilen

Externer Link

• (und) Quartil, Mathworld