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Die transponierte Matrix ${Displaystil A^{ ext{T}}}$ einer Matrix ${Anzeigestil A}$ erhält man durch die Elemente entlang der obtained Hauptdiagonale zu Spiegel. Wenn dieser Vorgang ein zweites Mal durchgeführt wird, ist das Ergebnis die ursprüngliche Matrix ${Anzeigestil A}$.

In dem Lineare Algebra ist der transponierte Matrix, normalerweise kurz das transponierte genannt, von a Matrix${Anzeigestil A}$ die Matrix ${Displaystil A^{ ext{T}}}$, auch geschrieben als ${displaystyle A^{tr}, ^{t}!!A}$ oder ${Anzeigestil A'}$ erstellt, indem Sie eine der folgenden äquivalenten Aktionen ausführen:

• Schreiben Sie die Reihen von ${Anzeigestil A}$ wenn die Spalten von ${Displaystil A^{ ext{T}}}$
• Schreiben Sie die Spalten von ${Anzeigestil A}$ wie die Reihen von ${Displaystil A^{ ext{T}}}$
• wenn ${Anzeigestil A}$ ein quadratische Matrix ist: Spiegel${Anzeigestil A}$ sein Hauptdiagonale so ${Displaystil A^{ ext{T}}}$ erhalten.

Definition

Die transponierte Matrix von a ${displaystyle mimen n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ ist der ${Displaystil-Nimesm}$-Matrix ${Displaystil A^{ ext{T}}}$ definiert von:

${displaystyle A_{ij}^{ ext{T}}=A_{ji}}$ vor dem ${displaystyle 1leq ileq n,quad 1leq jleq m.}$

Beispiele

• ${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/3&4/5&6end{bmatrix}}^{ ext{T}}={ egin{bmatrix}1&3&5/2&4&6end{bmatrix}}}$

• ${displaystyle { egin{bmatrix}1&2/3&4end{bmatrix}}^{ ext{T}}={ egin{bmatrix}1&3/2&4end{bmatrix}}}$

Eigenschaften

Für die Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B,}$ und der Skalar${Anzeigestil c}$ es gelten die folgenden Eigenschaften der Transpositionsoperation:

1. ${displaystyle (A^{ ext{T}})^{ ext{T}}=A}$

   Die transponierte Matrix einer transponierten Matrix ist die Originalmatrix. Transponieren ist a Involution (eine eigene Operation invers ist).

2. ${displaystyle (A B)^{ ext{T}}=A^{ ext{T}} B^{ ext{T}}}$

   Transponieren behält die Addition bei.

3. ${displaystyle (AB)^{ ext{T}}=B^{ ext{T}}A^{ ext{T}}}$

   Beachten Sie, dass sich die Reihenfolge der Faktoren umkehrt. Daraus lässt sich ableiten, dass a quadratische Matrix${Anzeigestil A}$invertierbar ist dann und nur dann, wenn${Displaystil A^{ ext{T}}}$ ist invertierbar, und in diesem Fall ist ${displaystyle (A^{-1})^{ ext{T}}=(A^{ ext{T}})^{-1}.}$ Es ist relativ einfach, dieses Ergebnis auf den allgemeineren Fall von mehr als zwei Matrizen zu übertragen; dann gilt ${displaystyle (ABldots C)^{ ext{T}}=C^{ ext{T}}ldots B^{ ext{T}}A^{ ext{T}}.}$

4. ${displaystyle (cA)^{ ext{T}}=cA^{ ext{T}}}$

   Die Transponierte von a Skalar ist der gleiche Skalar. Zusammen mit (2) folgt, dass das Transponieren von a lineares Bild ist von der Platz von ${displaystyle mimen n}$Matrizen zum Raum aller ${Displaystil-Nimesm}$Matrizen.

5. ${displaystyle det(A^{ ext{T}})=det(A)}$

   Das bestimmend von a quadratische Matrix gleich der Determinante seiner transponierten Matrix ist.

6. Es internes Produkt von zwei Spaltenvektoren${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ kann berechnet werden als

   ${displaystyle acdot b=a^{mathrm {T} }b}$

7. Wenn die Matrix ${Anzeigestil A}$ hat nur reelle Elemente, dann ist ${displaystyle A^{ ext{T}}A}$ ein positive semidefinite Matrix.
8. wenn ${Anzeigestil A}$ eine Matrix ist ungefähr a Körper/Feld, dann ist ${Anzeigestil A}$ähnlich mit ${Displaystil A^{ ext{T}}.}$
9. ${displaystyle (A^{ ext{T}})^{-1}=(A^{-1})^{ ext{T}}}$

   Für ein invertierbare Matrix${Anzeigestil A}$ die transponierte Matrix der Inversen ist die Inverse der Transponierten.

10. wenn ${Anzeigestil A}$ ein quadratische Matrix ist, dann ist die Eigenwerte gleich den Eigenwerten seiner transponierten.

Matrizen mit besonderen Eigenschaften unter Transposition

Eine quadratische Matrix gleich ihrer transponierten wird a symmetrische Matrix erwähnt; das ist das ${Anzeigestil A}$ ist symmetrisch, wenn

${Displaystil A^{ ext{T}}=A}$

Eine quadratische Matrix, deren transponierte auch invers ist, wird a orthogonale Matrix erwähnt; das heißt, die Matrix ${Anzeigestil G}$ ist orthogonal, wenn

${displaystyle GG^{ ext{T}}=G^{ ext{T}}G=I}$ (das Einheitenmatrix),

So

${displaystyle G^{ ext{T}}=G^{-1}=I}$

und die Spalten von ${Anzeigestil G}$ sein orthonormal.

Eine quadratische Matrix gleich dem Gegenteil ihrer transponierten Matrix wird a antisymmetrische Matrix erwähnt; das heißt, die Matrix ${Anzeigestil A}$ ist antisymmetrisch, wenn

${Displaystil A^{ ext{T}}=-G}$

Das transponierte Matrix konjugieren${Displaystil A^{*}}$ des Komplex Matrix ${Anzeigestil A}$ erhält man durch die Transponierte von ${Anzeigestil A}$ und der komplex konjugiert jedes Matrixelements:

${displaystyle A^{*}={overline {A}}^{ ext{T}}={overline {A^{ ext{T}}}}}}$

wobei der Balken das Komplexkonjugat anzeigt.