WikiDer > Список интегралов от функций Гаусса

В этих выражениях

${ displaystyle phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2}} x ^ {2}}}$

это стандартный нормальный функция плотности вероятности,

${ Displaystyle Phi (x) = int _ {- infty} ^ {x} phi (t) , dt = { frac {1} {2}} left (1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right)}$

соответствующий кумулятивная функция распределения (куда Эрф это функция ошибки) и

${ Displaystyle Т (ч, а) = фи (ч) int _ {0} ^ {а} { гидроразрыва { фи (hx)} {1 + х ^ {2}}} , dx}$

является T функция Оуэна.

Оуэн^{[nb 1]} имеет обширный список интегралов гауссовского типа; ниже приводится только подмножество.

Неопределенные интегралы

${ Displaystyle int phi (x) , dx = Phi (x) + C}$

${ Displaystyle Int х фи (х) , dx = - фи (х) + С}$

${ Displaystyle int х ^ {2} phi (x) , dx = Phi (x) -x phi (x) + C}$

${ Displaystyle int х ^ {2k + 1} phi (x) , dx = - phi (x) sum _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k) !!} { (2j) !!}} x ^ {2j} + C}$^{[nb 2]}

${ displaystyle int x ^ {2k + 2} phi (x) , dx = - phi (x) sum _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k + 1) !! } {(2j + 1) !!}} x ^ {2j + 1} + (2k + 1) !! , Phi (x) + C}$

В этих интегралах п!! это двойной факториал: даже для п он равен произведению всех четных чисел от 2 до п, а для нечетных п это произведение всех нечетных чисел от 1 до п ; дополнительно предполагается, что 0!! = (−1)!! = 1.

${ displaystyle int phi (x) ^ {2} , dx = { frac {1} {2 { sqrt { pi}}}} Phi left (x { sqrt {2}} вправо) + C}$

${ displaystyle int phi (x) phi (a + bx) , dx = { frac {1} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left (tx + { frac {ab} {t}} right) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}}$^{[№ 3]}

${ displaystyle int x phi (a + bx) , dx = - { frac {1} {b ^ {2}}} left ( phi (a + bx) + a Phi (a + bx ) right) + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b ^ {3}}} left ((a ^ {2} +1) Phi ( a + bx) + (a-bx) phi (a + bx) right) + C}$

${ displaystyle int phi (a + bx) ^ {n} , dx = { frac {1} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ sqrt {n}} (a + bx) right) + C}$

${ Displaystyle int Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b}} left ((a + bx) Phi (a + bx) + phi (a + bx) вправо) + C}$

${ displaystyle int x Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {2b ^ {2}}} left ((b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2 } -1) Phi (a + bx) + (bx-a) phi (a + bx) right) + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {3b ^ {3}}} left ((b ^ {3} x ^ {3} + a ^ {3} + 3a) Phi (a + bx) + (b ^ {2} x ^ {2} -abx + a ^ {2} +2) phi (a + bx) right) + C }$

${ displaystyle int x ^ {n} Phi (x) , dx = { frac {1} {n + 1}} left ( left (x ^ {n + 1} -nx ^ {n- 1} right) Phi (x) + x ^ {n} phi (x) + n (n-1) int x ^ {n-2} Phi (x) , dx right) + C }$

${ displaystyle int x phi (x) Phi (a + bx) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left (xt + { frac {ab} {t}} right) - phi (x) Phi (a + bx) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2} }}}$

${ Displaystyle int Phi (x) ^ {2} , dx = x Phi (x) ^ {2} +2 Phi (x) phi (x) - { frac {1} { sqrt { pi}}} Phi left (x { sqrt {2}} right) + C}$

${ displaystyle int e ^ {cx} phi (bx) ^ {n} , dx = { frac {e ^ { frac {c ^ {2}} {2nb ^ {2}}}} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ frac {b ^ {2} xn-c} {b { sqrt {n}}}}} right) + C, qquad b neq 0, n> 0}$

Определенные интегралы

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) ^ {n} , dx = { frac {1} { sqrt {n ^ {3} ( 2 pi) ^ {n-1}}}}}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ {0} phi (ax) Phi (bx) dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} - arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} phi (ax) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} + arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 { sqrt {2 pi}}}} left (1 + { frac {b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {4}} + { frac {1} {2 pi}} left ({ frac {b} {1 + b ^ {2}}} + arctan (b) right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) ^ {2} Phi (x) , dx = { frac {1} {4 pi { sqrt {3}} }}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} {2 pi}} left ( arctan ( б) + arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} right) -2T left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}}, { frac {1} { sqrt { 1 + 2b ^ {2}}}} right)}$

${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} х Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {2b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left ({ frac {a} {{ sqrt {1 + b ^ {2}}}) { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}}} right)}$^{[№ 4]}

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} { pi}} arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}}$

${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} х phi (x) Phi (bx) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) ^ {2} , dx = { frac {b} { sqrt {2 pi (1 + b ^ {2})}}}}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b) ^ {2}}}} right)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right), qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac { a} {t}} right) Phi left (- { frac {ab} {t}} right) + { frac {1} { sqrt {2 pi}}} Phi (a) , qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ln (x ^ {2}) { frac {1} { sigma}} phi left ({ frac {x} { sigma }} right) , dx = ln ( sigma ^ {2}) - gamma - ln 2 приблизительно ln ( sigma ^ {2}) - 1.27036}$

Рекомендации

• Patel, Jagdish K .; Прочтите, Кэмпбелл Б. (1996). Справочник по нормальному распределению (2-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-9342-0.CS1 maint: ref = harv (связь)

• Оуэн, Д. (1980). «Таблица нормальных интегралов». Коммуникации в статистике: моделирование и вычисления. B9: 389–419.CS1 maint: ref = harv (связь)