Статья со списком Википедии
В математике определенный интеграл :
∫ а б ж ( Икс ) d Икс { displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx} это площадь региона в ху -плоскость, ограниченная графиком ж , то Икс -ось и линии Икс = а и Икс = б , так что область над Икс -axis добавляет к общей сумме, и что ниже Икс ось вычитает из суммы.
В основная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит метод вычисления определенных интегралов.
Если интервал бесконечен, определенный интеграл называется несобственный интеграл и определяется с использованием соответствующих ограничивающих процедур. Например:
∫ а ∞ ж ( Икс ) d Икс = Lim б → ∞ [ ∫ а б ж ( Икс ) d Икс ] { Displaystyle int _ {a} ^ { infty} е (х) , dx = lim _ {b to infty} left [ int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right]} Константа, такая как pi, которая может быть определена интегралом алгебраической функции по алгебраической области, известна как период .
Ниже приводится список наиболее часто встречающихся определенных Интегралы . Для списка неопределенные интегралы видеть Список неопределенных интегралов
== Определенные интегралы, включающие рациональные или иррациональные выражения ==
∫ 0 ∞ Икс м d Икс Икс п + а п = π а м − п + 1 п грех ( м + 1 п π ) за 0 < м + 1 < п { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {x ^ {n} + a ^ {n}}} = { frac { pi a ^ {m -n + 1}} {n sin left ({ dfrac {m + 1} {n}} pi right)}} quad { mbox {for}} 0 ∫ 0 ∞ Икс п − 1 d Икс 1 + Икс = π грех ( п π ) за 0 < п < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {p-1} dx} {1 + x}} = { frac { pi} { sin (p pi)} } quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ Икс м d Икс 1 + 2 Икс потому что β + Икс 2 = π грех ( м π ) ⋅ грех ( м β ) грех ( β ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {1 + 2x cos beta + x ^ {2}}} = { frac { pi} { sin (m pi)}} cdot { frac { sin (m beta)} { sin ( beta)}}} ∫ 0 а d Икс а 2 − Икс 2 = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = { frac { pi} {2}}} ∫ 0 а а 2 − Икс 2 d Икс = π а 2 4 { displaystyle int _ {0} ^ {a} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} dx = { frac { pi a ^ {2}} {4}}} ∫ 0 а Икс м ( а п − Икс п ) п d Икс = а м + 1 + п п Γ ( м + 1 п ) Γ ( п + 1 ) п Γ ( м + 1 п + п + 1 ) { displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {m} (a ^ {n} -x ^ {n}) ^ {p} , dx = { frac {a ^ {m + 1 + np} Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} right) Gamma (p + 1)} {n Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} + p + 1 right)}}} ∫ 0 ∞ Икс м d Икс ( Икс п + а п ) р = ( − 1 ) р − 1 π а м + 1 − п р Γ ( м + 1 п ) п грех ( м + 1 п π ) ( р − 1 ) ! Γ ( м + 1 п − р + 1 ) за п ( р − 2 ) < м + 1 < п р { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {({x ^ {n} + a ^ {n})} ^ {r}}} = { frac {(-1) ^ {r-1} pi a ^ {m + 1-nr} Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} right)} {n sin left ({ dfrac {m + 1} {n}} pi right) (r-1)! , Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} - r + 1 right) }} quad { mbox {for}} n (r-2) Определенные интегралы с участием тригонометрических функций
∫ 0 π грех ( м Икс ) грех ( п Икс ) d Икс = { 0 если м ≠ п π 2 если м = п за м , п положительные целые числа { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin (mx) sin (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m neq n { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} m = n end {case}} quad { text {for}} m, n { text {положительные целые числа}}} ∫ 0 π потому что ( м Икс ) потому что ( п Икс ) d Икс = { 0 если м ≠ п π 2 если м = п за м , п положительные целые числа { displaystyle int _ {0} ^ { pi} cos (mx) cos (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m neq n { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} m = n end {case}} quad { text {for}} m, n { text {положительные целые числа}}} ∫ 0 π грех ( м Икс ) потому что ( п Икс ) d Икс = { 0 если м + п четное 2 м м 2 − п 2 если м + п странный за м , п целые числа . { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin (mx) cos (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m + n { text {even}} { dfrac {2m} {m ^ {2} -n ^ {2}}} & { text {if}} m + n { text {odd}} end {case}} quad { text {for}} m, n { text {целые числа}}.} ∫ 0 π 2 грех 2 ( Икс ) d Икс = ∫ 0 π 2 потому что 2 ( Икс ) d Икс = π 4 { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {2} (x) dx = { frac { pi} {4}}} ∫ 0 π 2 грех 2 м ( Икс ) d Икс = ∫ 0 π 2 потому что 2 м ( Икс ) d Икс = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 м − 1 ) 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 м ⋅ π 2 за м = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2m} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {2m} (x) dx = { frac {1 times 3 times 5 times cdots times (2m-1)} {2 times 4 times 6 times cdots times 2m} } cdot { frac { pi} {2}} quad { mbox {for}} m = 1,2,3 ldots} ∫ 0 π 2 грех 2 м + 1 ( Икс ) d Икс = ∫ 0 π 2 потому что 2 м + 1 ( Икс ) d Икс = 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 м 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 м + 1 ) за м = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2m + 1} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2 }} cos ^ {2m + 1} (x) dx = { frac {2 times 4 times 6 times cdots times 2m} {1 times 3 times 5 times cdots times (2m +1)}} quad { mbox {for}} m = 1,2,3 ldots} ∫ 0 π 2 грех 2 п − 1 ( Икс ) потому что 2 q − 1 ( Икс ) d Икс = Γ ( п ) Γ ( q ) 2 Γ ( п + q ) = 1 2 B ( п , q ) { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2p-1} (x) cos ^ {2q-1} (x) dx = { frac { Гамма (p) Gamma (q)} {2 Gamma (p + q)}} = { frac {1} {2}} { text {B}} (p, q)} ∫ 0 ∞ грех ( п Икс ) Икс d Икс = { π 2 если п > 0 0 если п = 0 − π 2 если п < 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (px)} {x}} dx = { begin {cases} { dfrac { pi} {2}} & { текст {if}} p> 0 0 & { text {if}} p = 0 - { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} p <0 end {case}}} Интеграл Дирихле ) ∫ 0 ∞ грех п Икс потому что q Икс Икс d Икс = { 0 если q > п > 0 π 2 если 0 < q < п π 4 если п = q > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin px cos qx} {x}} dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} q> p> 0 { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} 0 0 end {case}}} ∫ 0 ∞ грех п Икс грех q Икс Икс 2 d Икс = { π п 2 если 0 < п ≤ q π q 2 если 0 < q ≤ п { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin px sin qx} {x ^ {2}}} dx = { begin {cases} { dfrac { pi p} {2}} & { text {if}} 0
∫ 0 ∞ грех 2 п Икс Икс 2 d Икс = π п 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} px} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi p} {2}}} ∫ 0 ∞ 1 − потому что п Икс Икс 2 d Икс = π п 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {1- cos px} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi p} {2}}} ∫ 0 ∞ потому что п Икс − потому что q Икс Икс d Икс = пер q п { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos px- cos qx} {x}} dx = ln { frac {q} {p}}} ∫ 0 ∞ потому что п Икс − потому что q Икс Икс 2 d Икс = π ( q − п ) 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos px- cos qx} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi (qp)} {2} }} ∫ 0 ∞ потому что м Икс Икс 2 + а 2 d Икс = π 2 а е − м а { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos mx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi} {2a}} e ^ {- ma}} ∫ 0 ∞ Икс грех м Икс Икс 2 + а 2 d Икс = π 2 е − м а { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x sin mx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi} {2} } e ^ {- ma}} ∫ 0 ∞ грех м Икс Икс ( Икс 2 + а 2 ) d Икс = π 2 а 2 ( 1 − е − м а ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {x (x ^ {2} + a ^ {2})}} dx = { frac { pi} { 2a ^ {2}}} left (1-e ^ {- ma} right)} ∫ 0 2 π d Икс а + б грех Икс = 2 π а 2 − б 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {a + b sin x}} = { frac {2 pi} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 2 π d Икс а + б потому что Икс = 2 π а 2 − б 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {a + b cos x}} = { frac {2 pi} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 π 2 d Икс а + б потому что Икс = потому что − 1 ( б а ) а 2 − б 2 { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {dx} {a + b cos x}} = { frac { cos ^ {- 1} left ({ dfrac {b} {a}} right)} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 2 π d Икс ( а + б грех Икс ) 2 = ∫ 0 2 π d Икс ( а + б потому что Икс ) 2 = 2 π а ( а 2 − б 2 ) 3 / 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {(a + b sin x) ^ {2}}} = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {(a + b cos x) ^ {2}}} = { frac {2 pi a} {(a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2} }}} ∫ 0 2 π d Икс 1 − 2 а потому что Икс + а 2 = 2 π 1 − а 2 за 0 < а < 1 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { frac {2 pi} {1-a ^ {2}}} quad { mbox {for}} 0 ∫ 0 π Икс грех Икс d Икс 1 − 2 а потому что Икс + а 2 = { π а пер | 1 + а | если | а | < 1 π а пер | 1 + 1 а | если | а | > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac {x sin x dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { begin {cases} { dfrac { pi} {a}} ln left | 1 + a right | & { text {if}} | a | <1 { dfrac { pi} {a}} ln left | 1 + { dfrac {1} {a}} right | & { text {if}} | a |> 1 end {case}}} ∫ 0 π потому что м Икс d Икс 1 − 2 а потому что Икс + а 2 = π а м 1 − а 2 за а 2 < 1 , м = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac { cos mx dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { frac { pi a ^ {m }} {1-a ^ {2}}} quad { mbox {for}} a ^ {2} <1 , m = 0,1,2, dots} ∫ 0 ∞ грех а Икс 2 d Икс = ∫ 0 ∞ потому что а Икс 2 = 1 2 π 2 а { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {2} dx = int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {2} = { frac {1} { 2}} { sqrt { frac { pi} {2a}}}} ∫ 0 ∞ грех а Икс п = 1 п а 1 / п Γ ( 1 п ) грех π 2 п за п > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {n} = { frac {1} {na ^ {1 / n}}} Gamma left ({ frac {1} { n}} right) sin { frac { pi} {2n}} quad { mbox {for}} n> 1} ∫ 0 ∞ потому что а Икс п = 1 п а 1 / п Γ ( 1 п ) потому что π 2 п за п > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {n} = { frac {1} {na ^ {1 / n}}} Gamma left ({ frac {1} { n}} right) cos { frac { pi} {2n}} quad { mbox {for}} n> 1} ∫ 0 ∞ грех Икс Икс d Икс = ∫ 0 ∞ потому что Икс Икс d Икс = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} { sqrt {x}}} dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { cos x} { sqrt {x}}} dx = { sqrt { frac { pi} {2}}}} ∫ 0 ∞ грех Икс Икс п d Икс = π 2 Γ ( п ) грех ( п π 2 ) за 0 < п < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x ^ {p}}} dx = { frac { pi} {2 Gamma (p) sin left ({ dfrac {p pi} {2}} right)}} quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ потому что Икс Икс п d Икс = π 2 Γ ( п ) потому что ( п π 2 ) за 0 < п < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos x} {x ^ {p}}} dx = { frac { pi} {2 Gamma (p) cos left ({ dfrac {p pi} {2}} right)}} quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ грех а Икс 2 потому что 2 б Икс d Икс = 1 2 π 2 а ( потому что б 2 а − грех б 2 а ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {2} cos 2bx dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2a} }} left ( cos { frac {b ^ {2}} {a}} - sin { frac {b ^ {2}} {a}} right)} ∫ 0 ∞ потому что а Икс 2 потому что 2 б Икс d Икс = 1 2 π 2 а ( потому что б 2 а + грех б 2 а ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {2} cos 2bx dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2a} }} left ( cos { frac {b ^ {2}} {a}} + sin { frac {b ^ {2}} {a}} right)} Определенные интегралы с участием экспоненциальных функций
∫ 0 ∞ Икс е − Икс d Икс = 1 2 π { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { sqrt {x}} , e ^ {- x} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi} }} Гамма-функция ) ∫ 0 ∞ е − а Икс потому что б Икс d Икс = а а 2 + б 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ е − а Икс грех б Икс d Икс = б а 2 + б 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ е − а Икс грех б Икс Икс d Икс = загар − 1 б а { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {{} e ^ {- ax} sin bx} {x}} , dx = tan ^ {- 1} { frac {b } {а}}} ∫ 0 ∞ е − а Икс − е − б Икс Икс d Икс = пер б а { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} , dx = ln { frac {b} {a }}} ∫ 0 ∞ е − а Икс 2 d Икс = 1 2 π а за а > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a }}} quad { mbox {for}} а> 0} Гауссов интеграл ) ∫ 0 ∞ е − а Икс 2 потому что б Икс d Икс = 1 2 π а е ( − б 2 4 а ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {e ^ {- ax ^ {2}}} cos bx , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {-b ^ {2}} {4a}} right)}} ∫ 0 ∞ е − ( а Икс 2 + б Икс + c ) d Икс = 1 2 π а е ( б 2 − 4 а c 4 а ) ⋅ erfc б 2 а , куда erfc ( п ) = 2 π ∫ п ∞ е − Икс 2 d Икс { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right)} cdot operatorname {erfc} { frac {b} {2 { sqrt {a}}}}, { text {где}} operatorname {erfc} (p) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {p} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx} ∫ − ∞ ∞ е − ( а Икс 2 + б Икс + c ) d Икс = π а е ( б 2 − 4 а c 4 а ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} dx = { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right)}} ∫ 0 ∞ Икс п е − а Икс d Икс = Γ ( п + 1 ) а п + 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax} dx = { frac { Gamma (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} } ∫ 0 ∞ Икс 2 е − а Икс 2 d Икс = 1 4 π а 3 за а > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {4}} { sqrt { гидроразрыв { pi} {a ^ {3}}}} quad { mbox {for}} a> 0} ∫ 0 ∞ Икс 2 п е − а Икс 2 d Икс = 2 п − 1 2 а ∫ 0 ∞ Икс 2 ( п − 1 ) е − а Икс 2 d Икс = ( 2 п − 1 ) ! ! 2 п + 1 π а 2 п + 1 = ( 2 п ) ! п ! 2 2 п + 1 π а 2 п + 1 за а > 0 , п = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {2n-1} {2a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2 (n-1)} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n + 1} }} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}} = { frac {(2n)!} {n! 2 ^ {2n + 1}}} { sqrt { гидроразрыв { pi} {a ^ {2n + 1}}}} quad { mbox {for}} a> 0 , n = 1,2,3 ldots} двойной факториал ) ∫ 0 ∞ Икс 3 е − а Икс 2 d Икс = 1 2 а 2 за а > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {3} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {2a ^ {2}}} quad { mbox {for}} а> 0} ∫ 0 ∞ Икс 2 п + 1 е − а Икс 2 d Икс = п а ∫ 0 ∞ Икс 2 п − 1 е − а Икс 2 d Икс = п ! 2 а п + 1 за а > 0 , п = 0 , 1 , 2 … { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n} {a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2n-1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n!} {2a ^ {n + 1}}} quad { mbox { для}} a> 0 , n = 0,1,2 ldots} ∫ 0 ∞ Икс м е − а Икс 2 d Икс = Γ ( м + 1 2 ) 2 а ( м + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {m} e ^ {- ax ^ {2}} dx = { frac { Gamma left ({ dfrac {m + 1} { 2}} right)} {2a ^ { left ({ frac {m + 1} {2}} right)}}}} ∫ 0 ∞ е ( − а Икс 2 − б Икс 2 ) d Икс = 1 2 π а е − 2 а б { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ { left (-ax ^ {2} - { frac {b} {x ^ {2}}} right)} dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ {- 2 { sqrt {ab}}}} ∫ 0 ∞ Икс е Икс − 1 d Икс = ζ ( 2 ) = π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} dx = zeta (2) = { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 ∞ Икс п − 1 е Икс − 1 d Икс = Γ ( п ) ζ ( п ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {n-1}} {e ^ {x} -1}} dx = Gamma (n) zeta (n)} ∫ 0 ∞ Икс е Икс + 1 d Икс = 1 1 2 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + ⋯ = π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} +1}} dx = { frac {1} {1 ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} - { frac {1} {4 ^ {2}}} + dots = { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 ∞ грех м Икс е 2 π Икс − 1 d Икс = 1 4 кот м 2 − 1 2 м { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {e ^ {2 pi x} -1}} dx = { frac {1} {4}} coth { frac {m} {2}} - { frac {1} {2m}}} ∫ 0 ∞ ( 1 1 + Икс − е − Икс ) d Икс Икс = γ { displaystyle int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {1 + x}} - e ^ {- x} right) { frac {dx} {x}} = gamma} γ { displaystyle gamma} Константа Эйлера – Маскерони ) ∫ 0 ∞ е − Икс 2 − е − Икс Икс d Икс = γ 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} dx = { frac { gamma} {2}}} ∫ 0 ∞ ( 1 е Икс − 1 − е − Икс Икс ) d Икс = γ { displaystyle int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {e ^ {x} -1}} - { frac {e ^ {- x}} {x}} справа) dx = gamma} ∫ 0 ∞ е − а Икс − е − б Икс Икс сек п Икс d Икс = 1 2 пер б 2 + п 2 а 2 + п 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x sec px}} dx = { frac {1} {2 }} ln { frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ е − а Икс − е − б Икс Икс csc п Икс d Икс = загар − 1 б п − загар − 1 а п { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x csc px}} dx = tan ^ {- 1} { frac {b} {p}} - tan ^ {- 1} { frac {a} {p}}} ∫ 0 ∞ е − а Икс ( 1 − потому что Икс ) Икс 2 d Икс = детская кроватка − 1 а − а 2 пер | а 2 + 1 а 2 | { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} (1- cos x)} {x ^ {2}}} dx = cot ^ {- 1} a - { frac {a} {2}} ln left | { frac {a ^ {2} +1} {a ^ {2}}} right |} ∫ − ∞ ∞ е − Икс 2 d Икс = π { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}} ∫ − ∞ ∞ Икс 2 ( п + 1 ) е − 1 2 Икс 2 d Икс = ( 2 п + 1 ) ! 2 п п ! 2 π за п = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2 (n + 1)} e ^ {- { frac {1} {2}} x ^ {2}} , dx = { frac {(2n + 1)!} {2 ^ {n} n!}} { sqrt {2 pi}} quad { mbox {for}} n = 0,1,2, ldots} Интегралы Хридая
Эти интегралы были первоначально получены Хридаем Нараяном Мишрой 31 августа 2020 года в ИНДИИ. Эти интегралы были позже получены с использованием методов контурного интегрирования Рейнольдсом и Штауффером в 2020 году.
∫ 0 ∞ пер ( 1 + е − 2 π α Икс ) 1 + Икс 2 d Икс = − π ( α + пер [ Γ ( 1 2 + α ) α α 2 π ] ) за р е ( α ) > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1 + e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - pi left ( alpha + ln left [{ frac { Gamma left ({ frac {1} {2}} + alpha right)} { alpha ^ { alpha} { sqrt {2 pi}}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0} ∫ 0 ∞ пер ( 1 − е − 2 π α Икс ) 1 + Икс 2 d Икс = − π 2 ( 2 α + пер [ Γ 2 ( 1 + α ) 2 π α 2 α + 1 ] ) за р е ( α ) > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1-e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - { frac { pi} {2}} left (2 alpha + ln left [{ frac { Gamma ^ {2} (1+ alpha)} {2 pi alpha ^ {2 alpha +1}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0} Определенные интегралы с участием логарифмических функций
∫ 0 1 Икс м ( пер Икс ) п d Икс = ( − 1 ) п п ! ( м + 1 ) п + 1 за м > − 1 , п = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {m} ( ln x) ^ {n} , dx = { frac {(-1) ^ {n} n!} {(m + 1) ^ {n + 1}}} quad { mbox {for}} m> -1, n = 0,1,2, ldots} ∫ 0 1 пер Икс 1 + Икс d Икс = − π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln x} {1 + x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 1 пер Икс 1 − Икс d Икс = − π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln x} {1-x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 1 пер ( 1 + Икс ) Икс d Икс = π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln (1 + x)} {x}} , dx = { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 1 пер ( 1 − Икс ) Икс d Икс = − π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln (1-x)} {x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 ∞ пер ( а 2 + Икс 2 ) б 2 + Икс 2 d Икс = π б пер ( а + б ) за а , б > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (a ^ {2} + x ^ {2})} {b ^ {2} + x ^ {2}}} dx = { frac { pi} {b}} ln (a + b) quad { mbox {for}} a, b> 0} ∫ 0 ∞ пер Икс Икс 2 + а 2 d Икс = π пер а 2 а за а > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln x} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi ln a} { 2a}} quad { mbox {for}} a> 0} Определенные интегралы с участием гиперболических функций
∫ 0 ∞ грех а Икс грех б Икс d Икс = π 2 б танх а π 2 б { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ax} { sinh bx}} dx = { frac { pi} {2b}} tanh { frac {a пи} {2b}}}
∫ 0 ∞ потому что а Икс шиш б Икс d Икс = π 2 б ⋅ 1 шиш а π 2 б { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos ax} { cosh bx}} dx = { frac { pi} {2b}} cdot { frac {1} { cosh { frac {a pi} {2b}}}}}
∫ 0 ∞ Икс грех а Икс d Икс = π 2 4 а 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} { sinh ax}} dx = { frac { pi ^ {2}} {4a ^ {2}}}}
∫ − ∞ ∞ 1 шиш Икс d Икс = π { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { cosh x}} dx = pi}
∫ 0 ∞ ж ( а Икс ) − ж ( б Икс ) Икс d Икс = ( Lim Икс → 0 ж ( Икс ) − Lim Икс → ∞ ж ( Икс ) ) пер ( б а ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} dx = left ( lim _ {x to 0} f (x ) - lim _ {x to infty} f (x) right) ln left ({ frac {b} {a}} right)} ж ′ ( Икс ) { displaystyle f '(x)}
Смотрите также
Рекомендации
Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2020). «Вывод логарифмических и логарифмических гиперболических интегралов по касательной, выраженных через специальные функции» . Математика . 8 (687): 687. Дои :10.3390 / math8050687 Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2019). «Определенный интеграл, включающий логарифмическую функцию в терминах функции Лерха» . Математика . 7 (1148): 1148. Дои :10.3390 / math7121148 Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2019). «Определенный интеграл от арктангенса и полилогарифмических функций, выраженных в виде ряда» . Математика . 7 (1099): 1099. Дои :10.3390 / math7111099 Винклер, Антон (1861). "Eigenschaften Einiger Bestimmten Integrale". Хоф, К.К., Эд . Spiegel, Murray R .; Липшуц, Сеймур; Лю, Джон (2009). Математический справочник формул и таблиц (3-е изд.). Макгроу-Хилл . ISBN 978-0071548557 Цвиллинджер, Даниэль (2003). Стандартные математические таблицы и формулы CRC (32-е изд.). CRC Press . ISBN 978-143983548-7 Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МИСТЕР 0167642 . LCCN 65-12253 .
![{ Displaystyle int _ {a} ^ { infty} е (х) , dx = lim _ {b to infty} left [ int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a095fbd3f49faf63702fb3b314abd0e76c40f8a)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1 + e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - pi left ( alpha + ln left [{ frac { Gamma left ({ frac {1} {2}} + alpha right)} { alpha ^ { alpha} { sqrt {2 pi}}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6a8321c8cd67ff9891706ebaa13d33986f07eb)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1-e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - { frac { pi} {2}} left (2 alpha + ln left [{ frac { Gamma ^ {2} (1+ alpha)} {2 pi alpha ^ {2 alpha +1}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365d25206324b35f1f9025af296a51cdb46a0f19)
