WikiDer > Списки интегралов

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Интеграция это основная операция в интегральное исчисление. Пока дифференциация имеет простой правила по которому производная от сложной функция может быть найден путем дифференцирования его более простых компонентных функций, интегрирование - нет, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространенных первообразные.

Историческое развитие интегралов

Сборник списка интегралов (Integraltafeln) и техники интегрального исчисления был опубликован немецким математиком. Майер Хирш [де] (он же Мейер Хирш [де]) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком. Дэвид Биренс де Хаан за его Таблицы d'intégrales définies, дополненный Дополнение aux table d'intégrales définies ок. 1864 г. Новое издание вышло в 1867 г. под названием Nouvelles table d'intégrales définies. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем они были заменены гораздо более обширными таблицами Градштейн и Рыжик. У Градштейна и Рыжика интегралы из книги Биренса де Хаана обозначены как BI.

Не все выражения в закрытой форме имеют первообразные в закрытой форме; это исследование является предметом дифференциальная теория Галуа, который изначально был разработан Джозеф Лиувиль в 1830-х и 1840-х годах, что привело к Теорема Лиувилля который классифицирует выражения с первообразными закрытой формы. Простой пример функции без первообразной замкнутой формы: е^−Икс2, первообразной которой является (с точностью до констант) функция ошибки.

С 1968 г. Алгоритм риша для определения неопределенных интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции, обычно используя система компьютерной алгебры. Интегралами, которые не могут быть выражены с помощью элементарных функций, можно манипулировать символически, используя общие функции, такие как G-функция Мейера.

Списки интегралов

Более подробную информацию можно найти на следующих страницах для списки интегралы:

• Список интегралов рациональных функций
• Список интегралов от иррациональных функций
• Список интегралов от тригонометрических функций
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список интегралов от гиперболических функций
• Список интегралов обратных гиперболических функций
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Список интегралов логарифмических функций
• Список интегралов от функций Гаусса

Градштейн, Рыжик, Геронимус, Цейтлин, Джеффри, Цвиллинджер, Молл (GR) Таблица интегралов, серий и продуктов содержит большую коллекцию результатов. Еще больший, многотомный стол - это Интегралы и ряды к Прудников, Брычков, и Маричев (в томах 1–3 перечислены интегралы и ряды элементарный и специальные функции, том 4–5 - это таблицы Преобразования Лапласа). Более компактные коллекции можно найти, например, в Брычкова, Маричева, Прудникова Таблицы неопределенных интегралов, или как главы в Zwillinger's Стандартные математические таблицы и формулы CRC или же Бронштейн и Семендяевс Путеводитель по математике, Справочник по математике или же Руководство пользователя по математике, и другие математические справочники.

Другие полезные ресурсы включают Абрамовиц и Стегун и Рукописный проект Бейтмана. Обе работы содержат много идентичностей, касающихся конкретных интегралов, которые организованы по наиболее актуальной теме, а не собраны в отдельную таблицу. Два тома рукописи Бейтмана относятся к интегральным преобразованиям.

Есть несколько веб-сайтов, на которых есть таблицы интегралов и интегралов по запросу. вольфрам Альфа может отображать результаты, а для некоторых более простых выражений также промежуточные этапы интегрирования. Wolfram Research также управляет другой онлайн-службой, Онлайн-интегратор Wolfram Mathematica.

Интегралы простых функций

C используется для произвольная постоянная интегрирования это может быть определено только в том случае, если что-то известно о значении интеграла в какой-то момент. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразные.

Эти формулы лишь формулируют в другой форме утверждения таблица производных.

Интегралы с особенностью

Когда есть необычность в интегрируемой функции так, что первообразная становится неопределенной или в какой-то момент (сингулярность), то C не обязательно должно быть одинаковым по обе стороны от сингулярности. Приведенные ниже формы обычно предполагают Главное значение Коши вокруг сингулярности в значении C но в этом нет необходимости. Например, в

${ Displaystyle int {1 над x} , dx = ln left | x right | + C}$

в 0 есть особенность и первообразный там становится бесконечным. Если бы вышеприведенный интеграл использовался для вычисления определенного интеграла между -1 и 1, можно было бы получить неправильный ответ 0. Это, однако, главное значение интеграла Коши вокруг сингулярности. Если интегрирование выполняется в комплексной плоскости, результат зависит от пути вокруг начала координат, в этом случае сингулярность способствует -яπ при использовании пути выше начала координат и яπ для пути ниже начала координат. Функция на реальной линии может использовать совершенно другое значение C по обе стороны от начала координат, как в:

${ displaystyle int {1 over x} , dx = ln | x | + { begin {cases} A & { text {if}} x> 0; B & { text {if}} x <0. end {case}}}$

Рациональные функции

Еще интегралы: Список интегралов рациональных функций

${ displaystyle int a , dx = ax + C}$

Следующая функция имеет неинтегрируемую особенность в 0 при а ≤ −1:

${ displaystyle int x ^ {n} , dx = { frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + C qquad { text {(для}} n neq -1 { текст{)}}}$ (Квадратурная формула Кавальери)

${ displaystyle int (ax + b) ^ {n} , dx = { frac {(ax + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C qquad { text {(for}} n neq -1 { text {)}}}$

${ Displaystyle int {1 над x} , dx = ln left | x right | + C}$

В более общем смысле,^[1]

${ displaystyle int {1 over x} , dx = { begin {cases} ln left | x right | + C ^ {-} & x <0 ln left | x right | + C ^ {+} & x> 0 end {case}}}$

${ displaystyle int { frac {c} {ax + b}} , dx = { frac {c} {a}} ln left | ax + b right | + C}$

Экспоненциальные функции

Еще интегралы: Список интегралов от экспоненциальных функций

${ displaystyle int e ^ {ax} , dx = { frac {1} {a}} e ^ {ax} + C}$

${ displaystyle int f '(x) e ^ {f (x)} , dx = e ^ {f (x)} + C}$

${ displaystyle int a ^ {x} , dx = { frac {a ^ {x}} { ln a}} + C}$

Логарифмы

Еще интегралы: Список интегралов логарифмических функций

${ displaystyle int ln x , dx = x ln x-x + C}$

${ displaystyle int log _ {a} x , dx = x log _ {a} x - { frac {x} { ln a}} + C = { frac {x ln xx} { ln a}} + C}$

Тригонометрические функции

Еще интегралы: Список интегралов от тригонометрических функций

${ displaystyle int sin {x} , dx = - cos {x} + C}$

${ displaystyle int cos {x} , dx = sin {x} + C}$

${ displaystyle int tan {x} , dx = - ln { left | cos {x} right |} + C = ln { left | sec {x} right |} + C }$

${ displaystyle int cot {x} , dx = ln { left | sin {x} right |} + C}$

${ displaystyle int sec {x} , dx = ln { left | sec {x} + tan {x} right |} + C = ln left | tan left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) right | + C}$

(Видеть Интеграл секущей функции. Этот результат был хорошо известной гипотезой 17 века.)

${ Displaystyle int csc {x} , dx = - ln { left | csc {x} + cot {x} right |} + C = ln { left | csc {x} - cot {x} right |} + C = ln { left | tan { frac {x} {2}} right |} + C}$

${ displaystyle int sec ^ {2} x , dx = tan x + C}$

${ displaystyle int csc ^ {2} x , dx = - cot x + C}$

${ displaystyle int sec {x} , tan {x} , dx = sec {x} + C}$

${ Displaystyle int csc {x} , cot {x} , dx = - csc {x} + C}$

${ displaystyle int sin ^ {2} x , dx = { frac {1} {2}} left (x - { frac { sin 2x} {2}} right) + C = { frac {1} {2}} (x- sin x cos x) + C}$

${ displaystyle int cos ^ {2} x , dx = { frac {1} {2}} left (x + { frac { sin 2x} {2}} right) + C = { гидроразрыв {1} {2}} (x + sin x cos x) + C}$

${ displaystyle int tan ^ {2} x , dx = tan x-x + C}$

${ displaystyle int cot ^ {2} x , dx = - cot x-x + C}$

${ displaystyle int sec ^ {3} x , dx = { frac {1} {2}} ( sec x tan x + ln | sec x + tan x |) + C}$

(Видеть интеграл секущей в кубе.)

${ displaystyle int csc ^ {3} x , dx = { frac {1} {2}} (- csc x cot x + ln | csc x- cot x |) + C = { frac {1} {2}} left ( ln left | tan { frac {x} {2}} right | - csc x cot x right) + C}$

${ displaystyle int sin ^ {n} x , dx = - { frac { sin ^ {n-1} {x} cos {x}} {n}} + { frac {n-1 } {n}} int sin ^ {n-2} {x} , dx}$

${ displaystyle int cos ^ {n} x , dx = { frac { cos ^ {n-1} {x} sin {x}} {n}} + { frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} {x} , dx}$

Обратные тригонометрические функции

Еще интегралы: Список интегралов обратных тригонометрических функций

${ displaystyle int arcsin {x} , dx = x arcsin {x} + { sqrt {1-x ^ {2}}} + C, { text {for}} vert x vert leq +1}$

${ displaystyle int arccos {x} , dx = x arccos {x} - { sqrt {1-x ^ {2}}} + C, { text {for}} vert x vert leq +1}$

${ displaystyle int arctan {x} , dx = x arctan {x} - { frac {1} {2}} ln { vert 1 + x ^ {2} vert} + C, { text {для всех реальных}} x}$

${ displaystyle int operatorname {arccot} {x} , dx = x operatorname {arccot} {x} + { frac {1} {2}} ln { vert 1 + x ^ {2} vert} + C, { text {для всех вещественных}} x}$

${ displaystyle int operatorname {arcsec} {x} , dx = x operatorname {arcsec} {x} - ln left vert x , left (1 + { sqrt {1-x ^ { -2}}} , right) right vert + C, { text {for}} vert x vert geq 1}$

${ displaystyle int operatorname {arccsc} {x} , dx = x operatorname {arccsc} {x} + ln left vert x , left (1 + { sqrt {1-x ^ { -2}}} , right) right vert + C, { text {for}} vert x vert geq 1}$

Гиперболические функции

Еще интегралы: Список интегралов от гиперболических функций

${ Displaystyle Int зп х , дх = сш х + С}$

${ Displaystyle int сш х , дх = зп х + С}$

${ displaystyle int tanh x , dx = ln , ( cosh x) + C}$

${ displaystyle int coth x , dx = ln | sinh x | + C, { text {for}} x neq 0}$

${ displaystyle int operatorname {sech} , x , dx = arctan , ( sinh x) + C}$

${ displaystyle int operatorname {csch} , x , dx = ln left | tanh {x over 2} right | + C, { text {for}} x neq 0}$

Обратные гиперболические функции

Еще интегралы: Список интегралов обратных гиперболических функций

${ displaystyle int operatorname {arsinh} , x , dx = x , operatorname {arsinh} , x - { sqrt {x ^ {2} +1}} + C, { text {для все реально}} x}$

${ displaystyle int operatorname {arcosh} , x , dx = x , operatorname {arcosh} , x - { sqrt {x ^ {2} -1}} + C, { text {для }} x geq 1}$

${ displaystyle int operatorname {artanh} , x , dx = x , operatorname {artanh} , x + { frac { ln left (, 1-x ^ {2} right)} {2}} + C, { text {for}} vert x vert <1}$

${ displaystyle int operatorname {arcoth} , x , dx = x , operatorname {arcoth} , x + { frac { ln left (x ^ {2} -1 right)} {2 }} + C, { text {for}} vert x vert> 1}$

${ displaystyle int operatorname {arsech} , x , dx = x , operatorname {arsech} , x + arcsin x + C, { text {for}} 0$

${ displaystyle int operatorname {arcsch} , x , dx = x , operatorname {arcsch} , x + vert operatorname {arsinh} , x vert + C, { text {for}} х neq 0}$

Произведения функций, пропорциональные своим вторым производным

${ displaystyle int cos ax , e ^ {bx} , dx = { frac {e ^ {bx}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} left (a sin ax + b cos ax right) + C}$

${ displaystyle int sin ax , e ^ {bx} , dx = { frac {e ^ {bx}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} left (b sin ax -a cos ax right) + C}$

${ displaystyle int cos ax , cos bx , dx = { frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} left (a sin ax , cosh bx + b cos ax , sinh bx right) + C}$

${ displaystyle int sin ax , cosh bx , dx = { frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2}}} left (b sin ax , sinh bx- a cos ax , ch bx right) + C}$

Абсолютные функции

Позволять ж быть функцией, которая имеет не более одного корня на каждом интервале, на котором она определена, и грамм первообразная ж который равен нулю в каждом корне ж (такая первообразная существует тогда и только тогда, когда условие на ж удовлетворено), то

${ Displaystyle int left | е (х) вправо | , dx = OperatorName {sgn} (f (x)) g (x) + C,}$

куда sgn (Икс) это функция знака, который принимает значения −1, 0, 1 при Икс соответственно отрицательный, нулевой или положительный. Это дает следующие формулы (где а ≠ 0):

${ displaystyle int left | (ax + b) ^ {n} right | , dx = operatorname {sgn} (ax + b) {(ax + b) ^ {n + 1} над a ( n + 1)} + C quad [, n { text {нечетное, и}} n neq -1 ,] ,.}$

${ displaystyle int left | tan {ax} right | , dx = - { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( tan {ax}) ln ( left | cos {ax} right |) + C}$

когда ${ displaystyle ax in left (п pi - { frac { pi} {2}}, n pi + { frac { pi} {2}} right)}$ для некоторого целого числа п.

${ displaystyle int left | csc {ax} right | , dx = - { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( csc {ax}) ln ( left | csc {ax} + cot {ax} right |) + C}$

когда ${ Displaystyle топор в влево (п пи, п пи + пи вправо)}$ для некоторого целого числа п.

${ displaystyle int left | sec {ax} right | , dx = { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( sec {ax}) ln ( left | sec {ax} + tan {ax} right |) + C}$

когда ${ displaystyle ax in left (п pi - { frac { pi} {2}}, n pi + { frac { pi} {2}} right)}$ для некоторого целого числа п.

${ displaystyle int left | cot {ax} right | , dx = { frac {1} {a}} operatorname {sgn} ( cot {ax}) ln ( left | sin {ax} right |) + C}$

когда ${ Displaystyle топор в влево (п пи, п пи + пи вправо)}$ для некоторого целого числа п.

Если функция ж не имеет непрерывной первообразной, принимающей нулевое значение в нулях ж (это имеет место для функций синуса и косинуса), то sgn (ж(Икс)) ∫ ж(Икс) dx является первообразной от ж на каждом интервал на котором ж не равен нулю, но может быть разрывным в точках, где ж(Икс) = 0. Таким образом, для получения непрерывного первообразного необходимо добавить хорошо подобранный ступенчатая функция. Если мы также воспользуемся тем фактом, что абсолютные значения синуса и косинуса периодичны с периодом π, то получаем:

${ displaystyle int left | sin {ax} right | , dx = {2 over a} left lfloor { frac {ax} { pi}} right rfloor - {1 over a} cos { left (ax- left lfloor { frac {ax} { pi}} right rfloor pi right)} + C}$^{[нужна цитата]}

${ displaystyle int left | cos {ax} right | , dx = {2 over a} left lfloor { frac {ax} { pi}} + { frac {1} {2 }} right rfloor + {1 over a} sin { left (ax- left lfloor { frac {ax} { pi}} + { frac {1} {2}} right rfloor pi right)} + C}$^{[нужна цитата]}

Специальные функции

Ci, Si: Тригонометрические интегралы, Ei: Экспоненциальный интеграл, li: Логарифмическая интегральная функция, erf: Функция ошибки

${ displaystyle int operatorname {Ci} (x) , dx = x operatorname {Ci} (x) - sin x}$

${ displaystyle int operatorname {Si} (x) , dx = x operatorname {Si} (x) + cos x}$

${ displaystyle int operatorname {Ei} (x) , dx = x operatorname {Ei} (x) -e ^ {x}}$

${ displaystyle int operatorname {li} (x) , dx = x operatorname {li} (x) - operatorname {Ei} (2 ln x)}$

${ displaystyle int { frac { operatorname {li} (x)} {x}} , dx = ln x , operatorname {li} (x) -x}$

${ displaystyle int operatorname {erf} (x) , dx = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} { sqrt { pi}}} + x operatorname {erf} (x )}$

Определенные интегралы без первообразных замкнутой формы

Есть некоторые функции, первообразные которых не можешь выражаться в закрытая форма. Однако значения определенных интегралов некоторых из этих функций на некоторых общих интервалах могут быть вычислены. Ниже приведены несколько полезных интегралов.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { sqrt {x}} , e ^ {- x} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi} }}$ (смотрите также Гамма-функция)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a }}}}$ за а > 0 (в Гауссовский интеграл)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {4}} { sqrt { гидроразрыв { pi} {a ^ {3}}}}}$ за а > 0

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {2n-1} {2a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2 (n-1)} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n + 1} }} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}} = { frac {(2n)!} {n! 2 ^ {2n + 1}}} { sqrt { гидроразрыв { pi} {a ^ {2n + 1}}}}}$ за а > 0, п натуральное число и !! это двойной факториал.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {3} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {2a ^ {2}}}}$ когда а > 0

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n} {a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2n-1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n!} {2a ^ {n + 1}}}}$ за а > 0, п = 0, 1, 2, ....

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} , dx = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$ (смотрите также Число Бернулли)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx = 2 zeta (3) приблизительно 2,40}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} , dx = { frac { pi ^ {4}} { 15}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin {x}} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}}$ (видеть функция sinc и Интеграл Дирихле)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} {x}} {x ^ {2}}} , dx = { frac { pi} {2} }}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx = { frac {(n-1) !!} {n !!}} times { begin {cases} 1 & { text {if}} n { text { нечетно}} { frac { pi} {2}} & { text {if}} n { text {четно.}} end {cases}}}$ (если п натуральное число и !! это двойной факториал).

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos ( alpha x) cos ^ {n} ( beta x) dx = { begin {cases} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m}} & | alpha | = | beta (2m-n) | 0 & { text {else}} end {cases}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент)

${ displaystyle int _ {- t} ^ {t} sin ^ {m} ( alpha x) cos ^ {n} ( beta x) dx = 0}$ (за α, β настоящий, п неотрицательное целое число и м нечетное положительное целое число; так как подынтегральное выражение странный)

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} sin ( alpha x) sin ^ {n} ( beta x) dx = { begin {cases} (- 1) ^ { left ({ frac {n + 1} {2}} right)} (- 1) ^ {m} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m} } & n { text {odd}}, alpha = beta (2m-n) 0 & { text {иначе}} end {cases}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент)

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos ( alpha x) sin ^ {n} ( beta x) dx = { begin {cases} (- 1) ^ { left ({ frac {n} {2}} right)} (- 1) ^ {m} { frac {2 pi} {2 ^ {n}}} { binom {n} {m}} & n { text {even}}, | alpha | = | beta (2m-n) | 0 & { text {иначе}} end {case}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент)

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}} } exp left [{ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right]}$ (куда exp [ты] это экспоненциальная функция е^ты, и а > 0)

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {z-1} , e ^ {- x} , dx = Gamma (z)}$ (куда ${ Displaystyle Gamma (г)}$ это Гамма-функция)

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} left ( ln { frac {1} {x}} right) ^ {p} , dx = Gamma (p + 1)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ { alpha -1} (1-x) ^ { beta -1} dx = { frac { Gamma ( alpha) Gamma ( beta )} { Gamma ( alpha + beta)}}}$ (за Re (α) > 0 и Re (β) > 0, видеть Бета-функция)

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta} d theta = 2 pi I_ {0} (x)}$ (куда я₀(Икс) это модифицированный Функция Бесселя первого рода)

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_ {0} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left (1 + { frac {x ^ {2}} { nu}} right) ^ {- { frac { nu +1 } {2}}} , dx = { frac {{ sqrt { nu pi}} Gamma left ({ frac { nu} {2}} right)} { Gamma left ({ frac { nu +1} {2}} right)}}}$ (за ν > 0 , это связано с функция плотности вероятности из Студенты т-распределение)

Если функция ж имеет ограниченная вариация на интервале [а,б], то метод истощения дает формулу для интеграла:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} {е (х) , dx} = (ba) sum limits _ {n = 1} ^ { infty} { sum limits _ {m = 1} ^ {2 ^ {n} -1} { left ({- 1} right) ^ {m + 1}}} 2 ^ {- n} f (a + m left ({ba} right ) 2 ^ {- n}).}$

"мечта второкурсника":

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} , dx & = sum _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {- n} && ( = 1,29128 , 59970 , 6266 точек) [6pt] int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx & = - sum _ {n = 1} ^ { infty} ( -n) ^ {- n} && (= 0,78343 , 05107 , 1213 точек) end {выровнено}}}$

приписывается Иоганн Бернулли.

Смотрите также

• Неполная гамма-функция
• Неопределенная сумма
• Список лимитов
• Список математических рядов
• Символическая интеграция

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253.
• Бронштейн, Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik (на немецком). 1. Перевод Виктор Зиглер. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Верлаг Харри Дойч (и B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Лейпциг). ISBN 3-87144-492-8.
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. (Также несколько предыдущих выпусков.)
• Прудников Анатолий Платонович (Прудников, Анатолий Платонович); Брычков, Юрий А. (Брычков, Ю. А.); Маричев, Олег Игоревич (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981–1986 (рус.)]. Интегралы и ряды. 1–5. Перевод Queen, N. M. (1-е изд.). (Наука) Издательство Gordon & Breach Science /CRC Press. ISBN 2-88124-097-6.. Издание второе исправленное (рус.), Том 1–3, Физико-математическая литература, 2003.
• Юрий А. Брычков (Ю. А. Брычков), Справочник по специальным функциям: производные, интегралы, ряды и другие формулы. Русское издание, Физико-математическая литература, 2006. Английское издание, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
• Даниэль Цвиллинджер. Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е изд. Чепмен и Холл / CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Также во многих более ранних изданиях.)
• Мейер Хирш [де], Integraltafeln или Sammlung von Integralformeln (Дункер и Гамблот, Берлин, 1810 г.)
• Мейер Хирш [де], Таблицы интегралов или сборник формул интегралов (Бейнс и сын, Лондон, 1823 г.) [английский перевод Интегралтафельн]
• Дэвид Биренс де Хаан, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Энгельс, Лейден, 1862 г.)
• Бенджамин О. Пирс Краткая таблица интегралов - переработанное издание (Ginn & Co., Бостон, 1899 г.)

внешняя ссылка

Таблицы интегралов

• Онлайн-математические заметки Пола
• А. Дикман, Таблица интегралов (эллиптические функции, квадратные корни, обратные касательные и другие экзотические функции): Неопределенные интегралы Определенные интегралы
• Математика: таблица интегралов
• О'Брайен, Фрэнсис Дж. Мл. «500 интегралов». Полученные интегралы от экспоненциальных, логарифмических функций и специальных функций.
• Интеграция на основе правил Точно определенные правила неопределенного интегрирования, охватывающие широкий класс подынтегральных выражений
• Матар, Ричард Дж. (2012). «Еще одна таблица интегралов». arXiv:1207.5845.

Производные

• Виктор Гюго Молль, Интегралы в Градштейне и Рыжике

Интернет Сервис

• Примеры интеграции для Wolfram Alpha

Программы с открытым исходным кодом

• wxmaxima gui для символьного и числового решения многих математических задач

В эту статью включены материалы по математике. список списков.