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Logische conjunctie

Venn-Diagramm der Konjunktion - Rot ist wahr

In dem Mathematik und der Logik ist logische Konjunktion (Symbol: ${Anzeigestil Land}$ , &, &&, UND oder UND) ein logischer Operator diese zwei Vorschläge verbindet, so dass die Konjunktion von beiden wahr ist wie beides Operanden wahr sein.

Definition

Die Konjunktion bildet einen zusammengesetzten Satz ${displaystyle Alan B}$ aus zwei Sätzen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ . Die beiden konstituierenden Sätze werden zu verbindet erwähnt. Das ganze ist dann und nur dann wahr, wenn beide Bestandteile wahr sind, was im nächsten? Wahrheitstabelle ist angegeben:

${Anzeigestil A}$	${Anzeigestil B}$	${displaystyle Alan B}$
T	T	T
T	f	f
f	T	f
f	f	f

Intuitiv funktioniert der logische Operator genauso wie der normale Niederländische regular Verbindung "und". Der Satz "Es regnet und Ich bin drinnen" versichert Ihnen, dass beide Teile gleichzeitig wahr sind: sowohl dass es regnet als auch dass ich drinnen bin. Logischerweise würde dies durch die Behauptung ${Anzeigestil A}$ zu verwenden für "Es regnet", ${Anzeigestil B}$ für "Ich bin dabei", also zusammen ${Anzeigestil A}$ UND ${Anzeigestil AB}$ .

Betrachten Sie zum Beispiel

{displaystyle x>13Land x<27}

wenn ${Anzeigestil x}$ gleich 36, dann ${Anzeigestil x>13}$ stimmt, aber ${Anzeigestil x<27}$ ist falsch; also ist die aussage falsch. Aber falls ${Anzeigestil x=20}$ , beide Teile der Aussage sind wahr, also ist die ganze Konjunktion wahr.

Die Erweiterung der Konjunktion für a (eventuell unendliche) Sammlung der Ansprüche ist die universelle Quantifizierung von dem Prädikatslogik.

wenn Abzugsregel ist die Konjunktion ein gültiger, einfacher Beweis:

{Anzeigestil A}

{Anzeigestil B}

{displaystyle vdash Aland B}

Es Beweis hat zwei Lokal. Die erste ist die linke Seite, die zweite die rechte Seite. Aus diesen beiden Prämissen kann logisch geschlossen werden, dass ${displaystyle Alan B}$ muss auch stimmen.

Dies ist ein Beispiel für eine Aussage in der Form a Verbindung hast:

Jeder soll abstimmen.

Demokratie ist die beste Staatsform.

Jeder sollte also wählen, und Demokratie ist die beste Regierungsform.

Assoziativität und Kommutativität

Logische Konjunktion ist assoziativ und kommutativ. Das bedeutet, dass ${displaystyle (Aland B)land C}$ logisches Äquivalent ist an ${displaystyle Aland (Flach C)}$ (assoziativ), mit dem Ergebnis, dass die Klammern oft weggelassen werden, und dass ${displaystyle Alan B}$ ist logisch äquivalent zu ${displaystyle langweilig A}$ (kommutativ).