WikiDer > Möbius-Transformation

In dem Geometrie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein möbius-Transformation von dem eben ein rationale Funktion des Formulars

${displaystyle f(z)={frac {az b}{cz d}}}$

von a Komplex Variable ${Anzeigestil z}$, mit den Koeffizienten ${Anzeigestil a,b,c,d}$ komplexe Zahlen, die erfüllen ${displaystyle ad-bceq 0}$. Möbius-Transformationen sind benannt nach August Ferdinand Möbius, sondern auch werden homographische Transformationen, lineare Bruchtransformationen oder unterbrochene lineare Transformationen erwähnt.

Überblick

Möbius-Transformationen sind auf der erweiterte komplexe Ebene (d.h. es komplexe Ebene plus die zeige auf unendlich):

${displaystyle {widehat {mathbb {C}}}=mathbb {C} Tasse infty}$

Diese ausgedehnte komplexe Ebene kann man sich als Kugel vorstellen, die Riemann Atmosphäre, oder wenn der Komplex projektive Linie. Jede möbius-Transformation ist ein bijektiveckengetreues Bild der Riemannschen Sphäre an sich. Tatsächlich ist jede solche Abbildung notwendigerweise eine Möbius-Transformation.

Die Menge aller möbius-Transformationen von a Gruppe unten Komposition, dass die möbius-Gruppe wird genannt. Es ist der Automorphismus-Gruppe der Riemannschen Sphäre (bei Betrachtung als a Riemann-Oberfläche) und wird manchmal mit . bezeichnet

${displaystyle mathrm {Aut} ({widehat {mathbb {C} }})}$