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Schematische Darstellung einer totalen oder linearen Ordnung. Beachten Sie, dass nur die transitiv-reflexive Reduktion gezeigt wird.

In dem Mathematik ist ein Gesamtbestellung oder lineare Ordnung ein Bestellbeziehung auf einen Sammlung die der aus dem Zahlenstrahl bekannten Reihenfolge am nächsten kommt. Eine Menge mit einer solchen Ordnung wird als total geordnete oder linear geordnete Menge bezeichnet. Eine totale oder linear geordnete Menge kann, wie der Begriff linear nahelegt, als gerade Linie oder als Teilmenge davon dargestellt werden, mit ihren Nachfolgern auf der einen Seite eines Elements und seinen Vorgängern auf der anderen. Eine vollständig geordnete Menge wird als bezeichnet Kette.

Definition

EIN Gesamtbestellung oder lineare Ordnung in der Kollektion ${Anzeigestil X}$ ist ein homogene Zweistellungsbeziehung${displaystyle leq }$, Das antisymmetrisch, transitiv und gesamt ist. Es gilt also:

• (Antisymmetrie) für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt als ${displaystyle xleq y}$ und ${displaystyle yleq x}$, als ${Anzeigestil x=y}$,
• (Transitivität) für alle ${Anzeigestil x,y,Satz X}$ gilt als ${displaystyle xleq y}$ und ${displaystyle yleq z}$, als ${displaystyle xleq z}$, und
• (Gesamtheit) für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt: ${displaystyle xleq y}$ oder ${displaystyle yleq x}$ (oder beides).

Strenge Gesamtbestellung

Bei jeder Gesamtbestellung ${displaystyle leq }$ gibt es einen entsprechenden Zusammenhang ${Anzeigestil <}$ Das hier strikte Gesamtordnung und die definiert ist durch:

• ${Anzeigestil x$ dann und nur dann, wenn ${displaystyle xleq y}$ und ${Anzeigestil xeq y}$

oder alternativ durch:

• ${Anzeigestil x$ dann und nur wenn nicht ${displaystyle yleq x}$

Umgekehrt mit jeder strikten Gesamtordnung ${Anzeigestil <}$ eine zugehörige Gesamtbestellung ${displaystyle leq }$, definiert von:

• ${displaystyle xleq y}$ dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil x$ oder ${Anzeigestil x=y}$

oder alternativ durch:

• ${displaystyle xleq y}$ dann und nur wenn nicht ${Anzeigestil y$

Eigenschaften

• Die Beziehung ${Anzeigestil <}$ ist transitiv: ${Anzeigestil x$ und ${Anzeigestil y$ impliziert ${Anzeigestil x$.
• Die Beziehung ${Anzeigestil <}$ ist ein Trichotomie, also genau eine der Relationen ${Anzeigestil x$ und ${Anzeigestil x=y}$ ist wahr.
• Die Beziehung ${Anzeigestil <}$ ist ein strenge schwache Ordnung, mit Gleichheit als entsprechende Äquivalenz.

Zwei weitere zugehörige Ordnungen sind die Komplemente ${displaystyle geq }$ und ${Anzeigestil >}$, die der Vierer ${displaystyle <, >, leq }$ und ${displaystyle geq }$ ergänzen. Jede dieser vier Ordnungsbeziehungen kann verwendet werden, um die Gesamtordnung einer Menge zu definieren.

Beispiele

• Die Buchstaben des Alphabets unter dem alphabetischer Reihenfolge sind total bestellt.
• Eine Teilmenge einer total geordneten Menge ${Anzeigestil X}$ ist auch komplett unter der Beschränkung außer Betrieb am ${Anzeigestil X}$.
• Beliebige Sammlung Kardinalzahlen oder Ordnungszahlen ist total bestellt (diese sind sogar gut sortiert).
• wenn ${Anzeigestil X}$ ist eine Sammlung und ${displaystyle f}$ ein injektive Funktion Das ${Anzeigestil X}$ ordnet sich in einer vollständig geordneten Menge zu, induziert ${displaystyle f}$ eine Gesamtbestellung auf ${Anzeigestil X}$ durch die Beziehung ${Anzeigestil x$ wenn ${Anzeigestil f(x)$.
• Das reale Nummern unter der üblichen reihenfolge ${displaystyle leq }$ oder ${displaystyle geq }$ sind total bestellt. So sind auch die Teilmengen de natürliche Zahlen, das ganze Zahlen und der Rationale Zahlen total bestellt. Außerdem gilt:
  • die natürlichen Zahlen bilden die kleinste total geordnete Menge ohne Obergrenze;
  • die ganzen Zahlen bilden die kleinste geordnete Gesamtmenge ohne oberes oder untere Grenze;
  • die rationalen Zahlen bilden die kleinste geordnete Gesamtmenge, die den reellen Zahlen nahe kommt.

Minimum und Maximum

Die Funktion Mindest gibt den kleinsten Wert, das Minimum, seiner Argumente an; die Funktion max, das Maximum, das Größte.

${displaystyle min(a,b)=a,{ ext{ if }}aleq b,{ ext{ and else }}b}$

${displaystyle max(a,b)=a,{ ext{ if }}ageq b,{ ext{ and else }}b}$

Die Funktionen können auch mehr Argumente haben. Außerdem können die Argumente angegeben werden oder von einem Parameter abhängen und der Index oder Parameter ist auf einen bestimmten Bereich beschränkt.

Es bedeutet es immer kleinstes und größtes Element. Wenn die Wertemenge unendlich groß ist, sind sie nicht immer vorhanden.

Die Funktionen haben die Eigenschaft, dass das Anwenden einer monotonen, nicht abnehmenden Funktion auf die Argumente dasselbe wie das Anwenden dieser Funktion auf das Ergebnis ergibt. Bei einer monotonen nicht ansteigenden Funktion ändert sich min in max und umgekehrt.

Siehe auch die Info und sup.

Beispiele

${Anzeigestil min(3.7)=3;min(-2,-5)=-5;min(2,4,-3,1,7)=-3}$

${Anzeigestil max(3.7)=7;max(-2,-5)=-2;max(2,4,-3,1,7)=7}$

${Anzeigestil min _{k=1}^{5}((k-2)^{2})=0;max _{k=1}^{5}((k-2)^{2})= 9.}$

Auftrag

Das Alltagskonzept Auftrag entspricht bei mehreren Elementen einer Gesamtordnung der Elementmenge. Beispielsweise in der Reihenfolge, in der Kunden geholfen wird, handelt es sich um Situationen, in denen nicht mehreren Kunden gleichzeitig geholfen wird.

Wenn die Reihenfolge der Elemente von a Multi-SetB. die Reihenfolge der Ziffern in einer Zahl, dies gilt nicht. Für die Zahl 112 beispielsweise sind die anderen Zahlen mit den gleichen Ziffern 121 und 211 zusammen drei Möglichkeiten, während diese Zahl von Folgen nicht in Sätzen vorkommt.

Siehe auch

• Teilbestellung