WikiDer > Orthonormale Basis

In dem Lineare Algebra heißt a Base von a Vektorraum mit internes Produkt, bestehend aus dem Vektoren${displaystyle e_{1},e_{2},ldots }$, ein Orthonormalbasis, wenn die Basis a . ist orthonormal System. Dies bedeutet, dass sich die Vektoren aus der Basis gegenseitig senkrecht und jeder hat die Länge 1. Das gilt also für alle ${displaystyle e_{i}}$ und ${displaystyle e_{j}}$:

${displaystyle langle e_{i},e_{j}Winkel =0}$ wenn ${displaystyle ieq j}$

${displaystyle langle e_{i},e_{i}Winkel =|e_{i}|^{2}=1}$

Mit anderen Worten: ${displaystyle langle e_{i},e_{j}Winkel =delta _{ij}}$ (das Kronecker Delta).

In diesen Beziehungen, ${displaystyle langle .,.angle }$ das interne Produkt, das auch mit vermerkt ist ${displaystyle cdot }$.

Umgekehrt, wenn eine Basis eines Vektorraums per Definition als orthonormal betrachtet wird, induziert sie ein Skalarprodukt, für das

${displaystyle langle e_{i},e_{j}Winkel =delta _{ij}}$,

nämlich es Standard-Innenprodukt

${displaystyle langle x,yangle =sum _{i=1}^{n}x_{i}{ ar {y_{i}}}}$

mit ${displaystyle x_{i}}$ und ${displaystyle y_{i}}$ die Koordinaten relativ zur Basis.

Beispiele

Die Vektoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} bilden eine Orthonormalbasis des 3D-Raums

• ${Anzeigestil {(1,0),(0,1)}}$ ist eine Orthonormalbasis des Vektorraums ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Dies geht vom Standard-Innenprodukt als Innenprodukt aus oder gilt per Definition, woraus das Standard-Innenprodukt als Innenprodukt folgt. Sehr verbreitet ist die Standardbasis${Anzeigestil {(1,0,0,ldots,0,0),(0,1,0,0,ldots,0,0),ldots,(0,0,ldots,0,1)}}$ des Vektorraums ${displaystyle mathbb {R} ^{p}}$ orthonormal.
• Auch das System ${displaystyle {({ frac {1}{2}}{sqrt {2}},{ frac {1}{2}}{sqrt {2}}),({ frac {1}{2}}{sqrt { 2}},-{ frac {1}{2}}{sqrt {2}})}}$ ist eine Orthonormalbasis des Vektorraums ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.
• Die Systemfunktionen ${displaystyle {f_{n}mid nin mathbb {Z}}}$, mit ${displaystyle f_{n}(t)=e^{inomega t}}$ bildet eine Orthonormalbasis des Vektorraums der periodische Funktionen mit Periode ${Displaystil T=2pi /omega }$ und als internes Produkt:

${displaystyle (f_{n},f_{m})={frac {1}{T}}int _{0}^{T}{overline {f_{n}(t)}}f_{m}(t ) Mathematik {d} t}$

Diese Eigenschaft wird mit dem verwendet Fourier-Analyse.

Eigenschaften

Das Gram-Schmidt-Methode gibt eine direkte Methode zur Transformation einer beliebigen Basis in eine Orthonormalbasis.

Die Spalten (und Zeilen) von a ${displaystyle n}$-dimensional, orthogonale Transformation bilden eine Orthonormalbasis von Vektoren für ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Anwendung

Beliebiger Vektor eines Vektorraums mit Basis ${Anzeigestil S}$ hat eindeutige Koordinaten zu dieser Basis. Wenn die Basis orthonormal ist, können diese Koordinaten zusätzlich mit dem anwendbaren inneren Produkt separat berechnet werden. Es kann gezeigt werden, dass die ${Anzeigestil i}$-die Koordinate eines Vektors ${Anzeigestil u}$ relativ zur Orthonormalbasis ${displaystyle S={b_{1},b_{2},ldots}}$ ist gleich dem inneren Produkt von ${Anzeigestil u}$ mit dem ${Anzeigestil i}$- der Basisvektor:

${displaystyle u=sum _{i}langle u,b_{i}Winkel ,b_{i}}$