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Fourier-Analyse ist ein Mathematiker Technik zu Funktionen von echt Variablen ausdrücken als lineare Kombination von Funktionen, die aus einer Sammlung von Standardfunktionen stammen. Die Technik ist benannt nach dem FranzösischPhysikerJean Baptiste Joseph Fourier.

Die Fourier-Analyse findet Anwendung für verschiedene Klassen von Funktionen. Eine bekannte Anwendung ist die die Fourierreihe, wobei die analysierte Funktion, sofern sie periodisch und begrenzt ist, wird ausgedrückt in Sinus und Cosinus. Andere Anwendungen sind die kontinuierlich und der diskrete Fourier-Transformation.

Geschichte

Fourier hat unter anderem studiert Wärmeleitung. Er hatte ein partielle Differentialgleichung für die Temperatur als Funktion von Zeit und Raum, die nur unter der Bedingung lösbar war, dass ausgangsbedingung nahm eine Sinus- oder Kosinusform an. Daraus entwickelte er später eine neue mathematische Technik Fourier-Analyse mit der er eine beliebige Anfangsbedingung als a . ausdrücken könnte lineare Kombination der Nebenhöhlen.

Die Grundidee

In einem Musical Show von einem bestimmten Frequenz erscheinen auch Obertöne, also Töne mit a mehrere der (Grund-)Frequenz vorhanden sein. Gemeinsam bestimmen sie die Timbre eines Tons. Es stellt sich heraus, dass wir den Ton als zusammengesetzt aus dem Grundton und den Obertönen verstehen können, jeder mit seiner eigenen Stärke. Zum Beispiel kann man sich ein periodisches Signal, das die richtigen Bedingungen erfüllt, als aus einem "Grundton" zusammengesetzt denken, d. h. einem Kosinus mit der Frequenz, die dem . entspricht Zeitspanne, und eine Reihe von "Obertönen", Kosinus, deren Frequenz Vielfache der Grundwelle ist.

wenn ${Anzeigestil T}$ die Periode ist vom Signal ${Anzeigestil x(t)}$ (die Frequenz ist dann ${Anzeigestil f=1/T}$), können ${Anzeigestil x(t)}$ geschrieben werden, mit ${Anzeigestil Omega=2pi f}$, wenn:

${displaystyle x(t)={ frac {1}{2}}c_{0} c_{1}cos(omega t-varphi _{1}) c_{2}cos(2omega t-varphi_{2}) c_{3}cos(3omega t-varphi _{3}) ldots }$

Die Koeffizienten ${displaystyle c_{k}}$ zusammen bilden die Spektrum von ${Anzeigestil x}$. Es sind die Amplituden der Obertöne, von denen jeder noch seine eigene Phase (Winkel) hat ${displaystyle varphi_{i}}$ haben.

die Fourierreihe

Für einen genauen mathematischen Ansatz siehe die Fourierreihe.

Es ist häufiger zu ${Anzeigestil x(t)}$ als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen der genannten Frequenzen geschrieben werden. Laut der Satz von Fourier jede periodische Funktion, sofern sie beispielsweise stückweise stetig ist, kann als Überlagerung harmonischer Funktionen mit Kreisfrequenzen ausgedrückt werden ${displaystyle omega ,2omega ,3omega ,ldots }$, oder Perioden ${Anzeigestil T,T/2,T/3,ldots}$

${displaystyle x(t)={ frac {1}{2}}a_{0} a_{1}cos(omega t) b_{1}sin(omega t) a_{2}cos(2omega t) b_{2 }sin(2omega t) a_{3}cos(3omega t) b_{3}sin(3omega t) ldots }$

Die Koeffizienten können mit den Formeln berechnet werden:

${displaystyle a_{n}={frac {2}{T}}int x(t)cos(nomega t)dt}$ und ${displaystyle b_{n}={frac {2}{T}}int x(t)sin(nomega t)dt}$

wobei die Integrale über die Periode T genommen werden.

Zur Berechnung der Amplitude bzw. Phase jeder Harmonischen gilt:

${displaystyle c_{n}={sqrt {a_{n}^{2} b_{n}^{2}}}}$

${displaystyle an(varphi_{n})=b_{n}/a_{n},}$.

Die niedrigste Frequenz im Signal hat die Frequenz ${displaystyle f=omega /{2pi}}$. Diese Frequenz wird die fundamentale Frequenz oder Wurzelnote benannt und die Frequenzen ${Anzeigestil 2f,3f,ldots}$ bilde die Obertöne oder Obertöne.

Einfacher und mathematisch eleganter kann man die Fourier-Transformation schreiben mit Komplex Zahlen.

${displaystyle x(t)=sum _{n=-infty}^{infty}alpha _{n}cdot e^{inomega t}}$

Für die Koeffizienten gilt:

${displaystyle alpha _{n}={frac {1}{T}}int x(t)e^{-inomega t}dt}$.

Sie sind für ${displaystyle ngeq 0}$ im Zusammenhang mit dem oben Genannten durch:

${displaystyle alpha _{n}={frac {1}{2}}(a_{n} b_{n}i)}$

Für reelle Funktionen gilt für die Koeffizienten ${displaystyle alpha_{n}}$:

${displaystyle alpha _{-n}^{}={overline {alpha _{n}}}}$

Die ursprüngliche Fourier-Reihe kann auch für Probleme in mehr als einer Dimension verwendet werden, sofern die Bedingungen auf einer rechteckigen (balkenförmigen) Fläche erfasst.

Beispiel Fourier-Zerlegung

Wir können uns die unten skizzierte (diskontinuierliche) Funktion als Summe unendlich vieler Sinusterme vorstellen, deren Perioden integraler Bestandteil der Basisperiode sind.

Um die Konstruktion dieser Reihe zu sehen, die selbst aus stetigen Sinus besteht, aber dieser unstetigen Funktion nähert, zeigen wir eine endliche Anzahl von Termen, nämlich: 1 Term, 3 Terme, 10, 50 und 150 Terme. Beachten Sie, dass die konstruierte Reihe an den Diskontinuitäten überschwingt: Das ist es Gibbs-Phänomen.

Original	1 Begriff	3 Begriffe
10 Begriffe	50 Begriffe	150 Begriffe

Die Fourier-Analyse kann auch für nichtperiodische Signale verwendet werden Spektrum um zu bestimmen, verwenden Sie die Fourier-Transformation.

Erweiterungen der Formel

Allgemein: Transformationen

In dem Mathematik Die Fourier-Analyse ist ein Sonderfall eines allgemeinen Prinzips: lineare Transformationen und harmonische Analyse. Es gibt neben dem Fourier-Transformation einige andere Transformationen, die mit der Fourier-Analyse vergleichbar sind: die Laplace-Transformation (manchmal auch als s-Transformation bezeichnet), z-Transformation, Wavelet-Transformation usw.

Fourieranalyse für zeitdiskrete Signale

Neben einer analogen Fourier-Analyse gibt es auch Fourier-Analysen für zeitdiskrete Signale: DFT (diskrete Fourier-Transformation) für zeitlich begrenzte Signale und die DTFT (Diskrete Zeit-Fourier-Transformation) für zeitlich nicht begrenzte Signale. In der DFT kann das Zeitsignal auch als periodisch fortgeführt betrachtet werden. Für die DFT gibt es eine schnelle Berechnungstechnik, die sogenannte. FFT (Schnelle Fourier-Transformation).

Familie der Fourier-Transformationen

Die folgende Übersicht gilt für die verschiedenen Fourier-Transformationen. Wir sehen, dass 'diskret' in einem Bereich zu Periodizität im konjugierten Bereich führt und dass 'kontinuierlich' in einem Bereich zu Nicht-Periodizität im konjugierten Bereich führt. In Ergänzung, Wirklichkeit in einer Domäne zur Symmetrie in der konjugierten Domäne.

Erweiterung auf weitere Feature-Entwicklungen

Fourierreihen wurden später auf andere Familien von Standardfunktionen verallgemeinert, um die gleiche Art von Problemen in zylindrischen und sphärischen Bereichen zu lösen. Unter anderem erwähnen wirBessel-Funktionen, Einsiedlerpolynom und Laguerre-Polynom.

Anwendungsbereiche

Die Fourieranalyse wird in fast allen Bereichen der Technik angewendet: Mechanik, Elektronik, digitale Signalverarbeitung, usw. Es ist vielleicht bemerkenswert, dass die Fourier-Analyse ebenso gut zum Studium verwendet werden kann Signale ab Systeme (vorausgesetzt, dass diese Systeme linear sein und zeitinvariant).

Fourierreihen werden unter anderem zur Lösung der Wellengleichung (bei unter anderem Klang,Licht, Musikinstrumente) und für potenzielle Probleme (Balance, Seifenvlies, harmonische Funktion); auch bei der Untersuchung zyklischer Phänomene in der Makroökonomie, Biologie und Geologie.

Mathematik

Nichtperiodische Funktionen erfordern a Fourier-Integral - wobei die Reihensumme durch das Integral des Produkts der zu transformierenden Funktion ersetzt wird und e^-iωt über ein unendlich langes Zeitintervall.

Die mathematische Grundlage der Fourier-Analyse ist das Studium topologischer Vektorräume, auch bekannt als Funktionsanalyse. Die Entwicklung einer Funktion als Reihe oder Integral wird dort so interpretiert, dass man einen Vektor im Sinne von a . schreibt Orthonormalbasis von a hilbert zimmer.

Physik

Innerhalb der Physik kann die Fourier-Analyse helfen, die mit Diffusion und Wellen verbundenen partiellen Differentialgleichungen zu lösen. Auch in der Quantenmechanik es ist wichtig, in Verbindung mit dem Schrödinger-Gleichung.In der Astrophysik ist die Fourier-Analyse ein wichtiges Werkzeug für Astroseismologische Forschung.

Elektronik

Jeder, der eine nicht-triviale Anwendung von Wechselstrom in der Elektronik studiert, wird es schwer haben, die Fourier-Analyse zu ignorieren. Die Fourier-Analyse ermöglicht es, periodisch elektrisches oder elektromagnetisches Signal (a Sinus, Dreieckswelle, Rechteckwelle, etc.) als (unendliche) Summe von (harmonischen) Kosinuswellen mit jedem a Frequenz gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Frequenz des Originalsignals (der Grundfrequenz) und einem Eigen Amplitude c und Phase${Anzeigestil phi}$. Ein beliebiges Signal mit der Periode T kann als ein Signal betrachtet werden, das aus einer Grundwelle mit einer Grundwelle besteht unendlich Nummer Obertöne (Obertöne).

Akustik

Zwei Musikinstrumente Das hier Show aus der gleichen höhe immer noch anders klingen. Der Unterschied Klang findet seine Ursache in der unterschiedlichen Struktur des Tons. Die Instrumente bringen nicht nur die gewünschte reine Sinusform Wurzelnote weiter, sondern auch eine Reihe von Obertöne, für beide Instrumente unterschiedlich. Der erzeugte Ton ist ein periodisches Signal und die Reihe von Grundtönen mit Obertönen ist das Spektrum (die Fourier-Analyse) des Tons.

Ton und Bild

In Bezug auf den Klang folgt aus einer Fourier-Analyse, dass jeder Ton (ein periodisches Phänomen) aus einem (anwesend oder abwesend) Wurzelnote und Obertöne. Die gegenseitigen Beziehungen bestimmen die Timbre, die in verwendet wird additive Synthese. In dem Ohr wird auf der Basilarmembran auch eine art Spektralanalyse hingerichtet.

Die Bildverarbeitung verwendet eine zweidimensionale Fourier-Analyse und -Synthese. Dabei wird mit Funktionen und 2 Variablen gearbeitet, und zwar gleichzeitig in zwei Richtungen integriert oder summiert (bei der DFT).

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