WikiDer > Poisson-Gleichung

EIN Giftgleichung ist ein partielle Differentialgleichung der in a Kartesisches Koordinatensystem hat folgende Form:

${displaystyle left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}} {frac {partial ^{2}}{ partielle z^{2}}}ight)varphi (x,y,z)=f(x,y,z)}$

Das Abweichungen des Gradient des Skalarfunktion${Anzeigestil Varphi(x,y,z)}$ ist äquivalent zu jeder anderen Skalarfunktion, ${Anzeigestil f(x,y,z)}$.

Unabhängig von einem mit dem Operator notierten Koordinatensystem ${displaystyle abla}$ (nabla):

${displaystyle abla ^{2}varphi =f}$

oder mit dem Laplace-Operator:

${Anzeigestil Delta Varphi =f}$.

Die Gleichung ist nach dem . benannt FranzösischMathematiker, Geometer und PhysikerSimeon-Denis Poisson (1781 - 1840).

Beispiele

Der Vergleich erfolgt unter anderem in der elektrische Theorie, als Beziehung zwischen den elektrisches Potenzial${Anzeigestil V}$ und ein elektrische Ladungsdichte${Anzeigestil ho}$.

${displaystyle abla ^{2}V=-{ho über varepsilon _{0}}}$

In einer gebührenfreien Region ändert sich die Gleichung zu Laplace-Gleichung:

${displaystyle abla ^{2}V=0}$

Lösungsmethoden

Es gibt mehrere Methoden für eine numerische Lösung. Das Entspannungsmethode, ein iterativer Algorithmus, ist ein Beispiel dafür.

Externer Link

• (und) Poisson-Gleichung auf EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.

Literaturverzeichnis

• L.C. Evans, Partielle Differentialgleichungen, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbuch der linearen partiellen Differentialgleichungen für Ingenieure und Wissenschaftler, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9