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Probleem van Burnside
Kostenlose Burnside-Gruppe von Exponent 3 mit 2 Generatoren

Es Burnsides Problem wurde 1902 von 02 . aufgestellt William Burnside. Es ist eine der ältesten und einflussreichsten Fragen in der Gruppentheorie. Burnsides Problem fragt, ob a endlich erzeugendGruppe, in denen jeder Element ein endlichAuftrag hast, Notwendig auch ein endliche Gruppe ist. In einfacher Sprache; wenn man bei Betrachtung einzelner Elemente einer Gruppe vermutet, dass die gesamte Gruppe endlich ist, ist dies dann tatsächlich der Fall? Das Problem hat viele Varianten, die sich in den zusätzlichen Bedingungen unterscheiden, die an die Ordnungen der Gruppenelemente gestellt werden.

Kurze Geschichte

Erste Arbeiten ergaben eine bejahende Antwort. Wenn beispielsweise eine Gruppe G wird erzeugt von ich Elemente und die Reihenfolge jedes Elements von G ein Teiler von 4 ist, dann G endlich. Weiter bewährt KI Kostrikin (im Falle einer AhleExponent) und Efim Zelmanov (für den allgemeinen Fall), dass unter den endlichen Gruppen mit einer gegebenen Anzahl von Generatoren und Exponenten immer eine größte existiert. Issai Schur zeigte, dass jede endlich erzeugte periodische Gruppe, die eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n × n komplexen Matrizen bildet, endlich ist; er benutzte diesen Satz, um zu de Jordan-Schur .Theorem beweisen[1]

Fußnoten

  1. ↑Curtis, Charles; Reiner, Irving, Darstellungstheorie endlicher Gruppen und zugehöriger Algebren. John Wiley & Söhne (1962), p. 256-262.

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