WikiDer > Endliche Gruppe

In dem Gruppentheorie, Teil von dem Mathematik, ist ein endliche Gruppe ein Gruppe Das hier endlich Nummer Elemente hast. Die Anzahl der Elemente der Gruppe wird zu Auftrag rief die Gruppe an. Einige Aspekte der endlichen Gruppentheorie wurden im 20. Jahrhundert eingehend untersucht, insbesondere die lokale Theorie, und die Theorie der lösliche Gruppen des nilpotente Gruppen. Es ist jedoch nicht möglich, Struktur aller endlichen Gruppen vollständig zu bestimmen; dafür ist die Zahl der möglichen Strukturen zu groß. Im zwanzigsten Jahrhundert gelang es ihnen jedoch, Klassifikation endlicher einfacher Gruppen einzurichten. Diese endlichen einfachen Gruppen können als Bestimmung der "Bausteine" für alle endlichen Gruppen angesehen werden, da jede Gruppe a Kompositionsserie enthält.

Dank der Arbeit der Mathematiker Chevalley und Steinberg ist der Begriff der endlichen Analoga von klassische Gruppen und verwandte Gruppen nahmen in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts stark zu. Eine solche Gruppe von Gruppen bilden die allgemeine lineare Gruppen Über endliche Felder/Felder. Der Gruppentheoretiker J. L. Alperin hat darüber geschrieben: "Das typische Beispiel für eine endliche Gruppe ist groep ${Anzeigestil GL(n,q)}$, die allgemeine lineare Gruppe von ${displaystyle n}$Maße über einen Körper/Feld mit ${Anzeigestil q}$ Elemente. Der Student, der das Thema an anderen Beispielen kennenlernt, wird in die Irre geführt."^[1]

Bei der Betrachtung der Symmetrie von Mathematiker oder physikalische Objekte, wenn diese Objekte nur eine endliche Anzahl strukturerhaltender Transformationen zulassen. Die Theorie der Lügengruppen, die als engagiert angesehen werden kann "kontinuierliche Symmetrie", wird stark beeinflusst von den damit verbundenen weyl gruppen. Dies sind endliche Gruppen, die erzeugt werden durch Reflexionen die sich auf ein endlichdimensionales euklidischer Raum. Daher können Eigenschaften endlicher Gruppen eine Rolle in Themen wie den theoretische Physik.

Anzahl der Gruppen einer bestimmten Bestellung

Angenommen positivgerade Zahl${displaystyle n}$, es ist sicherlich keine Routineangelegenheit zu bestimmen, wie viele Gruppen von Auftrag${displaystyle n}$ es gibt (in diesem Zusammenhang werden isomorph gleichberechtigte Gruppen). Jede Gruppe von Ordnung der Primzahl ist zyklisch, seit der Satz von Lagrange impliziert, dass die zyklische Untergruppe von jedem der nicht neutralen Elemente der gesamten Gruppe erzeugt wird.

• wenn ${displaystyle n}$ das Quadrat einer Primzahl ist, gibt es genau zwei Ordnungsgruppen ${displaystyle n}$. Das sind beides abels.
• wenn ${displaystyle n}$ ein höheres Leistung ist eine Primzahl, Ergebnisse bestehen Graham Higman und Charles Sims asymptotisch richtig Schätzungen der Anzahl der Auftragsgruppen ${displaystyle n}$; diese Zahl nimmt mit zunehmender Leistung sehr schnell zu.

Abhängig von der Primfaktorzerlegung von ${displaystyle n}$, können bei der Struktur der Auftragsgruppen einige Einschränkungen auferlegt werden ${displaystyle n}$, als Folge beispielsweise von Ergebnissen wie dem such Sätze von Sylow. Jede Bestellgruppe ${displaystyle pq}$ ist zyklisch, zum Beispiel wenn ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ sind verschiedene Primzahlen, wobei ${Anzeigestil q}$ ist weniger als ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil p-1}$ ist nicht teilbar durch ${Anzeigestil q}$. wenn ${displaystyle n}$ kennt keine weiteren Quadrate, jede Gruppe ist in Ordnung ${displaystyle n}$löslich. Das Burnsides Theorem, welches wurde bewährt mit der Gruppenmerkmale, besagt, dass jede Ordnungsgruppe ${displaystyle n}$ ist lösbar, wenn ${displaystyle n}$teilbar ist um weniger als drei verschiedene Primzahlen. Das Tatsache-Thompson-Theorem, das einen langen, komplizierten Beweis hat, besagt, dass jede Ordnungsgruppe ${displaystyle n}$ ist lösbar, wenn ${displaystyle n}$seltsam ist.

In gewisser Weise gilt für jede positive ganze Zahl ${displaystyle n}$ die meisten Ordnungsgruppen ${displaystyle n}$ löslich. Dies für eine bestimmte Ordnung zu realisieren wird normalerweise nicht als schwierig empfunden (zum Beispiel gibt es nur eine nicht auflösbare Gruppe der Ordnung 60, während es zwei nicht-isomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 60 und mehrere andere isomorphe Typen nicht-abelscher Gruppen gibt der Ordnung 60), aber um einen solchen Satz auf alle zu verallgemeinern ${displaystyle n}$ erfordert die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen. Ohne diesen Klassifikationssatz ist nicht klar, ob es eine obere Schranke für die konstante Anzahl isomorpher Typen einfacher Ordnungsgruppen gibt ${displaystyle n}$ (Nach der Klassifizierung ist jedoch bekannt, dass die Konstante 2 die obere Schranke für alle ist ${displaystyle n}$. Vor der Klassifikation dachte man lange, dass es unendlich viele Werte gibt ${displaystyle n}$ wäre, für die die beiden nicht-isomorphen einfachen Ordnungsgruppen ${displaystyle n}$ existierte).

Verweise

Siehe auch

• Klassifikation endlicher einfacher Gruppen
• Liste endlicher einfacher Gruppen
• Satz von Lagrange
• Satz von Cauchy
• P-Gruppe
• Liste der Kleingruppen
• Darstellungstheorie endlicher Gruppen
• Modulare Darstellungstheorie
• monströser Mondschein
• Profigruppe
• Unendliche Gruppentheorie