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EIN Punktgruppe bezüglich der Herkunft von a euklidischer Raum ist ein Isometriegruppe davon alle Isometrien der Ursprung als Fixpunkt haben. Es ist also ein Untergruppe des orthogonale Gruppe. Punktgruppen bezogen auf die Herkunft sind möglichst interessant Symmetriegruppe einer Figur in dem betreffenden Raum. Sie sind Beispiele für die Mathematik definiert Gruppen. Der Name Punktgruppe bezieht sich auf den Symmetriepunkt.

Punktgruppen sind in der Chemie verwendet in der Theorie der chemische Bindung. Das Kristallographie beschreibt die Kristallstruktur von verschiedenen Materialien und verwendet die Röntgenkristallographie und der Spektroskopie. Die Kristallstruktur wird ua mit Hilfe von Punktgruppen beschrieben. Punktgruppen können auf unterschiedliche Weise dargestellt werden, zum Beispiel mit a Grafikprogramm.^[1] Sie beschreiben die Symmetrie eines Moleküls. Etwas Moleküle einen solchen Symmetriepunkt haben, was dazu führt, dass Punktgruppen in der Chemie viel Verwendung finden. Übersetzungen des Moleküls bleiben daher unberücksichtigt. Unter anderem ist es chiraler Charakter eines Moleküls oder Molekülfragments, das mit der Punktgruppe verwandt ist.

Punktgruppen werden hauptsächlich in der Kristallographie verwendet, also in drei Dimensionen. Es ist ihnen auf die gleiche Weise möglich Zwei Dimensionen zu definieren, wenn dies für drei Dimensionen erfolgt ist. Die Operationen in der Punktgruppe in zwei Dimensionen, von a Rosette, nur der Drehung zu einer Punkt und der Reflexion sein. Obwohl in drei Dimensionen alle Operationen aus den Drehungen um a Drehachse und die Spiegelungen zusammengesetzt werden können, werden in der Regel fünf Operationen in drei Dimensionen unterschieden, die eine geometrische Figur auf sich selbst darstellen.

Die Symmetrieoperationen innerhalb einer Punktgruppe können mathematisch eindeutig sein mit orthogonale Matrizen beschrieben, mit den entsprechenden Matrix-Multiplikation ist definiert als das Ausführen von zwei Symmetrieoperationen nacheinander. Als Ergebnis haben die Matrixdarstellungen aller Symmetrieoperationen in einer Punktgruppe a Matrixgruppe Formen, auf denen die Darstellungstheorie gilt für. Die Darstellungstheorie verwendet häufig die Einteilung in Co-Klassen sowie die Korrelation zwischen einer Gruppe und ihren Untergruppen. Die Untergruppen haben eine geringere Symmetrie als die Gruppe selbst. Neben einer Aufteilung einer Punktgruppe in Untergruppen kennt man auch eine Aufteilung in Konjugationsklassen.

Konzepte

Es gibt vier Punktsymmetrieoperationen, einschließlich der Identität, fünf:

1. Reflexion in einem Flugzeug, Symbol σ.
2. Drehung um eine Achse, um eine Linie, Symbol C_nein. Das C steht für zyklisch, dies ist ein Modell für die zyklische Gruppen.
3. Inversion durch einen Punkt, Symbol ich. Der Inversionspunkt ist immer auch der Symmetriepunkt, das molekulare Zentrum. Die Kombination von Rotation und Inversion erzeugt eine Spiegelung: ${displaystyle C_{2}i=sigma }$.
4. Rotationsspiegelung bestehend aus einer Drehung um a Asche plus eine Spiegelung in a ebenaufrecht auf dieser Achse, Symbol ${displaystyle S_{n}}$, mit ${Displaystil S_{n}=C_{n}Sigma =Sigma C_{n}}$.
5. Identisches Bild im Raum, Symbol E.

Zweimal Oberflächenreflexion oder zweimal Punktreflexion kehrt zur Ausgangssituation zurück: ${displaystyle sigma ^{2}=E, i^{2}=E}$. Der Index nein Biene ${displaystyle C_{n}}$ und ${displaystyle S_{n}}$ gibt die Anzahl der Umdrehungen an, die benötigt wird, um in die Ausgangssituation zurückzukehren: ${Anzeigestil C_{n}^{n}=E, S_{n}^{n}=E}$. Theoretisch kann nein jeder natürliche Zahl sind, also ist die Anzahl der Punktgruppen unendlich, aber in den meisten Anwendungen nein nicht größer als 8 bis 12.

Die punktsymmetrischen Elemente sind:

1. Die Spiegelebene, Symbol σ mit waagerecht: σ_ha, vertikal: σ_v und Diagonale: σσ_d
2. Die Drehachse, Symbol C_nein
3. Der Umkehrpunkt, Symbol, ich
4. Die Rotationsreflexionsachse, Symbol so_nein.

Die Punktsymmetrieelemente eines Objekts oder Moleküls bestimmen, welche Punktsymmetrieoperationen möglich sind. Auf Basis der Punktsymmetrieelemente wird daher eine Punktgruppe als Ansammlung von Operationen bestimmt. Die Punktsymmetrieelemente und die zugehörigen Operationen werden in der Regel gleich behandelt Symbole angegeben, möglicherweise mit einem Index zur weiteren Verdeutlichung.

Die Punktgruppen lassen sich grob nach der Anzahl der Rotationsachsen einteilen:

• Die nicht-axiale Gruppen, d. h. es gibt keine Rotationsachse unter den Punktsymmetrieelementen: C₁ bei E, C_ich bei i und C_so bei .
• Die Gruppen mit einer Hauptachse: C_nein bei tatsächlicher Drehung, S_2n bei falscher Drehung und C_NV, C_nh in Rotation und Flächenreflexion.
• Die Gruppen mit einer Hauptachse und n Nebenachsen: D_nein ohne Spiegelflächen und D_nd, D_nh mit Spiegelflächen. Diese sind Diedergruppen
• Die Gruppen mit drei oder mehr Hauptachsen: die kubischen Gruppen T, T_ha, T_d, O und O_ha und die ikosaedrischen Gruppen I und I_ha. Die Indizes beziehen sich hier auch auf Spiegelflächen.
• Die Gruppen für lineare Symmetrie: C_v, D_ha und für Kugelsymmetrie: R₃. Das sind unendliche Gruppen.
• Darüber hinaus eine Reihe von Doppelgruppen. Diese werden durch Hinzufügen der Zeitinversion (Spin-Inversion) als zusätzlicher Operator gebildet. Doppelgruppen sind besonders nützlich bei der Beschreibung von Übergangsmetallkomplexen.

Die Hauptachse ist immer als z-Achse definiert: h für horizontal bezeichnet dann die xy-Ebene, v für vertikal bezeichnet das x_ichz-Ebenen und d für diagonal auf den Ebenen diagonal zwischen x_ichz und x_{ich 1}z.

Beispiel D_4h

Die Gruppenelemente einer Punktgruppe sind nicht die Symmetrieelemente, sondern die Symmetrieoperatoren.

Nehmen wir D . als Beispiel_4h, ein Diedergruppe, die Punktgruppe im dreidimensionalen Raum eines Quadrats, die definitionsgemäß in der horizontalen xy-Ebene liegt.

Die Punktgruppe D_4h wird durch einen Satz von sechs Symmetrieelementen bestimmt: ein vertikales C₄-Achse, entlang der z-Achse, vier horizontale C₂Achsen, das sind die beiden C₂^,Achsen entlang der x-Achse und y-Achse und die beiden C₂^,,Achsen diagonal zwischen x- und y-Achse, und die ._haEbene, die xy-Ebene. Die beiden C₂^,Achsen können durch C . gehen₄ ineinander überführt werden, so auch die beiden C₂^,,-Wellen. Das Ergebnis ist ein minimaler Satz von vier unabhängigen Symmetrieelementen. Die vier zugehörigen Symmetrieoperatoren C₄ , C₂^, , C₂^,, und_ha bilde die Stromerzeuger des D_4h Gruppe, das heißt: diese minimale Menge von vier Symmetrieoperatoren erzeugt die vollständige Menge von 16 Symmetrieoperatoren der D_4h Gruppe: E, C₄, C₄²=C₂ (z), C₄³, C₂^, (x) C₂^, (y), 2 C₂^,,, beide diagonal zwischen x und y, ich, S₄, S₄³,_ha, 2_v, 2_d. Kürzer notiert:

d_4h: E, 2 C₄, C₂, 2 C₂^,, 2 C₂^,,, ich, 2 S₄,_ha, 2_v, 2_d.

Das D_4h-group hat also 16 Gruppenelemente, in der Sprache der Gruppentheorie: de Auftrag des D_4hgroup ist 16. Dies ist die Gruppenreihenfolge, zu unterscheiden von der Reihenfolge der einzelnen Elemente.

C₄ ein Element der Ordnung 4 ist, erzeugt es a zyklisch Untergruppe der Ordnung 4: C₄, C₄²(=C₂), CO₄³ und C₄⁴(=E). Dies ist die Gruppe C₄, zu unterscheiden vom Element C₄ die die Gruppe erzeugt, genau wie C₄³. so₄ ist ebenfalls ein Element der 4. Ordnung und erzeugt die zyklische Untergruppe S₄ auch, genau wie S₄³. Das Element E ist von der Ordnung 1 und erzeugt die triviale Untergruppe C₁. Die anderen Elemente des D_4hGruppe von Ordnung 2 sind, erzeugen sie die zyklischen Untergruppen C₂, C_ich=S₂ oder C_so=C_ha, die Gruppen der Ordnung 2 sind.

Dieses zyklische Gruppen sind nicht die einzigen Untergattungen von D_4h. Andere Untergruppen werden durch zwei oder mehr erzeugende Elemente gebildet. d_4h hat zB als nichtzyklische Untergruppen der Ordnung 8: D₄, C_4h, C_4v, D_2d und D_2h und als nichtzyklische Untergruppen der Ordnung 4: D₂, C_2v und C_2h.

Punktgruppen in der Kristallographie

EIN Kristall kann als zusammengesetzt angesehen werden Elementarzellen, die in a Zeitplan sind nach einer bestimmten Translationssymmetrie gestapelt. Die Punktsymmetrie der Elementarzelle muss kompatibel sein, kompatibel, sind mit der Translationssymmetrie des Gitters. Die Kombination der Translationssymmetrieelemente mit den kompatiblen Punktsymmetrieelementen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt die kristallographische Raumgruppen es sind genau 230 davon.

Obwohl es unendlich viele Punktgruppen gibt, sind nur wenige Punktgruppen mit der Translationssymmetrie eines Kristalls kompatibel. Eine 5-stellige, 7-stellige oder höhere Achse existiert in Kristallen nicht, da sie den Raum damit nicht ausfüllen kann. Ein aus unendlich vielen Translationen aufgebautes Gitter kann nur die folgenden Rotationsachsen enthalten: C₁, C₂, C₃, C₄ und C₆. Außerdem ein Inversionszentrum ich als unabhängiges Punktsymmetrieelement. Beachten Sie, dass falsche Drehungen und Spiegelebenen durch Kombinationen von tatsächlichen Drehungen und Umkehrungen erzeugt werden.

Eine erste Auswahl basierend auf diesen Symmetrieoperationen als erzeugende Elemente ergibt folgende Punktgruppen: C_nein , S_nein^[2] , C_NV , C_nh , D_nein , D_nh , D_nd, für n=1,2,3,4 oder 6, und die kubische Punktgruppen T, T_d, T_ha, O und O_ha. Wie bereits erwähnt, beinhalten diese 40 Gruppen jedoch Doppelzählungen und Ausschlüsse. Zweimal gezählt gibt es 6: C_1v C_1h , D1 C2 , D_1h C_2v , D_1d C_2h , S₁ C_1h und S₃ C_3h, in der Tabelle ist immer einer der beiden grau markiert. d_4d und D_6d muss ausgeschlossen werden, in der Tabelle rot markiert, da diese beiden Gruppen das ausgeschlossene S . haben₈ bzw. S₁₂ enthalten. so₈ und S₁₂ sind in der Tabelle 'Die Hauptpunktgruppen, ihre in Konjugationsklassen gruppierten Gruppenelemente und ihre Untergruppen' fett markiert. Es verbleiben genau 32 Punktgruppen, die mit der Translationssymmetrie und den Raumgruppen kompatibel sind, das sind die 32 kristallographischen Punktgruppen. Sein System ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Kristallographische Punktgruppen, internationale Notation

Die Schoenflies-Notation ist für alle Punktgruppen geeignet, jedoch nicht für Raumgruppen. Arthur Moritz Schönflies 1853-1928 kam aus Deutschland und leistete einen wichtigen Beitrag zur Anwendung der Gruppentheorie auf der Kristallographie. Kristallograph Carl Hermann aus Deutschland und Mineraloge Charles-Victor Mauguin aus Frankreich Beide haben eine Notation entwickelt, die gleichzeitig auf die 3-dimensionalen Raumgruppen und auf die 32 kristallographischen Punktgruppen angewendet werden kann. Diese Notation wird Internationale Notation oder Hermann-Mauguin-Notation genannt. Obwohl die Internationale-Notation nicht für alle Punktgruppen gilt, wird sie in der Kristallographie der Schönflies-Notation vorgezogen, weil sie eine bequeme Notation für translatorische Symmetrieelemente bietet und auch die Richtungen der Symmetrieachsen angibt.

Die Anwendung der Internationalen Notation beschränkt sich hier auf die Punktgruppen. Wie die Schönflies-Notation basiert die Internationale-Notation auf den Elementen der Symmetrie. In der Klassifikation für unechte Drehungen wird das Inversionselement . in internationaler Notation verwendet ich verwendet, wird in der Schönflies-Schreibweise das Reflexionselement durch ein gekennzeichnet. Mit dem gegebenen System zur Bestimmung des 32-Kristallographen lässt sich auch das System der Hermann-Mauguin-Notation für Punktgruppen verdeutlichen.

• Die Symbole für tatsächliche Drehungen werden zu Zahlen gekürzt, also C₁, C₂, C₃, C₄ und C₆ werden als 1, 2, 3, 4 und 6 angezeigt.
• Die Symbole für unechte Drehungen, hier Drehungen mit Inversion, haben einen Strich über den Zahlen, also C₁ich, C₂ich, C₃ich, C₄ich und C₆ich werden angezeigt als 1, 2, 3, 4, 6. Beachten Sie hier: C₁ich ≡ ich, So 1 C_ich, so ist C₂ich σ und 2 C_so. Genauso findet man 3 S₆, 4 S₄ und 6 S₃.
• Das Symbol für die Reflexion ist in der internationalen Notation m. Hinweis hier: weil C_so ≡ 2 bekommt das Symbol m, das Symbol verfällt 2.
  • Enthält die Spiegelebene die n-fache Eigendrehachse, ist diese in Schönflies σ_v oder_d, ist das zusammengesetzte Symbol nm, mit n=1,2,3,4 oder 6.
  • Steht die Spiegelebene senkrecht zur n-fachen Eigendrehachse, so ist dies in Schönflies σσ_ha, ist das zusammengesetzte Symbol ${displaystyle { frac {n}{m}}}$, mit n=1,2,3,4 oder 6.

Als zusätzliche Regel ist die minimale Anzahl von Symbolen ausreichend, das heißt für die nicht-zyklischen Gruppen, dass man sich auf die erzeugenden Elemente beschränkt. Also zum Beispiel C_3v mit Symmetrieelementen C₃ und 3σ_v in internationaler Notation wird nicht 3mmm, sondern 3m , und D₃ mit C₃ und 3C₂ wird nicht 3222, sondern 32. Wenn es jedoch unabhängige Achsen oder Ebenen gibt, können die Symbole zwei- oder dreimal erscheinen. Damit wird die Gruppe D₂ mit drei unabhängigen C₂ Achsen mit 222 bezeichnet. Ein Sonderfall ist D_3h, Leute neigen dazu, diese Gruppe zu schreiben als ${displaystyle { frac {2}{m}},{ frac {2}{m}},{ frac {2}{m}}}$, aber dann gibt es Redundanz, und dies wird zu mmm vereinfacht. Aus der Gruppe T mit mehreren 2 und 3 Achsen ist 23 geworden und nicht 32, denn 32 ist die Gruppe D₃. Die Dreifaltigkeitsachse steht auch hinter den anderen kubischen Gruppen.

Bestimmung der Punktgruppe

Es folgt die Schoenflies-Notation, die im Chemie wird am häufigsten verwendet und ist für alle Punktgruppen nützlich. Die Schoenflies-Symbole werden bei Doppelgruppen mit einem * oder einem ' hochgestellt, darauf wird im Folgenden nicht weiter eingegangen. In der Kristallographie wird eine andere Punktgruppennotation verwendet, die Internationale oder Hermann-Mauguin-Notation, die nur für die Sammlung der kristallographischen Punktgruppen gilt.

• linear? Ja →
  • Umkehrung ja? → D_ha
  • Umkehrung nein? → C_v

• linear? nein →
  • 2 oder mehr C_nein, n 3 ? Ja →
    • → Umkehrung ? ja → C₅ ? ja → ich_ha
    • → Umkehrung ? ja → C₅ ? nein → oh_ha
    • → Umkehrung ? nein → T_d

• linear? nein → 2 oder mehr C_nein, n3 ? nein → C_nein ? Ja.
  • Wählen Sie C_nein mit größtem n → nC₂ senkrecht zu C_nein ? Ja →
    • σ_ha ? ja → D_nh
    • σ_ha ? nein → n_d ? ja → D_nd
    • σ_ha ? nein → n_d ? nein → D_nein

• linear? nein → 2 oder mehr C_nein, n 3 ? nein → C_nein ? Ja →
  • Wählen Sie C_nein mit größtem n: nC₂ senkrecht C_nein mit größtem n ? nein, nein →
    • σ_ha ? ja → C_nh
    • σ_ha ? nein →_v ? ja → C_NV
    • σ_ha ? nein →_v ? nein → S_2n ? ja → S_2n
    • σ_ha ? nein →_v ? nein → S_2n ? nein → C_nein

Nota bene: Wenn Sie in C . ankommen_nein oder C_NV, sollte man prüfen, ob ein S . vorhanden ist_2n-Asche. Das S_2nAchse wird sichtbar, indem das Objekt oder Molekül entlang der C .-Achse projiziert wird_nein-Asche. Gibt es so ein S_2n-Achse, dann gilt C_nein → S_2n und C_NV → D_nd.

• linear? nein → 2 oder mehr C_nein, n 3 ? nein → C_nein ? Nein →
  • ? ja → C_so
  • ? nein → ich Ja ? → C_ich
  • ? nein → ich Nein ? → C₁

Tabellen

Die 32 kristallographischen Punktgruppen in Schönflies-Notation und in Internationaler Notation.

Schuhklappensymbol	Internationales Symbol
C1	1
Cich	1
C2	2
Cso	ich
C2h	${displaystyle { frac {2}{m}}}$
d2	222
C2v	mm (mm2)
d2h	mmm
C4	4
so4	4
C4h	${displaystyle { frac {4}{m}}}$
d4	422
C4v	4 mm
d2d	42m (4m2)
d4h	${displaystyle { frac {4}{m}}}$
C3	3
so6	3
d3	32
C3v	3m
d3d	3ich
C6	6
C3h	6
C6h	${displaystyle { frac {6}{m}}}$
d6	622
C6v	6 mm
d3h	6m2 (62m)
d6h	${displaystyle {frac {6}{m}}}$
T	23
Tha	m3 (m3)
Ö	432
Td	43m
Öha	m3m (m3m)

Die kristallographischen Punktgruppen der Gitterpunkte müssen mit der Symmetrie der Bravais-Gitter von denen die Gitterpunkte ein Teil sind. Es gibt Punktgruppen, die diese Anforderung nie erfüllen. Die wichtigsten Punktgruppen, kristallographische und andere, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.