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Die 6^-eKomplexWurzeln der Einheit unter Multiplikation eine zyklische Gruppe bilden. z ist ein primitives Element, aber z² ist das nicht, denn das Seltsame Kräfte von z keine Macht von z² sein.

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein zyklische Gruppe ein Gruppe das kann werden hervorgebracht von einer einzigen Element, in dem Sinne, dass die Gruppe a . hat ElementG (genannt "Urheber") hat so, dass bei multiplikativer Schreibweise jedes Element der Gruppe a Leistung von G ist (wenn die Notation additiv ist, a mehrere von G).

Definition

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element gibt ${displaystyle Gin G}$ existiert so, dass ${displaystyle G=long gangle :={g^{n}mid nin mathbb {Z}}}$. Da eine von einem Element in dieser Gruppe erzeugte Gruppe eine Untergruppe dieser Gruppe ist, genügt es zu zeigen, dass es ein Element gibt ${displaystyle Gin G}$ existiert so, dass ${Anzeigestil G}$ er selbst der einzige Untergruppe ist das ${displaystyle g}$ enthält.

Beispielsweise ${displaystyle G={g^{0}=e,g^{1}=g,g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}}}$ ist eine Gruppe von 6 Elementen, dann ist ${displaystyle g^{6}=e}$ und ist ${Anzeigestil G}$ zyklisch. Tatsächlich ${Anzeigestil G}$ in der Konzernstruktur im Wesentlichen gleich wie (d.h. isomorph mit) die Menge {0, 1, 2, 3, 4, 5} mit Addition modular 6. Somit entspricht 1 2 = 3 (mod 6) ${displaystyle g^{1}g^{2}=g^{3}}$ und 2 5 = 1 (mod 6) mit ${Anzeigestil g^{2}g^{5}=g^{7}=g}$. Man kann den Isomorphismus ${Anzeigestil Varphi }$ definiert von ${Displaystil-Varphi (g^{k})=k}$.

Für jede positive ganze Zahl nein gibt es genau eine zyklische Gruppe ("bis" Isomorphismus), von denen die Auftragnein ist, und gibt es genau einen unendlich zyklische Gruppe (die ganzen Zahlen unter Addition). Daher sind die zyklischen Gruppen die einfachsten Gruppen und sie sind auch vollständig klassifiziert.

Der Name „zyklisch“ kann irreführend sein: Es ist möglich, unendlich viele Elemente zu erzeugen, ohne buchstäbliche Zyklen zu bilden; das heißt, irgendwelche ${displaystyle g^{n}}$ ist anders. (Man kann sagen, dass es einen unendlich langen Zyklus hat.) In diesem Fall muss man auch negative Werte von annehmen nein berücksichtigen, gibt dies andere Elemente. Eine so erzeugte Gruppe heißt a unendliche zyklische Gruppe angerufen und diese Gruppe ist isomorph mit der additiven Gruppe von ganze Zahlenz.

Außerdem ist die Kreisgruppe (davon die Anzahl der Elemente unzählbar ist) keine zyklische Gruppe - eine zyklische Gruppe hat immer zählbar Elemente.

Da die zyklischen Gruppen abels sie werden oft additiv geschrieben und mit bezeichnet z_nein. Diese Notation kann jedoch problematisch sein für Zahlentheoretiker, weil es im Widerspruch zur üblichen Notation für steht p-adische Zahlenringe von Lokalisierung von a Primideal. Das Quotient Notationen z/neinz, z/nein und z/(nein) sind Standardalternativen. Wir nehmen hier die erste dieser Notationen, um Kollisionen in der Notation zu vermeiden.

Man kann die Gruppe multiplikativ beschreiben und die Gruppe mit bezeichnen C_nein, wahr nein die Reihenfolge ist (die zu ∞ werden kann). Beispielsweise, G³G⁴ = G² im C₅, während 3 4 = 2 in z/5z.

Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen. Es ist für alle da natürliche Zahl eine zyklische Gruppe C_nein dieser Ordnung und es gibt a unendlich zyklische Gruppe, die Additionsgruppe der ganze Zahlen. Jede andere zyklische Gruppe ist mit einer von diesen isomorph. Jede zyklische Gruppe ist kommutativ.

Zyklische Punktgruppen in 2D und 3D

Biene endliche Symmetriegruppen in 3D werden oft separate Notationen verwendet für Rotationsgruppen und abstrakte zyklische Gruppen zum Beispiel C_nein und Z_nein. Der Grund ist, dass sowohl in 2D als auch in 3D unterschiedliche Symmetriegruppen gleich sind als abstrakte Gruppe, in 2D ${Displaystil C_{2}}$ und ${displaystyle D_{1}}$ als abstrakte Gruppe gleich (${displaystyle Z_{2}}$) und in 3D enthalten ${displaystyle C_{2n}}$ und ${displaystyle S_{2n}}$ als abstrakte Gruppe gleich (${displaystyle Z_{2n}}$), und ${displaystyle C_{2n 1h}}$ und ${Displaystil C_{4n 2}}$ ebenfalls (${displaystyle Z_{4n 2}}$).

Beispiel

Ein Beispiel für eine zyklische Gruppe ist (${displaystyle mathbb {Z} /10mathbb {Z} , }$), die aus den Zahlen besteht ${displaystyle {0,1,2,ldots 9}}$ Mit als Gruppenbearbeitung die Addition modulo 10. Diese Gruppe kann sein hervorgebracht durch das Element 3.

3 3 = 66 3 = 99 3 = 12 = 2 mod 102 3 = 55 3 = 88 3 = 11 = 1 mod 101 3 = 44 3 = 77 3 = 00 3 = 3

So werden alle Elemente innerhalb der Gruppe gebildet.

Ein weiteres Beispiel für eine endliche zyklische Gruppe ist die Gruppe von Drehungen von a regelmäßiges Vieleck. Eine solche zyklische Gruppe ist also a Rotationsgruppe. Zum Beispiel gibt es fünf Rotationen, einschließlich der Identität, die de regelmäßiges Fünfeck schildert sich selbst.