WikiDer > Orthogonale Matrix

EIN orthogonale Matrix ist in der Lineare Algebra ein Realquadratische Matrix deren Spalten a Orthonormalsystem Formen. Dies bedeutet, dass die Spalten senkrecht sein und wenn Vektor habe die Länge 1. Analog bilden auch die Zeilen ein Orthonormalsystem und stehen daher mit der Länge 1 zueinander orthogonal. Eine andere Möglichkeit zur Charakterisierung besteht darin, dass die transponiert des Matrix entspricht dem invers. Der entsprechende Term für komplexe Matrizen ist a unitäre Matrix.

Orthogonale Matrizen als Bild auf a euklidischer Raum Behalten Sie den Ursprung und die Entfernungen und Winkel bei. Sie entsprechen also wendet sich, Reflexionen und Kombinationen davon.

Definition

Eine quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ heiß senkrecht wenn die Spalten ein Orthonormalsystem bilden, also wenn

${Displaystil A^{ ext{T}}A=I}$,

in welchem ${Anzeigestil I}$ das Einheitenmatrix ist.

Mit diesem Äquivalent ist das ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar und die Inverse ist gleich der Transponierten von ${Anzeigestil A}$ , also wenn:

${Displaystil A^{-1}=A^{ ext{T}}}$

Die Zeilen einer orthogonalen Matrix sind ebenfalls orthonormal:

${displaystyle AA^{ ext{T}}=I}$

Eigenschaften

• Das bestimmend einer orthogonalen Matrix ${Anzeigestil A}$ gleich 1 oder -1. Schließlich gilt:

${displaystyle 1=det(I)=det(A^{ ext{T}}A)=det(A^{ ext{T}})det(A)=(det(A))^{2}}$.

• Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ ist doch wieder orthogonal:

${Displaystyle (AB)^{ Ext{T}}AB=B^{ Ext{T}}A^{ Ext{T}}AB=B^{ Ext{T}}IB=B^{ Ext{T}} B=I}$.

• Orthogonale Matrizen retten es Innenprodukt, das heißt, wenn ${Anzeigestil A}$ ist orthogonal, gilt:

${displaystyle langle Av,Awangle =langle v,A^{ ext{T}}Awangle =langle v,wangle}$.

Die Bilder ${displaystyle xmapsto Axb}$ also vertreten Isometrien, weil

${displaystyle |Ax b-Ay-b|^{2}=|A(xy)|^{2}=langle A(xy),A(xy)angle =langle xy,x-yangle =|xy|^{ 2}}$.

• Für das Selbstwertgefühl ${ Anzeigestil Lambda }$ mit entsprechendem Eigenvektor ${Anzeigestil x}$ einer orthogonalen Matrix ${Anzeigestil A}$ gilt:

${displaystyle langle x,xangle =langle Ax,Axangle =langle lambda x,lambda xangle =lambda ^{2}langle x,xangle }$, So ${Displaystil-Lambda ^{2}=1}$