WikiDer > Reproduktionsnummer

Es basale Reproduktionszahl (R₀) von a ansteckende Krankheit ist ein Indikator, der die durchschnittliche Anzahl von Sekundärinfektionen angibt, die durch einen Primärfall in einer Bevölkerung ohne Immunität und ohne prophylaktisch Maßnahmen wie Impfungen. Die basale Reproduktionszahl sollte nicht mit der Reproduktionszahl oder Infektionszahl (R) verwechselt werden, die die mittlere Zahl der Sekundärinfektionen im Allgemeinen darstellt. Eine Reproduktionszahl von 2 bedeutet, dass ein Träger der Infektion durchschnittlich 2 weitere Personen ansteckt.

Das Konzept der Reproduktionsnummer wurde in der Arbeit von . entwickelt Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) und George MacDonald (1903-1967) und ist wichtig in der Epidemiologie.

Mathematische Beschreibung

Der Wert von R₀ kann basierend auf einer Reihe von demografischen und charakteristischen Daten für die Infektion bestimmt werden:

${displaystyle R_{0}={frac { eta N}{delta }}= eta ND}$

hier ist

${displaystyle eta }$ die Ansteckungswahrscheinlichkeit pro Kontakt

${Displaystil N}$ die durchschnittliche Anzahl der Kontakte pro Zeiteinheit

${Anzeigestil-Delta}$ das Heilungsgeschwindigkeit

${Anzeigestil D}$ die Dauer der Infektion (δ = 1/D)

und ${displaystyle R_{0}}$ ein dimensionslos Nummer.

Je größer R₀ je schneller die Zahl der Infizierten steigt und desto schwieriger wird es, die Infektion zu kontrollieren. Der Anteil der Bevölkerung, der immun ist oder nach einer Infektion geimpft werden muss, um Gruppenimmunität zu erhalten (und damit die Ausbreitung zu stoppen) ist gegeben durch: 1-(1/R₀) (siehe Ableitung unten).

Effektive Reproduktionszahl

Es effektive Reproduktionszahl R_eff geringer ist, weil beispielsweise berücksichtigt wird, dass ein Teil der Bevölkerung immun ist:

${displaystyle R_{ ext{eff}}={frac { eta S}{delta }}=R_{0} imes {frac {S}{N}}}$

hier ist:

${Anzeigestil S}$ die Anzahl der anfälligen Personen (anfällig) ist für die Krankheit

${Anzeigestil S/N}$ der Anteil der Bevölkerung, der anfällig für die Krankheit ist

wenn R_eff kleiner als 1 ist, verschwindet die Infektion aus der Bevölkerung, aber wenn R_eff größer als 1 ist, kann sie zu a grow heranwachsen Epidemie. wenn R_eff gleich 1 ist, bleibt die Zahl der Infizierten theoretisch gleich.

Ursprung

Ursprünglich stammt der Begriff Reproduktionsnummer aus dem demografische Merkmale: Wenn R₀ kleiner als 1 ist, wird die Population schrumpfen, aber wenn R₀ größer als 1 ist, wird es wachsen.

Ableitung Mindest-Impfschutz

sehen SIR-Modell (Epidemiologie) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Für die erforderliche Mindestimpfungsrate gelten folgende Gleichungen:

${displaystyle {frac {dS}{dt}}=-lambda (t)S(t)}$

${displaystyle {frac {dI}{dt}}=Lambda (t)S(t)-Delta I(t)>0}$

${displaystyle {frac {dR}{dt}}=Delta I(t)}$

hier ist:

${Anzeigestil I}$ die Zahl der Infizierten und

${Anzeigestil R}$ (erholt) die Anzahl der genesenen Personen (nicht zu verwechseln mit R₀ und R_eff )

In diesem Modell erhöhe ich nur, wenn die zweite Gleichung größer als 0 ist. (De mathematische Ableitung größer als Null ist, d. h. die Kurve hat eine positive Steigung oder Steigung.) Nehmen wir eine konstante Infektionskraft an: λ(t)=λ, dann folgt:

${Anzeigestil Lambda S(t)-Delta I(t)>0}$ oder ${Anzeigestil eta I(t)S(t)-Delta I(t)>0}$

weil die Infektionskraft λ ist gleich Transmissionskoeffizient β mal I. Wenn I ungleich Null ist, bedeutet das:

${Anzeigestil eta S(t)-Delta >0}$ oder ${Anzeigestil eta S(t)>delta }$ oder ${displaystyle S(t)>{frac {delta }{eta }}}$

Durch Division beider Mitglieder durch N:

${displaystyle {frac {S(t)}{N}}>{frac {delta }{eta N}}}$

Da R₀ = S₀/δ = βS₀D (N S(0)):

${displaystyle s*={frac {S(t)}{N}}>{frac {1}{R_{0}}}}$.

Dies bedeutet, dass der Anteil der ungeimpften s* in der Bevölkerung den Kehrwert der Grundreproduktionszahl dieser Krankheit (in dieser Situation) nicht überschreiten darf; andernfalls kommt es zu einer Epidemie. Auf diese Weise wird das Minimum Impfschutz p_c Sind angegeben:

${displaystyle s*=1-p_{c}={frac {1}{R_{0}}}}$ oder ${displaystyle p_{c}=1-{frac {1}{R_{0}}}}$

Berücksichtigt man außerdem, dass die Impfeffizienz (=VE) nicht immer 100 % beträgt, dann beträgt der zu impfende Anteil p_c:

${displaystyle p_{c}={frac {1-{frac {1}{R_{0}}}}{VE}}}$

Beispiel

• R₀=2 VE=0.80, dann p_c= 0,625; oder 62,5% der Bevölkerung sollten geimpft werden.
• R₀=3 VE=0,90, dann p_c=0.74

Matrix der nächsten Generation

Beim Rechnen mit unterschiedlichen Altersklassen wird der Matrix der nächsten Generation aus allen R₀ für alle Kombinationen von Altersklassen:

${displaystyle R_{0ij}= eta _{ij}N_{i}D{frac {}{}}}$

Für vier Altersklassen sieht es so aus:

${displaystyle { egin{bmatrix} Eta _{11}N_{1}D& Eta _{12}N_{2}D& Eta _{13}N_{3}D& Eta _{14}N_{4}D/ Eta _ {21}N_{1}D& Eta _{22}N_{2}D& Eta _{23}N_{3}D& Eta _{24}N_{4}D/ Eta _{31}N_{1}D& Eta _{32}N_{2}D& Eta _{33}N_{3}D& Eta _{34}N_{4}D/ Eta _{41}N_{1}D& Eta _{42}N_{2}D& eta _{43}N_{3}D& eta _{44}N_{4}Dend{bmatrix}}}$

Diese Matrix kann berechnet werden durch Multiplikation der WAIFW-Matrix mit ND.

Berechnung R₀ aus Daten vor und nach einer Epidemie

${displaystyle R_{0}={frac {ln {frac {S(0)}{S(e)}}}{1-s_{e}}}}$ mit so_e = S(e) / N

Umleitung

Die Bevölkerungsgruppen im SIR-Modell erfüllen diese Gleichungen:

${displaystyle {frac {dS}{dt}}=-lambda (t)S(t)=-eta I(t)S(t)}$

${Displaystyle {frac {dI}{dt}}=Lambda (t)S(t)-Delta I(t)= eta I(t)S(t)-Delta I(t)}$

Wenn wir beide teilen, erhalten wir:

${displaystyle {frac {dI}{dS}}={frac { eta I(t)S(t)-delta I(t)}{- eta I(t)S(t)}}=-1 {frac { Delta }{ eta S(t)}}}$

Integrieren liefert:

${displaystyle I(t)=-S(t) {frac {delta }{ eta}}ln {S(t)} C}$

oder

${Anzeigestil I(t) S(t)-{frac {delta }{ eta}}ln {S(t)}=C}$

Also zu zwei verschiedenen Zeitpunkten (t=0 und t=e; vor bzw. nach der Epidemie):

${displaystyle I(0) S(0)-{frac {delta }{ eta }}ln {S(0)}=I(e) S(e)-{frac {delta }{ eta }}ln {S( e)}}$

Da I(0)=I(e)=0 und S(0)=N, können wir schreiben:

${Anzeigestil N-{frac {delta }{ eta}}ln {S(0)}=S(e)-{frac {delta }{ eta}}ln {S(e)}}$

oder

${displaystyle N-S(e)={frac {delta }{ eta}}ln {frac {S(0)}{S(e)}}}$

oder

${displaystyle {frac { eta }{delta }}={frac {ln {frac {S(0)}{S(e)}}}{N-S(e)}}}$

und das bringt uns zu dem zu beweisenden Satz:

${displaystyle R_{0}={frac { eta N}{delta }}={frac {ln {frac {S(0)}{S(e)}}}{1-s_{e}}}}$

Externer Link

• (und) James Holland Jones, Hinweise zu R0, 1. Mai 2007