WikiDer > Schema (Mathematik)

In dem Mathematik ist ein planen ein wichtiges Konzept, das die mathematischen Teilgebiete der algebraische Geometrie, das kommutative Algebra und der Zahlentheorie verbindet. Schemata wurden in die Mathematik eingeführt von Alexander Grothendieck, mit dem Ziel der Vorstellung von algebraische Vielfalt verallgemeinern; Einige halten Schemata für das herausragende Forschungsobjekt der modernen algebraischen Geometrie. Formal ist ein Schema a topologischer Raum zusammen mit Kommutative Ringe für alle offene Teilmengen dieses topologischen Raums. Durch "Zusammenkleben" entsteht ein Schema Ringspektren (Leerzeichen von Primideale) von kommutativen Ringen entlang ihrer offenen Teilmengen.

Formale Definition

EIN affiner ZeitplanX ist ein topologischer Raum mit einer Garbe she Ö_X lokaler Pfähle (de Strukturgarbe), so dass X isomorph zum Ringspektrum Spec R eines kommutativen Rings R, mit der entsprechenden Spektrumsverschiebung versehen.

EIN planenX ist ein topologischer Raum mit einer Garbe she Ö_X lokaler Ringe (wieder als Strukturgarbe bezeichnet), so dass X lokal isomorph zu einem affinen Schema, das heißt: X ermöglicht eine offene Abdeckung bestehend aus Teilmengen SIE_ich so dass jeder SIE_ich isomorph zu einem affinen Schema.

Rechenschaftspflicht

Sie V ein affin algebraische Varietät, d. h. die Nullmenge von a Primidealp in einem Polynomringk[X₁,...,X_nein]. Das QuotientenringR = k[X₁,...,X_nein]/pdie durch Arithmetik mit Polynomen erzeugt wird modular Elemente des Primideals, kann als Ring von understood verstanden werden k-würdige Funktionen an v, die sogenannte reguläre Funktionen.

Der topologische Raum Spezifikation R Sehr ähnlich zu V. Die Punkte von Spezifikation R sind die Hauptideale von R, während die Punkte von V entsprechen den maximalen Idealen von r. 's Spektrumsverschiebung R verknüpft die Punkte und andere irreduzible Teilmengen von V einerseits und die regulären Funktionen in ihrer Umgebung andererseits.

Für ein projektiv algebraische Varietät hat kein so einzigartiges Spektrum-Garbe, aber eine projektive Varietät kann mit offenen Untergruppen abgedeckt werden, die affine Varietäten bilden.

Der Schemabegriff umfasst somit die klassischen algebraischen Varietäten, zusätzlich zu einer Reihe von abstrakteren Objekten, die nicht unter die klassische Definition fallen.