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In dem Mathematik Es gibt eine Reihe von Konzepten mit diesem Namen Spektrum und die alle direkt oder indirekt aus dem physikalischen Konzept abgeleitet sind Spektrum. Wir zitieren hier die am häufigsten verwendeten, in der Reihenfolge zunehmender begrifflicher Distanz zur Physik.

Spektrum eines linearen Operators

Das Quantenmechanik besagt, dass Licht kein kontinuierliches Phänomen ist, sondern in diskreten Paketen auftritt, Quanten oder Quant, deren Energiemenge direkt proportional zur Frequenz ist. Das Linienspektrum eines glühenden Gases erklärt sie damit, dass das Gas elektromagnetische Wellen (Licht) aussendet, deren Energie genau der Differenz zwischen zwei diskreten „Energieniveaus“ des Atoms oder Moleküls entspricht. Dies erklärt, warum der Energieinhalt von Quanten nur eine begrenzte Anzahl von Werten haben kann.

Die Energieniveaus des Atoms entsprechen dem Eigenwerte einer unbegrenzten linearen Transformation von Wellenfunktionen. Die Wellenfunktionen bilden (einen Unterraum von) a Hilbert-Raum. Die Transformation heißt Energieoperator oder Hamiltonian.

In der Erweiterung heißt es Spektrum einer linearen Transformation ${Anzeigestil T}$ von a topologischer Vektorraum: die Menge aller Zahlen ${ Anzeigestil Lambda }$ aus dem Skalarfeld, für das ${Displaystil T-Lambda }$Nein hat eine beschränkte inverse Transformation. Sie ist im Allgemeinen größer als die Menge der Eigenwerte; um den Unterschied zu machen heißt es diskretes Spektrum die Menge der isolierten Eigenwerte endlicher Vielheit. Der erste, der das Wort "Bandspektrum" in diesem Sinne verwendet, scheint 1897 W. Wirtinger gewesen zu sein; Daraus leitete Hilbert wahrscheinlich seinen Gebrauch des Wortes Spektrum ab.^[1]

Das "physikalische" Spektrum besteht also aus der Menge Unterschiede von je zwei Zahlen aus dem "mathematischen" Spektrum. Dies spiegelt sich zum Beispiel in der Rydberg-Formel, eine Berechnung der Linienfrequenzen der Wasserstoffspektrum.

Spektrum in der Funktionsanalyse

sehen Spektrum (Funktionsanalyse) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

In dem Funktionsanalyse, eine Unterregion der Mathematik, ist das Konzept der Spektrum von a beschränkter Operator eine Verallgemeinerung des Konzepts der Eigenwerte vor dem Matrizen.

Spektrum einer kommutativen Banach-Algebra

kommutativ Banach-Algebras sind sehr spezifische Typen von topologischen Vektorräumen.

Ein wichtiges Beispiel für eine kommutative Banach-Algebra ist die Sammlung aller beschränkten linearen Transformationen auf einem komplexen Hilbertraum, die mit einem gegebenen selbstaddierten Operator kommutieren (der Energieoperator aus der Quantenmechanik ist immer selbstaddiert).

Das Spektrum des selbstaddierten Operators entspricht der Menge der Ringhomomorphismen aus der Banach-Algebra zu den komplexen Zahlen.

Daher die Definition: it Spektrum einer kommutativen Banach-Algebra ist die Menge aller komplexen Homomorphismen dieser Algebra.

Es gibt eine natürliche bijektion zwischen diesem Spektrum und der Menge aller Maximum Ideale der Banach-Algebra.

Spektrum eines Rings

EIN Banach-Algebra ist ein spezielles Beispiel für a Ring. Das kommutative Algebra definiert zwei mit jedem verbundene Spektrumkonzepte Kommutativer Ring${Anzeigestil A}$ mit Einheitselement: die maximales Spektrum${displaystyle {hbox{Max}}(A)}$ und der Primspektrum${displaystyle {hbox{Spec}}(A)}$.^[2]

Das maximale Spektrum besteht aus der Menge aller maximale Ideale von ${Anzeigestil A.}$ Es ist ausgestattet mit einem Topologie erzeugt durch Mengen maximaler Ideale, die ein gegebenes Element enthalten ${Anzeigestil ain A}$nicht enthalten.

Das Primspektrum besteht aus der Menge aller Primideale von ${Anzeigestil A.}$ Es ist ausgestattet mit dem Zariski-Topologie, wobei die abgeschlossenen Mengen aus allen Primidealen bestehen, die ein gegebenes Ideal enthalten (nicht unbedingt prim). Für das maximale Spektrum entspricht dies der Gleistopologie, so dass ${Anzeigestil Max(A)}$ ist ein topologischer Unterraum von ${Displaystyle-Spezifikation (A)}$.

Das Primspektrum definiert eine Kontravariante Funktion des Kategorie der kommutativen Ringe mit Einheitselement zur Kategorie der topologischen Räume. Das maximale Spektrum hat diese Eigenschaft nicht.^[3]

Über dem topologischen Raum ${displaystyle {hbox{Spec}}(A)}$ ist die Struktur von a Garbe von Ringen. Mit jeder offenen Menge (d. h. den Primidealen, die ein gegebenes Ideal ergeben nicht enthalten) ein kommutativer Ring mit Einheitselement zugeordnet ist. Die Elemente dieses Rings sind bestimmte Brüche, deren Zähler und Nenner im ursprünglichen Ring stehen ${Anzeigestil A}$ Lüge.