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In dem algebraische Geometrie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein algebraische Vielfalt das Lösungssatz eines Systems von PolynomGleichungen. Algebraische Varietäten sind die grundlegenden Objekte der klassischen (und teilweise modernen) algebraische Geometrie.

Historisch gesehen ist die Fundamentalsatz der Algebra eine Verbindung zwischen den Algebra und der Geometrie indem man zeigt, dass a Monompolynom in einer Variablen über die komplexe Zahlen, also eine algebraische Objekt, wird durch ein geometrisches Objekt bestimmt, nämlich die Sammlung von ihr Nullen. Aufbauend auf diesem Ergebnis, Hilberts Nullstellensatz eine grundlegende Verbindung zwischen Ideale von Polynomringe und Teilmengen von affine Räume. Mit dem Nullstellensatz und den dazugehörigen Ergebnissen ist man in der Lage das geometrische Konzept zu verstehen Vielfalt algebraisch zu beschreiben, sowie die Geometrie Antworten auf Fragen der Ringtheorie.

Formale Definitionen

Algebraische Varietäten können in vier Typen eingeteilt werden:

• affine Vielfalt,
• quasi-affine Sorte,
• projektive Vielfalt,
• quasi-projektive Varietät.

Es gibt auch den allgemeineren Begriff abstrakte algebraische Vielfalt.

Affine Vielfalt

Der Begriff affine Vielfalt verlässt sich auf was a algebraische Menge nämlich die Lösungen eines Systems polynomialer Gleichungen in einer oder mehreren Variablen.

spät ${Anzeigestil K}$ ein algebraisch geschlossenKörper/Feld sein und ${Displaystil A^{n}}$ ein affiner Raum der Dimension ${displaystyle n}$ Über ${Anzeigestil K}$. ein Polynom ${displaystyle f}$ im Ring ${displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ kann verstanden werden als ${Anzeigestil K}$-würdige Funktion an ${Displaystil A^{n}}$. Für jedes endlich erzeugte Ideal ${Anzeigestil S}$ im ${displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ ist ${Anzeigestil Z(S)}$ die Menge der gemeinsamen Nullstellen von ${Anzeigestil S}$:

${displaystyle Z(S)={xin A^{n}mid f(x)=0{mbox{ für alle }}fin S}.}$

Die verschiedenen Teilmengen ${Anzeigestil Z(S)}$ einbiegen in affine algebraische Sätze erwähnt.

Eine nichtleere algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn es nicht als geschrieben werden kann Verband von zwei streng algebraische Teilmengen.

Eine irreduzible affine algebraische Menge wird zu a affine Vielfalt erwähnt. Nicht die gesamte Literatur über algebraische Varietäten verwendet diese Definition; auch wird jede affine algebraische Menge eine affine algebraische Varietät genannt.

Projektive Vielfalt

spät ${Anzeigestil K}$ ein GeschlossenKörper/Feld sein und ${Anzeigestil P^{n}}$ ein projektiver Raum der Dimension ${displaystyle n}$ Über ${Anzeigestil K}$. Für ein homogenes Polynom ${displaystyle f}$ des Grades ${displaystyle d}$ im Ring ${displaystyle K[x_{0},x_{1},ldots ,x_{n}]}$ ist die Bedingung ${displaystyle f(x_{0},x_{,}ldots ,x_{n})=0}$ unabhängig von der gewählten homogene Koordinaten${displaystyle [x_{0}:x_{1}:ldots :x_{n}]}$ von ${Anzeigestil x}$, schon seit

${displaystyle f(lambda x_{0},lambda x_{1},ldots ,lambda x_{n})=lambda ^{d}f(x_{0},x_{1},ldots ,x_{n})}$

Für jede Menge homogener Polynome ${Anzeigestil S}$ im ${displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ ist ${Anzeigestil Z(S)}$ die Menge der gemeinsamen Nullstellen von ${Anzeigestil S}$. Die verschiedenen Teilmengen ${Anzeigestil Z(S)}$ einbiegen in projektive algebraische Mengen erwähnt.

Eine irreduzible projektive algebraische Menge wird zu a projektive Vielfalt erwähnt.

Wenn alle algebraischen Mengen als abgeschlossene Mengen angesehen werden können, werden auch projektive Varietäten mit dem Zariski-Topologie.

Sei, gegeben eine Teilmenge ${Anzeigestil V}$ von ${Anzeigestil P^{n}}$, es Ideal${Anzeigestil I(V)}$ erzeugt durch alle homogenen Polynome, die auf verschwinden ${Anzeigestil V}$. Für eine projektive algebraische Menge ${Anzeigestil V}$ ist der Koordinatenring von ${Anzeigestil V}$ der Quotient von Polynomring nach diesem Ideal.

Beispiele

Affine algebraische Varietät

Beispiel 1

Erwägen ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ als zweidimensionaler affiner Raum über den komplexen Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$ und sie ${Anzeigestil S}$ das ideale in ${displaystyle mathbb {C} [z_{1},z_{2}]}$ von einem einzelnen Element erzeugt:

${displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1} z_{2}-1}$

Die Sammlung ${Anzeigestil Z(S)}$ der Punkte in ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ auf der die Funktion ${displaystyle f}$ (und seine Vielfachen im Ideal) gleich 0 ist, ist die Menge aller Paare komplexer Zahlen ${Anzeigestil (z_{1},z_{2})}$ Wofür ${displaystyle z_{2}=1-z_{1}}$, ein gerade Linie:

${displaystyle Z(S)={(z_{1},1-z_{1})in Mathbb {C} ^{2}}}$

Die Untermenge ${Anzeigestil Z(S)}$ von ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ ist also eine algebraische Menge. ${Anzeigestil Z(S)}$ ist nicht leer und ist irreduzibel, da sie nicht wie die Verband von zwei strengen algebraischen Teilmengen geschrieben werden. ${Anzeigestil Z(S)}$ ist eine affine algebraische Varietät.

Beispiel 2

Lassen Sie das Ideal wie in Beispiel 1 ${Anzeigestil S'}$ im ${displaystyle mathbb {C} [z_{1},z_{2}]}$ hergestellt werden von

${displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}^{2} z_{2}^{2}-1}$

Die Kollektion ${Anzeigestil Z(S')}$ der Punkte in ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ auf der die Funktion ${displaystyle g}$ (und seine Vielfachen im Idealfall) gleich 0 ist, ist die Menge aller Paare komplexer Zahlen ${Anzeigestil (z_{1},z_{2})}$ Wofür ${displaystyle z_{1}^{2} z_{2}^{2}=1}$, ein Kreis:

${displaystyle Z(S')={(z_{1},z_{2})in mathbb {C} ^{2}mid z_{1}^{2} z_{2}^{2}=1}}$

Die Untermenge ${Anzeigestil Z(S')}$ von ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ ist also eine algebraische Menge. ${Anzeigestil Z(S')}$ ist nicht leer und ist irreduzibel, da sie nicht wie die Verband von zwei strengen algebraischen Teilmengen geschrieben werden. ${Anzeigestil Z(S')}$ ist eine affine algebraische Varietät.

Diskussion und Verallgemeinerungen

Die obigen Definitionen und Fakten ermöglichen das Verständnis des Klassikers algebraische Geometrie Geschäfte zu machen. Um jedoch mehr tun zu können - zum Beispiel mit Sorten über Körper/Felder zu arbeiten, die nicht algebraisch geschlossen to go – einige grundlegende Änderungen sind erforderlich. Der heutige Sortenbegriff ist viel abstrakter formuliert als oben, obwohl er bei Sorten über algebraisch abgeschlossenen Feldern/Feldern gleichwertig ist. EIN abstrakte algebraische Vielfalt ist eine Sonderform von a planen; die Verallgemeinerung auf Schemata erlaubt auf geometrischer Seite eine Erweiterung der oben beschriebenen Korrespondenz auf eine breitere Klasse von Ringen.

Einige moderne Forscher lassen auch die Einschränkung fallen, die eine Sorte nicht hat Integritätsdomäne affine Karte, und wenn sie von einer Sorte sprechen, meinen sie, dass die affinen Karten eine triviale Bedeutung haben null radikal haben.

EIN volle Vielfalt ist eine Varietät, so dass jede Abbildung einer offenen Teilmenge eines Nicht-Singulars Kurve allein, kann eindeutig auf die gesamte Kurve ausgedehnt werden. Jede projektive Varietät ist vollständig, aber nicht umgekehrt: nicht jede vollständige Varietät ist projektiv.

Diese Sorten werden auch 'Sorten im Sinne von Serre' genannt, weil Gewächshäuser grundlegender FAC-Artikel über Garben-Kohomologie wurde für diese Sorten geschrieben. Sie bleiben typische Untersuchungsobjekte in der algebraischen Geometrie, auch wenn allgemeinere Objekte auch unterstützend verwendet werden.