WikiDer > Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Spectral theory of ordinary differential equations

В математика, то спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений является частью спектральная теория озабочены определением спектр и разложение по собственным функциям связанный с линейным обыкновенное дифференциальное уравнение. В его диссертации Герман Вейль обобщил классический Теория Штурма – Лиувилля на конечном закрытый интервал ко второму порядку дифференциальные операторы с особенностями на концах интервала, возможно полубесконечного или бесконечного. В отличие от классического случая, спектр может больше не состоять только из счетного набора собственных значений, но может также содержать непрерывную часть. В этом случае в разложение по собственным функциям входит интеграл по непрерывной части по спектральная мера, предоставленный ТитчмаршКодаира формула. В окончательном упрощенном виде теория была приведена для сингулярных дифференциальных уравнений четной степени Кодаирой и другими с использованием фон Нейманс спектральная теорема. Он имел важные приложения в квантовая механика, теория операторов и гармонический анализ на полупростые группы Ли.

Вступление

Спектральная теория для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на компактном интервале был разработан Жак Шарль Франсуа Штурм и Джозеф Лиувиль в девятнадцатом веке и теперь известен как Теория Штурма – Лиувилля. На современном языке это приложение спектральная теорема за компактные операторы из-за Дэвид Гильберт. В своей диссертации, опубликованной в 1910 году, Герман Вейль распространил эту теорию на обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка сособенности в конечных точках интервала, теперь может быть бесконечным или полубесконечным. Одновременно он разработал спектральную теорию, адаптированную к этим специальным операторам, и ввел граничные условия с точки зрения его знаменитой дихотомии между предельные точки и ограничить круги.

В 1920-е гг. Джон фон Нейман установил общую спектральную теорему для неограниченный самосопряженные операторы, который Кунихико Кодайра используется для оптимизации метода Вейля. Кодаира также обобщил метод Вейля на сингулярные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка и получил простую формулу для спектральная мера. Эта же формула была независимо получена Э. К. Титчмарш в 1946 г. (научное сообщение между Япония и объединенное Королевство был прерван Вторая Мировая Война). Титчмарш следовал методу немецкого математика Эмиль Хильб, который получил разложения по собственным функциям, используя теория сложных функций вместо того теория операторов. Другие методы, избегающие спектральной теоремы, были позже независимо разработаны Левитаном, Левинсоном и Йошидой, которые использовали тот факт, что противовоспалительное средство сингулярного дифференциального оператора можно аппроксимировать формулой компактный резольвенты, соответствующие Задачи Штурма – Лиувилля. для правильных подинтервалов. Другой метод был найден Марк Григорьевич Крейн; его использование функционалы направления впоследствии был обобщен Израил Глазман к произвольным обыкновенным дифференциальным уравнениям четного порядка.

Вейль применил свою теорию к Карл Фридрих Гауссс гипергеометрическое дифференциальное уравнение, таким образом получая далеко идущее обобщение формулы преобразования Густав Фердинанд Мелер (1881) для Дифференциальное уравнение Лежандра, заново открытый российским физиком Владимир Фок в 1943 году и обычно называли Преобразование Мелера – Фока. Соответствующий обыкновенный дифференциальный оператор представляет собой радиальную часть Оператор лапласа на 2-х мерном гиперболическое пространство. В более общем плане Теорема Планшереля за SL (2, R) из Хариш Чандра и ГельфандНаймарк могут быть выведены из теории Вейля для гипергеометрического уравнения, как и теория сферические функции для группы изометрий гиперболических пространств большой размерности. Позднее развитие Хариш Чандра теоремы Планшереля для общих вещественных полупростые группы Ли на него сильно повлияли методы, разработанные Вейлем для разложений по собственным функциям, связанных с сингулярными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Не менее важно, что теория заложила математические основы для анализа Уравнение Шредингера и матрица рассеяния в квантовая механика.

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Приведение к стандартной форме

Позволять D - дифференциальный оператор второго порядка на (а, б) данный

где п - строго положительная непрерывно дифференцируемая функция и q и р - непрерывные вещественнозначные функции.

За Икс0 в (а, б), определим Преобразование Лиувилля ψ пользователем

Если

это унитарный оператор определяется

тогда

и

Следовательно,

где

и

Срок в грамм' можно удалить с помощью Эйлер интегрирующий фактор. Если S ' /S = −р/ 2, то час = Sgудовлетворяет

где потенциал V дан кем-то

Таким образом, дифференциальный оператор всегда можно привести к одному из видов [1]

Теорема существования

Ниже приводится версия классического Теорема существования Пикара для дифференциальных уравнений второго порядка со значениями в Банахово пространство E.[2]

Пусть α, β - произвольные элементы из E, А а ограниченный оператор на E и q непрерывная функция на [а,б].

Тогда для c = а или б, дифференциальное уравнение

Df = Af

имеет уникальное решение ж в C2([а,б],E) удовлетворяющие начальным условиям

ж(c) = β, ж '(c) = α.

Фактически решение дифференциального уравнения с этими начальными условиями эквивалентно решению интегральное уравнение

ж = час + Т ж

с Т ограниченное линейное отображение на C([а,б], E) определяется

где K это Ядро Вольтерры

K(Икс,т)= (Икст)(q(т) − А)

и

час(Икс) = α (Иксc) + β.

Поскольку ||Тk|| стремится к 0, это интегральное уравнение имеет единственное решение, которое задается Серия Неймана

ж = (яТ)−1 час = час + Т час + Т2 час + Т3 час + ···

Эту итеративную схему часто называют Итерация Пикарда после французского математика Шарль Эмиль Пикар.

Основные собственные функции

Если ж дважды непрерывно дифференцируема (т. е. C2) на (а, б) удовлетворение Df = λж, тогда ж называется собственная функция из L с собственное значение λ.

  • В случае компактного интервала [а, б] и q непрерывно на [а, б] из теоремы существования следует, что для c = а или б и каждому комплексному числу λ соответствует единственное C2 собственная функция жλ на [а, б] с участием жλ(c) и ж 'λ(c) предписано. Причем для каждого Икс в [а, б], жλ(x) и ж 'λ(x) являются голоморфные функции из λ.
  • Для произвольного интервала (а,б) и q непрерывно на (а, б) из теоремы существования следует, что для c в (а, б) и каждому комплексному числу λ соответствует единственное C2 собственная функция жλ на (а, б) с жλ(c) и ж 'λ(c) предписано. Причем для каждого Икс в (а, б), жλ(x) и ж 'λ(x) являются голоморфные функции из λ.

Формула Грина

Если ж и грамм находятся C2 функции на (а, б), Вронскиан W(ж, грамм) определяется

W(ж, грамм) (х) = ж(Икс) грамм '(Икс) − ж '(Икс) грамм(Икс).

Формула Грина - который в этом одномерном случае представляет собой простое интегрирование по частям - утверждает, что для Икс, у в (а, б)

Когда q непрерывно и ж, грамм C2 на компактном интервале [а, б], эта формула верна и для Икс = а или у = б.

Когда ж и грамм являются собственными функциями для одного и того же собственного значения, то

так что W(ж, грамм) не зависит от Икс.

Классическая теория Штурма – Лиувилля.

Позволять [а, б] - конечный отрезок, q действительнозначная непрерывная функция на [а, б] и разреши ЧАС0 - пространство C2 функции ж на [а, б] удовлетворение Граничные условия Робина

с внутренний продукт

На практике обычно одно из двух стандартных граничных условий:

накладывается на каждую конечную точку c = а, б.

Дифференциальный оператор D данный

действует на ЧАС0. Функция ж в ЧАС0 называется собственная функция из D (для указанного выше выбора граничных значений), если Df = λ ж для некоторого комплексного числа λ соответствующие собственное значение.По формуле Грина D формально самосопряженный на ЧАС0, поскольку вронскиан W (ж, г) исчезает, если оба f, g удовлетворяют граничным условиям:

(Df, грамм) = (ж, Dg) за ж, грамм в ЧАС0.

Как следствие, точно так же, как и для самосопряженная матрица в конечных размерах,

Оказывается, собственные значения можно описать максимум-минимум принцип РэлейРитц [3] (см. ниже). На самом деле легко увидеть априори что собственные значения ограничены снизу, поскольку оператор D сам по себе ограниченный снизу на ЧАС0:

  • для некоторой конечной (возможно, отрицательной) постоянной .

Фактически интегрируя по частям

Для граничных условий Дирихле или Неймана первое слагаемое обращается в нуль и неравенство выполняется с M = inf q.

Для общих граничных условий Робина первое слагаемое можно оценить с помощью элементарного Петр-Поль версия Неравенство Соболева:

"Для ε> 0 существует постоянная R> 0 такая, что | f (x) |2 ≤ ε (f ', f') + R (f, f) для всех f в C1[а, б]."

Фактически, поскольку

|ж(б) − ж(Икс)| ≤ (ба)½·||ж '||2,

только оценка ж(б) требуется, и это следует путем замены ж(Икс) в указанном неравенстве на (Икса)п·(ба)п·ж(Икс) за п достаточно большой.

Функция Грина (обычный случай)

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют единственные фундаментальные собственные функции φλ(х), χλ(x) такой, что

  • D φλ = λ φλ, φλ(а) = sin α, φλ'(а) = cos α
  • D χλ = λ χλ, χλ(б) = sin β, χλ'(б) = cos β

которые в каждой точке вместе со своими первыми производными голоморфно зависят от λ. Позволять

ω (λ) = W (φλ, χλ),

ан целая голоморфная функция.

Эта функция ω (λ) играет роль характеристический многочлен из D. Действительно, единственность фундаментальных собственных функций означает, что их нули являются в точности собственными значениями D и что каждое ненулевое собственное подпространство одномерно. В частности, существует не более чем счетное число собственных значений D и, если их бесконечно много, они должны стремиться к бесконечности. Оказывается, нули ω (λ) также имеют кратность единицу (см. Ниже).

Если λ не является собственным значением D на ЧАС0определить Функция Грина к

гλ(Икс,у) = φλ (Икс) χλ(у) / ω (λ) для Иксу и χλ(Икс) φλ (у) / ω (λ) для уИкс.

Это ядро ​​определяет оператор на внутреннем пространстве продукта C [а,б] через

С гλ(Икс,у) непрерывна на [а, б] Икс [а, б], он определяет Оператор Гильберта – Шмидта о пополнении гильбертова пространстваЧАС из C [а, б] = ЧАС1 (или, что то же самое, плотного подпространства ЧАС0), принимая значения в ЧАС1. Этот оператор несет ЧАС1 в ЧАС0. Когда λ реально, гλ(Икс,у) = гλ(у,Икс) также действительна, поэтому определяет самосопряженный оператор на ЧАС. Более того,

  • гλ (D - λ) = I на ЧАС0
  • гλ несет ЧАС1 в ЧАС0, и (D - λ) гλ = Я на ЧАС1.

Таким образом, оператор гλ можно отождествить с противовоспалительное средство (D - λ)−1.

Спектральная теорема

Теорема. Собственные числа оператора D вещественны с кратностью один и образуют возрастающую последовательность λ12 <··· стремящиеся к бесконечности.

Соответствующие нормированные собственные функции образуют ортонормированный базис ЧАС0.

K-е собственное значение D задается принцип минимакса

В частности, если q1 ≤ q2, тогда

На самом деле пусть Т = гλ для больших и отрицательных λ. потом Т определяет компактный самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве ЧАС.Посредством спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов, ЧАС имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов ψп из Т сТψп = μп ψп, где μп стремится к нулю. Диапазон Т содержит ЧАС0 так плотно. Следовательно, 0 не является собственным значением Т. Резольвентные свойства Т следует, что ψп лежит в ЧАС0 и это

D ψп = (λ + 1 / μп) ψп

Принцип минимакса следует потому, что если

тогда λ (г) = λk для линейный пролет из первых k - 1 собственная функция. Для любого другого (k - 1) -мерное подпространство г, немного ж в линейной оболочке первого k собственные векторы должны быть ортогональны г. Следовательно, λ (г) ≤ (Df,ж)/(ж,ж) ≤ λk.

Вронскиан как определитель Фредгольма

Для простоты предположим, что мq(Икс) ≤ M на [0, π] с граничными условиями Дирихле. Принцип минимакса показывает, что

Отсюда следует, что резольвента (D - λ)−1 это оператор класса трассировки если λ не является собственным значением D и, следовательно, Определитель Фредгольмаdet I - μ (D - λ)−1 определено.

Из граничных условий Дирихле следует, что

ω (λ) = φλ(б).

Используя итерацию Пикара, Титчмарш показал, что φλ(б), а значит, ω (λ) является целая функция конечного порядка 1/2:

ω (λ) = O (e|λ|)

В нуле μ функции ω (λ) φμ(б) = 0. Кроме того,

удовлетворяет (D - μ) ψ = φμ. Таким образом

ω (λ) = (λ - μ) ψ (б) + O ((λ - μ)2).

Отсюда следует, что[4]

  • μ - простой нуль функции ω (λ).

В противном случае ψ (б) = 0, так что ψ должна лежать в ЧАС0.Но потом

μ, φμ) = ((D - μ) ψ, φμ) = (ψ, (D - μ) φμ) = 0,

противоречие.

С другой стороны, распределение нулей целой функции ω (λ) уже известно из принципа минимакса.

Посредством Теорема факторизации Адамара, следует, что[5]

для некоторой ненулевой константы C.

Следовательно

В частности, если 0 не является собственным значением D

Инструменты абстрактной спектральной теории

Функции ограниченной вариации

Функция ρ (Икс) из ограниченная вариация[6] на закрытом интервале [а, б] - комплексная функция такая, что ее полное изменение V(ρ), супремумвариаций

в общем и целом рассечения

конечно. Действительная и мнимая части ρ являются действительными функциями ограниченной вариации. Если ρ вещественнозначен и нормирован так, что ρ (a) = 0, он имеет каноническое разложение как разность двух ограниченных неубывающих функций:

где ρ+(Икс) и ρ(Икс) - полная положительная и отрицательная вариация ρ на [а, Икс].

Если ж является непрерывной функцией на [а, б] это Интеграл Римана – Стилтьеса. относительно ρ

определяется как предел аппроксимирующих сумм

как сетка рассечения, полученного sup |Икср+1 - Икср| стремится к нулю.

Этот интеграл удовлетворяет

и таким образом определяет ограниченный линейный функционал dρ на C[а, б] с участием норма || dρ || =V(ρ).

Каждый линейный ограниченный функционал μ на C[а, б] имеет абсолютная величина | μ | определен для неотрицательных ж к[7]

Форма | μ | линейно продолжается до ограниченной линейной формы на C [а, б] с нормой || μ || и удовлетворяет характеризующему неравенству

| μ (ж) | ≤ | μ | (|ж|)

за ж в C [а, б]. Если μ равно настоящий, т.е. является действительным знаком на действительных функциях, то

дает каноническое разложение как разность положительный формы, то есть формы, которые неотрицательны на неотрицательных функциях.

Каждая положительная форма μ однозначно продолжается до линейной оболочки неотрицательных ограниченных снизу полунепрерывные функции грамм по формуле[8]

где неотрицательные непрерывные функции жп увеличивать поточечно до грамм.

Следовательно, то же самое относится к произвольной ограниченной линейной форме μ, так что функция ρ ограниченной вариации может быть определена как[9]

где χА обозначает характеристическая функция подмножества А из [а, б]. Таким образом, μ = dρ и || μ || = ||dρ ||, причем μ+ = dρ+ и μ = dρ.

Это соответствие между функциями ограниченной вариации и ограниченными линейными формами является частным случаем Теорема Рисса о представлении.

В поддержка из μ = dρ - дополнение всех точек Икс в [а,б] где ρ постоянно в некоторой окрестности точки Икс; по определению это замкнутое подмножество А из [а,б]. Кроме того, μ ((1-χА)ж) = 0, так что μ (ж) = 0, если ж исчезает на А.

Спектральная мера

Позволять ЧАС - гильбертово пространство и самосопряженный ограниченный оператор на ЧАС с , таким образом спектр из содержится в . Если - комплексный многочлен, то по теорема о спектральном отображении

и, следовательно

где обозначает единая норма на . Посредством Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, многочлены равномерно плотны в . Это следует из того можно определить , с участием

и .

Если является полунепрерывной снизу функцией на , например характеристическая функция подынтервала , тогда - поточечный возрастающий предел неотрицательного .

Согласно с Szkefalvi-Nagy,[10] если вектор в ЧАС, то векторы

сформировать Последовательность Коши в ЧАС, поскольку для ,

и ограничен и возрастает, поэтому имеет предел.

Это следует из того можно определить как[11]

.

Если и векторы в ЧАС, тогда

определяет ограниченную линейную форму на ЧАС. По теореме Рисса о представлении

для уникальной нормализованной функции ограниченной вариации на .

(а иногда немного неправильно сам) называется спектральная мераопределяется по и .

Оператор соответственно однозначно характеризуется уравнением

В спектральная проекция определяется

так что

Это следует из того

что понимается в том смысле, что для любых векторов и ,

Для одного вектора положительная форма на (другими словами, пропорционально вероятностная мера на ) и неотрицательна и неубывающая. Поляризация показывает, что все формы естественно выразить в терминах таких положительных форм, поскольку

Если вектор такова, что линейный пролет векторов плотно в ЧАС, т.е. это циклический вектор за, то карта определяется

удовлетворяет

Позволять обозначают пополнение гильбертова пространства связанный с возможным вырожденный внутренний продукт с правой стороны.[12] Таким образом распространяется на унитарное преобразование из на ЧАС. тогда просто умножение на на ; и вообще это умножение на . В этом случае поддержка точно , так что

  • самосопряженный оператор становится оператором умножения на пространстве функций на его спектре со скалярным произведением, заданным спектральной мерой.

Теория Вейля – Титчмарша – Кодаира

Разложение по собственным функциям, связанное с сингулярными дифференциальными операторами вида

на открытом интервале (а, б) требует первоначального анализа поведения основных собственных функций вблизи конечных точек а и б определить возможные граничные условия Там. В отличие от обычного случая Штурма – Лиувилля, в некоторых случаях спектральные значения из D могу иметь множественность 2. При разработке, описанной ниже, стандартные предположения будут налагаться на п и q которые гарантируют, что спектрD всюду имеет кратность единицу и ограничен снизу. Сюда входят почти все важные приложения; модификации, необходимые для более общего случая, будут рассмотрены позже.

Выбрав граничные условия, как в классической теории резольвента D, (D + р )−1 за р большой и положительный, задается оператором Т соответствующее функции Грина, построенной из двух фундаментальных собственных функций. В классическом случае Т был компактным самосопряженным оператором; в этом случае Т является самосопряженным ограниченным оператором с 0 ≤ Т ≤ I. Абстрактная теория спектральной меры поэтому может быть применена к Т дать разложение по собственным функциям для D.

Центральную идею доказательства Вейля и Кодаиры можно неформально объяснить следующим образом. Предположим, что спектр D лежит в [1, ∞) и что Т =D−1 и разреши

- спектральная проекция D соответствующий интервалу [1, λ]. Для произвольной функции ж определить

ж(Икс, λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ограниченной вариации ρ; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на C [α, β], если [α, β] - компактный подынтервал в [1, ∞).

Основное наблюдение Вейля заключалось в том, что dλ ж удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, принимающему значения в E:

После наложения начальных условий на первые две производные в фиксированной точке c, это уравнение может быть решено явно в терминах двух основных собственных функций и функционалов "начального значения"

Теперь эту точку зрения можно перевернуть с ног на голову: ж(c, λ) и жИкс(c, λ) можно записать как

где ξ1(λ) и ξ2(λ) задаются исключительно в терминах основных собственных функций. Функции ограниченной вариации

определить спектральную меру на спектре D и может быть вычислен в явном виде из поведения основных собственных функций (формула Титчмарша – Кодаира).

Предельная окружность и предельная точка для сингулярных уравнений

Позволять q(Икс) - непрерывная вещественнозначная функция на (0, ∞) и пусть D - дифференциальный оператор второго порядка

на (0, ∞). Зафиксируйте точку c в (0, ∞) и для комплекса λ пусть быть уникальным основные собственные функции из D на (0, ∞) такая, что

вместе с начальными условиями при c

Тогда их вронскиан удовлетворяет

поскольку он постоянен и равен 1 при c.

Пусть λ невещественно и 0 < Икс <∞. Если комплексное число таково, что удовлетворяет граничному условию для некоторых (или, что то же самое, действительна), то, используя интегрирование по частям, получаем

Следовательно, набор удовлетворяющее этому уравнению, не пусто. Этот набор представляет собой круг в комплексе -самолет. Точки в его интерьере характерны

если Икс > c и по

если Икс < c.

Позволять DИкс - замкнутый диск, обведенный кружком. По определению эти закрытые диски вложены друг в друга и уменьшаются как Икс стремится к 0 или ∞. Итак, в пределе кружки обращаются либо к ограничить круг или предельная точка на каждом конце. Если является предельной точкой или точкой на предельной окружности в точках 0 или ∞, то является квадратично интегрируемый (L2) вблизи 0 или ∞, так как лежит в DИкс для всех х> с (в случае ∞) и поэтому ограничен независимо от Икс. Особенно:[13]

  • всегда существуют ненулевые решения уравнения Df = λf, интегрируемые с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞;
  • в случае предельной окружности все решения Df = λf квадратично интегрируемы вблизи 0 соответственно. ∞.

Радиус диска DИкс можно рассчитать, чтобы быть

откуда следует, что в случае предельной точки не может быть квадратично интегрируемым около 0, соответственно. ∞. Следовательно, мы имеем обратное ко второму утверждению выше:

  • в случае предельной точки существует ровно одно ненулевое решение (с точностью до скалярных кратных) уравнения Df = λf, которое интегрируем с квадратом вблизи 0 соответственно ∞.

С другой стороны, если Dg = λ ' грамм для другого значения λ ', то

удовлетворяет Dh = λчас, так что

Эта формула также может быть получена непосредственно вариацией метода констант из (D-λ) g = (λ'-λ) g. Используя ее для оценки грамм, следует, что[13]

  • поведение предельной точки / предельной окружности в 0 или ∞ не зависит от выбора λ.

В более общем плане, если Dg= (λ - р) грамм для какой-то функции р(Икс), тогда[14]

Из этого следует, что[14]

  • если r непрерывно в 0, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в 0 именно тогда, когда D,

так что в частности[15]

  • если q (x) - a / x2 непрерывна в 0, то D является предельной точкой в ​​0 тогда и только тогда, когда a ≥ ¾.

по аналогии

  • если r имеет конечный предел в ∞, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в ∞ именно тогда, когда D является,

так что в частности[16]

  • если q имеет конечный предел в ∞, то D - предельная точка в ∞.

В математической литературе можно найти множество более сложных критериев для определения предельной точки или предельного круга.

Функция Грина (особый случай)

Рассмотрим дифференциальный оператор

на (0, ∞) с q0 положительные и непрерывные на (0, ∞) и п0 непрерывно дифференцируемые в [0, ∞), положительные в (0, ∞) и п0(0)=0.

Кроме того, предположим, что после приведения к стандартному видуD0 становится эквивалентным оператором

на (0, ∞), где q имеет конечный предел на ∞. Таким образом

  • D - предельная точка на ∞.

При 0, D может быть либо предельной окружностью, либо предельной точкой. В любом случае существует собственная функция Φ0 с DΦ0= 0 и Φ0 квадратично интегрируема вблизи 0. В случае предельной окружности Φ0 определяет граничное условие при 0:

Для комплекса λ пусть Φλ и Χλ удовлетворить

  • (D - λ) Φλ = 0, (D - λ) Χλ = 0
  • Χλ квадратично интегрируемый около бесконечности
  • Φλ квадратично интегрируем в 0, если 0 предельная точка
  • Φλ удовлетворяет граничному условию выше, если 0 равно ограничить круг.

Позволять

константа, которая обращается в нуль именно тогда, когда Φλ и Χλ пропорциональны, т.е. λ собственное значение из D для этих граничных условий.

С другой стороны, этого не может произойти, если Im λ ≠ 0 или если λ отрицательно.[13]

Действительно, если D f= λж с q0 - λ ≥ δ> 0, то по формуле Грина (Df,ж) = (ж,Df), поскольку W(ж,ж*) постоянна. Значит, λ должно быть реальным. Если ж считается действительным в D0 реализация, то при 0 < Икс < у

С п0(0) = 0 и ж интегрируем около 0, п0ж ж 'должен исчезнуть в 0. Установка Икс = 0, то ж(у) ж '(у)> 0, так что ж2 возрастает, что противоречит квадратичной интегрируемости ж около ∞.

Таким образом, добавляя положительный скаляр к q, можно предположить, что

ω (λ) ≠ 0, когда λ не принадлежит [1, ∞).

Если ω (λ) ≠ 0, то Функция Грина гλ(Икс,у) в точке λ определяется равенством

и не зависит от выбора λ и Χλ.

В примерах будет третья «плохая» собственная функция Ψλ определен и голоморфен для λ, не принадлежащего [1, ∞), таких что Ψλ не удовлетворяет граничным условиям ни в 0, ни в ∞. Это означает, что для λ не из [1, ∞)

  • Wλ, Ψλ) никуда не денется;
  • Wλ, Ψλ) никуда не денется.

В этом случае Χλ пропорциональна Φλ + м(λ) Ψλ, где

  • м(λ) = - Wλ, Χλ) / Wλ, Χλ).

Позволять ЧАС1 - пространство квадратично интегрируемых непрерывных функций на (0, ∞) и пусть ЧАС0 быть

  • пространство C2 функции ж на (0, ∞) из компактная опора если D предельная точка в 0
  • пространство C2 функции ж на (0, ∞) с W(ж, Φ0) = 0 в 0 и с ж = 0 вблизи ∞, если D предельный круг в 0.

Определить Т = г0 к

потом Т D = я на ЧАС0, D Т = я на ЧАС1 и оператор D ограничена снизу на ЧАС0:

Таким образом Т - самосопряженный ограниченный оператор с 0 ≤ Тя.

Формально Т = D−1. Соответствующие операторы гλ определенное для λ не в [1, ∞), можно формально отождествить с

и удовлетворить гλ (D - λ) = я на ЧАС0, (D - λ)гλ = я на ЧАС1.

Спектральная теорема и формула Титчмарша – Кодаира

Теорема.[13][17][18] Для каждого действительного числа λ пусть ρ (λ) определяется соотношением Формула Титчмарша – Кодаира:

Тогда ρ (λ) - полунепрерывная снизу неубывающая функция от λ и если

то U определяет унитарное преобразование L2(0, ∞) на L2([1, ∞), dρ) такие, чтоУДУ−1 соответствует умножению на λ.

Обратное преобразование U−1 дан кем-то

Спектр D равен носителю dρ.

Кодаира представила обтекаемую версию[19][20] оригинального доказательства Вейля.[13] (M.H. Камень ранее показал[21] как часть работы Вейля можно упростить с помощью спектральной теоремы фон Неймана.)

Фактически для Т =D−1 с 0 ≤ Тя, спектральная проекция E(λ) из Т определяется

Это также спектральная проекция D соответствующий интервалу [1, λ].

За ж в ЧАС1 определить

ж(Икс, λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ρ ограниченной вариации; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на C [α, β] для любого компактного подынтервала [α, β] в [1, ∞).

Функционалы (или меры) dλ ж(Икс) удовлетворяет следующему E-значное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

с начальными условиями при c в (0, ∞)

Если φλ и χλ специальные собственные функции, адаптированные к c, тогда

Более того,

где

с

(Как следует из обозначений, ξλ(0) и ξλ(1) не зависят от выбора z.)

Настройка

это следует из того

С другой стороны, есть голоморфные функцииа(λ), б(λ) такая, что

  • φλ + а(λ) χλ пропорциональна Φλ;
  • φλ + б(λ) χλ пропорционально Χλ.

С Wλ, χλ) = 1, функция Грина задается выражением

Прямой расчет[22] показывает, что

где так называемый матрица характеристик Mij(z) дан кем-то

Следовательно

что сразу подразумевает

(Это частный случай «Формула обращения Стилтьеса».)

Установка ψλ(0)= φλ и ψλ(1)= χλ, следует, что

Это тождество эквивалентно спектральной теореме и формуле Титчмарша – Кодаира.

Приложение к гипергеометрическому уравнению

В Преобразование Мелера – Фока[23][24][25] касается разложения по собственным функциям, связанным с Дифференциальный оператор Лежандра D

на (1, ∞). Собственные функции - это Функции Лежандра[26]

с собственным значением λ ≥ 0. Два преобразования Мелера – Фока:[27]

и

(Часто это записывают в терминах переменной τ = λ.)

Мелер и Фок изучали этот дифференциальный оператор, потому что он возник как радиальная компонента лапласиана на двумерном гиперболическом пространстве. В более общем смысле,[28] рассмотрите группу г = СУ (1,1) состоящий из сложных матриц вида

с определителем | α |2 - | β |2 = 1.

Приложение к атому водорода

Обобщения и альтернативные подходы

Функция Вейля может быть определена на особом конце породив особый вариант теории Вейля – Титчмарша – Кодаира.[29] это относится, например, к случаю радиальных операторов Шредингера

Всю теорию также можно распространить на случай, когда коэффициенты могут быть мерами.[30]

Теория Гельфанда – Левитана

Примечания

  1. ^ Титчмарш 1962, п. 22
  2. ^ Дьедонне 1969, Глава X.
  3. ^ Курант и Гильберт 1989
  4. ^ Титчмарш 1962
  5. ^ Титчмарш, E.C. (1939), Теория функций, Oxford University Press, §8.2.
  6. ^ Буркилл, Дж. К. (1951), Интеграл Лебега, Кембриджские трактаты по математике и математической физике, 40, Cambridge University Press, стр. 50–52, ISBN 978-0-521-04382-3
  7. ^ Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, ван Ностранд, стр. 40.
  8. ^ Лумис 1953, стр. 30–31
  9. ^ Колмогоров, А.Н .; Фомин, С.В. (1975), Вводный реальный анализ, Довер, стр.374–376, ISBN 978-0-486-61226-3
  10. ^ Рис и Сёкефальви-Надь 1990, п. 263
  11. ^ Это предел в сильная операторная топология.
  12. ^ А добросовестный внутренний продукт определяется на частном подпространстве нулевых функций , то есть с . В качестве альтернативы в этом случае поддержка меры , поэтому правая часть определяет (невырожденное) скалярное произведение на .
  13. ^ а б c d е Вейль 1910
  14. ^ а б Беллман 1969, п. 116
  15. ^ Рид и Саймон 1975, п. 159
  16. ^ Рид и Саймон 1975, п. 154
  17. ^ Титчмарш 1946, Глава III.
  18. ^ Кодаира 1949, стр. 935–936
  19. ^ Кодаира 1949, стр. 929–932; пропущенные детали см. Кодаира 1950, стр. 529–536
  20. ^ Дьедонне 1988
  21. ^ Камень 1932, Глава X.
  22. ^ Кодаира 1950, стр. 534–535
  23. ^ Mehler, F.G. (1881), "Ueber mit der Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsverteilung", Mathematische Annalen, 18 (2): 161–194, Дои:10.1007 / BF01445847
  24. ^ Фок, В.А. (1943), «О представлении произвольной функции интегралом, включающим функции Лежандра с комплексным индексом», C. R. Acad. Sci. URSS, 39: 253–256
  25. ^ Виленкин 1968
  26. ^ Террас, Одри (1984), «Неевклидов гармонический анализ, центральная предельная теорема и длинные линии передачи со случайными неоднородностями», J. Multivariate Anal., 15 (2): 261–276, Дои:10.1016 / 0047-259X (84) 90031-9
  27. ^ Лебедев, Н. (1972), Специальные функции и их применение, Дувр, ISBN 978-0-486-60624-8
  28. ^ Виленкин 1968, Глава VI.
  29. ^ Костенко Алексей; Сахнович Александр; Тешл, Джеральд (2012), "Теория Вейля – Титчмарша для операторов Шредингера с сильно сингулярными потенциалами", Уведомления о Int Math Res, 2012: 1699–1747, arXiv:1007.0136, Дои:10.1093 / imrn / rnr065
  30. ^ Экхардт, Джонатан; Тешл, Джеральд (2013), «Операторы Штурма – Лиувилля с мерозначными коэффициентами», J. d'Analyse Math., 120: 151–224, arXiv:1105.3755, Дои:10.1007 / s11854-013-0018-х

Рекомендации