WikiDer > Banach Algebra

In dem Funktionsanalyse, eine Filiale der Mathematik, ist ein Banach-Algebra ein Komplex Banach-Raum wobei eine geeignete "Zusammensetzung" oder "Multiplikation" von Vektoren definiert ist.

Definition

EIN Banach-Algebra ist eine Struktur bestehend aus einem Banachraum ${Anzeigestil B}$ und eine Bearbeitung ${Anzeigestil *}$ die des Basiswertes Vektorraum ein assoziativAlgebra mit Einheitselement (neutrales Element) und die mit dem . kompatibel ist Norm:

${displaystyle forall x,yin B:|x*y|leq left|xight|left|yight|}$

Beispiele

Die Definition ist von der Kollektion inspiriert ${Anzeigestil L(B)}$ aller beschränkt (=kontinuierlich) lineare Transformationen eines Banachraums ${Anzeigestil B}$. Diese Sammlung ist kanonisch ein Vektorraum über dem gleichen Zahlenkörper wie ${Anzeigestil B}$, und wird als Norm

${displaystyle |T|=sup links{left|Txight||xin B,left|xight|=1ight}}$

Dieses normierter Vektorraum ist völlig, So ${Anzeigestil L(B)}$ ist auch ein Banach-Raum. Die Komposition linearer Transformationen macht sie zu einer Banach-Algebra. Das Einheitselement ist das identische Transformation${displaystyle xmapsto x}$.

Im Sonderfall ${displaystyle B=mathbb {C} ^{n}}$ ist ${Anzeigestil L(B)}$ die Algebra des Komplexes ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen.

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der Raum aller stetig beschränkten komplexwertigen Funktionen auf a topologischer Raum${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$. Dies bildet einen Banach-Raum für die höchste norm

${displaystyle left|fight|_{infty}=sup left{left|f(x)ight||xin Xight}}$

Die Punktmultiplikation von Funktionen macht einen er kommutativ Banach-Algebra von . Das Einheitselement ist das konstante Funktion${displaystyle xmapsto 1}$.

Normalerweise verlangt man, dass der topologische Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$kompakt ist. Die Bedingung "eingeschränkt" ist dann eine Folge von "kontinuierlich". Im besonderen Fall, dass ${Anzeigestil X}$ besteht aus endlich vielen Punkten mit der diskreten Topologie, es entsteht die Banach-Algebra ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ mit Koordinatenmultiplikation.

Das Banach-Zimmer ${displaystyle L^{1}(mathbb {R} )}$ komplexwertiger integrierbarer Funktionen auf den reellen Zahlen (siehe LP-Raum), ausgestattet mit dem Faltungsprodukt

${displaystyle (f*g)(x)=int _{-infty}^{infty}f(t)g(x-t),mathrm {d} t}$

erfüllt alle Bedingungen einer Banach-Algebra, außer dass kein Einheitselement existiert. Es gibt jedoch einen technischen Trick, um ${Displaystil L^{1}}$ künstliches Hinzufügen eines eindimensionalen Raums mit einem Einheitselement, zum Beispiel in Form des Dirac-Größe.

Spektrum

Es Spektrum eines Vektors ${Anzeigestil x}$ ist die Menge der komplexen Zahlen ${ Anzeigestil Lambda }$ Wofür ${displaystyle (x-lambda)}$ Nein inverses Element hat relativ zur Multiplikation von Vektoren.

Beispiele

In der kommutativen Banachalgebra stetiger Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum besteht das Spektrum einer Funktion aus seiner Wertebereichrannte(${displaystyle f}$).

In der Banach-Algebra des Komplexes ${Anzeigestil n imes n}$-matrizen Das Spektrum einer Matrix ist die Menge ihrer Eigenwerte.

Funktionalrechnung in Banach-Algebren

Die Existenz einer Multiplikation von Vektoren macht es möglich Potenzreihe studieren. Auf diese Weise gelangt man zum Begriff a holomorph vektorwertige Funktion. Insbesondere ist es sinnvoll, von der Exponentialfunktion aus einer Banach-Algebra:

${displaystyle exp(x)=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} über n!}}$

Hier ist mit ${Displaystil x^{n}}$ das Produkt von ${displaystyle n}$ Faktoren ${Anzeigestil x}$ beabsichtigt. Die Reihe konvergiert in der Norm der Banachalgebra für jeden Vektor ${Anzeigestil x}$.

Die Identität ${Anzeigestil exp(x y)=exp(x)*exp(y)}$ ist jedoch nur gewährleistet, wenn ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$pendeln, d.h.:

${Anzeigestil x*y=y*x}$

Im Allgemeinen kann man eine Bedeutung zuordnen ${Anzeigestil phi(x)}$ für jede komplexe Funktion ${Anzeigestil phi}$ die auf a holomorph ist offene Umgebung des Spektrums von ${Anzeigestil x}$. Dies ist ein Beispiel für a Funktionsrechnung: Erweiterung der Definition einer Zahlenfunktion auf allgemeinere Objekte, in diesem Fall Vektoren einer Banachalgebra.