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In dem Wahrscheinlichkeit ist der Eintrittszeit von a stochastischer Prozess der zufällige Zeitpunkt, der angibt, ab wann der Prozess Werte in einer bestimmten Menge annimmt.Eintrittszeiten sind unter bestimmten Bedingungen wichtige Beispiele für Stoppzeiten.

Motivierendes Beispiel

Sie ${displaystyle {X_{n}|n=0.1,ldots}}$ ein stochastischer Prozess mit diskreten Zeiten (hier mit den natürlichen Zahlen indiziert), der Werte in den reellen Zahlen annimmt.

Definiere das stochastische VariableNein₀ wenn der Prozess zum ersten Mal den Wert 0 annimmt:

${Displaystil N_{0}=min{nin N|X_{n}=0}}$

Dann rufen sie an Nein₀ die Eintrittszeit des Prozesses im Singleton${Anzeigestil {0}.}$

Formale Definition

Sie

${displaystyle left((Omega ,{mathcal {A}},P),({mathcal {A}}_{t}|tgeq 0),(X_{t}|tgeq 0),(E,{mathcal {E }})acht)}$

ein stochastischer Prozess mit Werten in a Polnischer RaumE.Sie ein jede Untermenge von E.

Das (erste) Eintrittszeit des Prozesses in der Sammlung ein ist definiert durch

${displaystyle T_{A}^{0}=inf{tgeq 0|X_{t}in A}}$

Das Konzept der „Trefferzeit“ hängt eng damit zusammen:

${displaystyle T_{A}=inf{t>0|X_{t}in A}}$

Es wird hiermit vereinbart, dass die infimum einer leeren Menge nicht negativer Zahlen ist gleich ${displaystyle infty .}$

Eigenschaften

wenn ein ein messbare Sammlung ist von der Borelstam${displaystyle {mathcal {E}},}$ dann sind T_ein⁰ und T_einstochastische Variablen relativ zu ${displaystyle ({mathcal {A}}_{t}|tgeq 0).}$

wenn ein ein offene Teilmenge ist von E, und die wege ${displaystyle tmapsto X_{t}}$ Teil des Prozesses sein rechts durchgehend, dann sind T_ein⁰ und T_ein gleich, und diese Variable bildet a Stoppzeit relativ zu ${displaystyle ({mathcal {A}}_{t}|tgeq 0).}$^[1]

Quelle

1. ↑Bauer, Heinz, "Wahrscheinlichkeitstheorie", de Gruyter Studies in Mathematics 23, Walter de Gruyter 1996