WikiDer > Tetration

Nicht zu verwechseln mit Titration

Tetration ist der Operation der wiederholten Potenzierung, wobei das Ergebnis einer Potenzierung immer als Exponent für die nächste verwendet wird, während die Basis immer gleich bleibt. Tetration ist eine arithmetische Operation der vierten Auftrag und kann im Sinne der Exponentiation wie folgt definiert werden:

${displaystyle auparrow uparrow b:={}^{b}a:=left.a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}ight}b=underbrace {auparrow auparrow cdots uparrow a } _{b}}$

Es ist hier geschrieben als ${displaystyle b-1}$ mal Exponentiation mit base ${Anzeigestil a}$, beginnt um ${Anzeigestil a}$, aber es ist gleichwertig ${displaystyle b}$ mal Exponentiation mit base ${Anzeigestil a}$, beginnt um ${Anzeigestil 1}$ (vergleiche die Exponentiation, die wiederholte Multiplikation mit Faktor ${Anzeigestil a}$, beginnt um ${Anzeigestil a}$ oder 1 und Multiplikation, die wiederholte Addition mit Term . ist ${Anzeigestil a}$, beginnt um ${Anzeigestil a}$ oder 0).

Die Notation ${displaystyle auparrow uparrow b}$ ist eine relativ einfache Version des Knuths Aufwärtspfeil-Notation (mit "nur" zwei Pfeilen), während die Notation ${Displaystil {}^{b}a}$ unter dem Titel Ruckers Notation Bei der Rucker-Notation ist darauf zu achten, dass es keine Verwechslungen in Ausdrücken der Form gibt ${Anzeigestil a^{b}c}$. In den meisten Fällen liegt das daran, dass ${displaystyle left(a^{b}ight)ceq aleft({}^{b}cight)}$.

Diese Notation wird in anderen Sprachen auch als die bezeichnet Turm der Mächte oder Turm der Macht erwähnt.

Beispiel

Nach dem Summe, Produkt und Exponentiation ist die tetration die vierte Operation, die diese Reihe fortsetzt. Tetration bezeichnet eine Abfolge von Befugnissen, zum Beispiel:

${Anzeigestil ,! ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{links(2^{links(2^{2}ight)}ight)}=2^{links(2^{ 4}Nacht)}=2^{16}=65.536}$

Tetreting liefert schnell sehr große Zahlen. Hat auch ³5 schon 2185 Stellen und ³8 enthält mehr als 15 Millionen.

Eine besondere tetration

ein besonderes Funktion${displaystyle f:A oder mathbb {R}}$ bildet die folgende Grenze von Tetraden:

${displaystyle f(x)=lim _{n o infty }{^{n}x}}$

Darin ist ${Anzeigestil A}$ das Sammlung von echt Grenzpunkte von ${displaystyle f}$. Schließlich definieren wir die Lambert-W-Funktion${Anzeigestil W(x)}$ impliziert als dieinvers Die Funktion von ${displaystyle wmapto we^{w}}$, so dass ${displaystyle v=wir^{w}leftrightarrow w=W(v)}$.

Ein anderer Ausdruck für f

Wir wollen die Grenze im f jetzt explizit auswerten. Hierzu weisen wir darauf hin, dass

${displaystyle y=lim _{nightarrow infty }{^{n}x}=lim _{nightarrow infty }{^{n 1}x}=x^{y}}$

${displaystyle x={sqrt[{y}]{y}}=y^{frac {1}{y}}}$

${displaystyle log {x}={frac {log {y}}{y}}}$

${displaystyle ylog {x}=-log {frac {1}{y}}}$

${displaystyle e^{-ylog {x}}={frac {1}{y}}}$

${displaystyle -log {x}=-ylog {(x)}e^{-ylog {x}}}$

${displaystyle -ylog {x}=Wlinks(-log {x}ight)}$

${displaystyle y={frac {Wleft(-log {x}ight)}{-log {x}}}}$

Es folgt dem

${displaystyle f:Asubset mathbb {R} ightarrow mathbb {R} :xmapsto -{frac {Wleft(-log {x}ight)}{log {x}}}}$

Die Domain und das Image von f

Zunächst stellen wir fest, dass für ${Anzeigestil x<0}$ das muss nicht sein${displaystyle f(x)in mathbb {R}}$. von ${displaystyle y={sqrt[{x}]{x}}}$ aus dem vorigen Abschnitt folgt, dass die Domain von f ist begrenzt durch die Statue von${displaystyle xmapsto {sqrt[{x}]{x}}}$ unten ${displaystyle mathbb {R} }$. Sie jetzt

${displaystyle g:left[0,infty ight[ightarrow mathbb {R} :xmapsto {sqrt[{x}]{x}}}$

Eine Funktion. Wir wissen jetzt aus dem vorherigen Abschnitt, dass G die Umkehrung vonf ist. Um die Eigenschaften von zu verstehen f um zu finden, reicht es daher aus,G zu untersuchen. Wir bestimmen es zuerst maximal des Bildes vonG zu ein erfassen.

${displaystyle 0={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}{sqrt[{x}]{x}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}e^ {log {sqrt[{x}]{x}}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}e^{frac {log {x}}{x}}={sqrt[{ x}]{x}}links({frac {1}{x^{2}}}-{frac {log {x}}{x^{2}}}ight)=x^{{frac {1} {x}}-2}left(1-log {x}ight)}$

Wir notieren das ${displaystyle g'(0)}$ ist nicht definiert, aber das${displaystyle lim _{xightarrow 0}{g(x)}=0}$ ein Minimum ist auf Kante aus dem Bereich von G. Außerdem weisen wir darauf hin, dass${displaystyle lim _{xightarrow infty }{g(x)}=1}$ und damit${displaystyle lim _{xightarrow infty }{frac {sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}=0}$ auf der Grundlage der Produktreihe. Die einzigen Bedingungen, für die${displaystyle {frac {sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}=0}$ ist das ${displaystyle xightarrow 0}$ oder${displaystyle xightarrow infty }$, aber diese Punkte liegen nicht im Bereich vonG und zählen daher nicht als extreme Werte.

Dies sollte bedeuten, dass wenn G hat einen Extremwert in X, dann ${displaystyle 1-log {x}=0Rechtspfeil x=e}$. G hat ein Maximum bei e. Daraus folgt, dass ${displaystyle g(e)={sqrt[{e}]{e}}}$ und so ist die Domäne von will fwerden gegeben von ${displaystyle A=left]0,{sqrt[{e}]{e}}ight]}$.

Um den Wert von zu erhalten f im ${displaystyle {sqrt[{e}]{e}}}$ um festzustellen, stellen wir fest, dassf und G sind gegenseitig inverse auf dem Gebiet von f. Und das wird auch${displaystyle fleft({sqrt[{e}]{e}}ight)=e}$.

Die Ableitung von f

Um die Ableitung von zu erhalten f Zur Bestimmung verwenden wir den Ausdruck aus dem zweiten Abschnitt.

${Displaystil y=x^{y}}$

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}y={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}x^{y}}$

${displaystyle y'={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}e^{ylog {x}}}$

${displaystyle y'=x^{y}left(y'log {x} {frac {y}{x}}ight)}$

${displaystyle y'left(1-x^{y}log {x}ight)=x^{y}{frac {y}{x}}}$

${displaystyle y'={frac {yx^{y}}{xleft(1-x^{y}log {x}ight)}}}$

${displaystyle f'(x)={frac {f(x)cdot x^{f(x)}}{x-x^{f(x) 1}log {x}}}}$

Die Auswertung dieses letzten Ausdrucks ergibt das

${displaystyle f'(x)={frac {e^{-2Wleft(-log {x}ight)}}{x xWleft(-log {x}ight)}}}$

Das Primitiv von f

Wir werden in diesem Abschnitt versuchen, das Primitiv von zu finden f zu entscheiden. Um dies zu tun, schauen wir uns zuerst den folgenden Plot von genau an fund G.

Wir sehen jetzt, dass die Oberfläche unten f auf ${displaystyle[0,1]}$ kann implizit berechnet werden mit ${displaystyle 1-int _{0}^{1}g(x)mathrm {d} x}$. Im Allgemeinen ist das

${displaystyle forall ain left]0,{sqrt[{e}]{e}}ight]:int _{0}^{a}f(x)mathrm {d} x=af(a)-int _{0 }^{f(a)}g(x)mathrm {d} x}$

${displaystyle forall a$

${displaystyle =af(a)-bf(b)-int _{0}^{f(a)}g(x)mathrm {d} x int _{0}^{f(b)}g(x) Mathe {d} x}$

${displaystyle =af(a)-bf(b) int _{f(a)}^{f(b)}g(x)mathrm {d} x}$

Damit verschieben wir das Problem von Integration zur FunktionG. Das stellt sich auch heraus G können nicht explizit integriert werden, aber wir können Teilintegration auf den nächsten Konvergenten anwenden Taylor-Reihe.

${displaystyle {sqrt[{x}]{x}}=e^{frac {log {x}}{x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {log ^{n}{x }}{x^{n}cdot n!}}}$

Zu diesem Zeitpunkt der Berechnung sollten wir bereits beachten, dass${displaystyle forall nin mathbb {N} :lim _{xdownarrow 0}{frac {log ^{n}{x}}{x}}=-infty }$. Das wird uns bald Probleme bei der Bestimmung bereiten ${displaystyle int _{0}^{1}g(x)mathrm {d} x}$. Vorerst bestimmen wir weiterhin das folgende Integral

${displaystyle int {{frac {log ^{n}{x}}{x^{n}}}mathrm {d} x}={frac {log ^{n}{x}}{(1-n)x ^{n-1}}}-{frac {n}{1-n}}int {{frac {log ^{n-1}{x}}{x^{n}}}mathrm {d} x} }$

${displaystyle int {{frac {log ^{0}x}{x^{n}}}mathrm {d} x}=int {{frac {1}{x^{n}}}mathrm {d} x} ={frak {1}{(1-n)x^{n-1}}}}$

${displaystyle int {{frac {log ^{n}{x}}{x^{n}}}mathrm {d} x}=sum _{k=0}^{n}{{frac {log ^{nk }{x}}{(1-n)x^{n-1}}}cdot {frac {n!}{(nk)!}}cdot {frac {1}{(1-n)^{k} }}}}$

${displaystyle ={frac {n!}{(1-n)}}sum _{k=0}^{n}{frac {log ^{nk}{x}}{(1-n)^{k} cdot x^{n-1}}}}$

Daraus folgt nun

${displaystyle int {{sqrt[{x}]{x}}mathrm {d} x}=int {sum _{n=0}^{infty }{frac {log ^{n}{x}}{x^ {n}cdot n!}}cdot mathrm {d} x}}$

${displaystyle =sum _{n=0}^{infty }{int {frac {log ^{n}{x}}{x^{n}cdot n!}}mathrm {d} x}}$

${displaystyle =sum _{n=0}^{infty }{{frac {1}{n!}}cdot {frac {n!}{(1-n)}}sum _{k=0}^{n }{frac {log^{nk}{x}}{(1-n)^{k}cdot x^{n-1}}}}}$

${displaystyle =sum _{n=0}^{infty }{sum _{k=0}^{n}{frac {log ^{nk}{x}}{(1-n)^{k 1}cdot x^{n-1}}}}}$

Obwohl der Wert von ${displaystyle int _{0}^{1}{f(x)mathrm {d} x}}$ nicht in Radikalen geschrieben werden kann, ist eine Näherung mit den obigen Formeln möglich. Das sehen wir jetzt:

${displaystyle int _{0}^{1}{f(x)mathrm {d} x}=1-int _{0}^{1}g(x)mathrm {d} xapprox 1-0,!353497= 0,!646503}$

Die Visualisierung von f

Unten ist eine grafische Visualisierung von f, ${displaystyle f'}$ und${displaystyle F(x)=int _{0}^{x}f(y)mathrm {d} y}$.

Siehe auch

• Knuths Aufwärtspfeil-Notation
• Ruckers Notation

Externe Links

• (und) MathWorld: Pfeilnotation
• (und) MathWorld: Power Tower