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Für den gleichnamigen Begriff aus Wahrscheinlichkeit siehe Extremwert (Wahrscheinlichkeit)

In dem Analyse sein extreme Werte einer Funktion die maximal und Minimum von diesen Funktion, also Funktionswerte, bei denen zumindest lokal kein anderer Funktionswert darüber oder darunter liegt. Wir unterscheiden zwischen lokalen (oder relativen) Extrema und globalen (oder absoluten) Extrema.

Das Extremumsatz besagt, dass eine stetige Funktion ${displaystyle f}$ erreicht in einem geschlossenen Intervall immer ein Minimum und ein Maximum.

Formale Beschreibung

Die Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} }$ im punkt angekommen ${Anzeigestil a}$ ein

• (lokal) maximal für den Fall, dass ${Anzeigestil f(a)geq f(x)}$ für alle ${Anzeigestil x}$ in einer Umgebung von ${Anzeigestil a}$.
• (lokal) Minimum für den Fall, dass ${Anzeigestil f(a)leq f(x)}$ für alle ${Anzeigestil x}$ in einem Bereich der ${Anzeigestil a}$.

Darin ist eine Umgebung von ${Anzeigestil a}$ eine Sammlung der Form:

${displaystyle {xin mathbb {R} ^{n}mid |x-a|$,

für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$.

Wir sprechen von a global Maximum oder Minimum, wenn die Bestimmungen für alle gelten ${Anzeigestil x}$ von dem Domain von ${displaystyle f}$. Wenn die obigen Ungleichungen für alle streng sind ${Anzeigestil x}$ ungleich ${Anzeigestil a}$, man spricht von a einzigartig maximal c. Minimum.

Bedingungen und Funktionen

Differenzierbare Funktionen in einer Variablen

• Wenn die differenzierbarFunktion${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$ ein Extremum erreichte die erste Ableitung gleich Null; ${Anzeigestil f'(a)=0.}$

Beachten Sie, dass dies keine hinreichende Bedingung ist, sondern eine notwendige. so dass ${displaystyle f}$ ein Extremum erreicht in ${Anzeigestil a}$ die erste Ableitung muss 0 sein. Umgekehrt gibt es jedoch nicht unbedingt ein Extremum, bei dem die Ableitung 0 . wird (Siehe Beispiel 2 für ein Gegenbeispiel). Punkte, deren Ableitung 0 ist, heißen het stationäre Punkte.

• Um zu einer hinreichenden Bedingung zu gelangen, kann man sich das Vorzeichen der Ableitung ansehen. Wenn die Ableitung in ${Anzeigestil a}$ wechselt das Vorzeichen, die Funktion ist an ${Anzeigestil a}$ extrem. Ob die Ableitung das Vorzeichen ändert, lässt sich aus der ablesen zweite Ableitung${displaystyle f''(a)}$ wenn es existiert.

Annehmen ${displaystyle f}$ ist zweimal differenzierbar und das ${Anzeigestil f'(a)=0.}$ Wir betrachten das Vorzeichen der zweiten Ableitung tweede

${displaystyle f''(a)<0}$, dann erreicht ${displaystyle f}$ ein Maximum in ${Anzeigestil a}$.

${displaystyle f''(a)>0}$, dann erreicht ${displaystyle f}$ ein Minimum an ${Anzeigestil a}$.

${Anzeigestil f''(a)=0}$dann kann keine Schlussfolgerung gezogen werden.

• Wir können auch die Art von bestimmen ${Anzeigestil a}$ Wofür ${Anzeigestil f'(a)=0}$ bestimmen mit a Charakterübersicht von ${Anzeigestil f'(a)}$

Annehmen, dass ${displaystyle f}$ ist differenzierbar in einer Umgebung von ${Anzeigestil a}$ und das ${Anzeigestil f'(x)}$ auf beiden Seiten von ${Anzeigestil a}$ hat ein festes Vorzeichen.

Wenn die Zeichen anders erreicht werden ${displaystyle f}$ ein Extremum in ${Anzeigestil a:}$

${Anzeigestil f(a)}$ ist ein Minimum, wenn das Vorzeichen von ${Anzeigestil f'(a)}$ übrig von ${Anzeigestil a}$ ist negativ und rechts von ${Anzeigestil a}$ positiv.

${Anzeigestil f(a)}$ ist ein Maximum, wenn das Vorzeichen von ${Anzeigestil f'(a)}$ übrig von ${Anzeigestil a}$ ist positiv und rechts von ${Anzeigestil a}$ Negativ.

Wenn die Zeichen auf beiden Seiten von ${Anzeigestil a}$ gleich sind erreicht ${displaystyle f}$ kein Extremum, wir sprechen von a Wendepunkt.

• In einem Extremum einer Funktion ${Anzeigestil y=f(x)}$ ist der Tangente auf der Grafik immer horizontal, also parallel mit dem ${Anzeigestil x}$-Asche. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass die Ableitung 0 sein muss.

Funktionen mehrerer Variablen

Wir können die obige Argumentation auf Funktionen mehrerer Variablen erweitern.
Dafür verwenden wir Begriffe wie partielle Ableitung und Gradient.

• Für den Fall, dass ${displaystyle f}$ ist differenzierbar in ${Anzeigestil a}$ und ein Extremum erreicht, dann muss die Steigung von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$ gleich 0. Dies entspricht der Tatsache, dass alle partiellen Ableitungen von ${displaystyle f}$ im ${Anzeigestil a}$ sollte auch 0 sein, also wenn für alle ${displaystyle i=1,2,ldots,n}$

${displaystyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}(a)=0}$

Kurz:

${Anzeigestil abla f(a)=0}$

Auch dies liefert keine hinreichende, sondern eine notwendige Bedingung für Extrema. Wird ein Extremum erreicht, ist die Steigung also immer 0, das Umgekehrte gilt jedoch nicht. Punkte mit einem Gradienten von 0 sind auch are stationäre Punkte.

Hinweis

Der Einfachheit halber beschränken wir uns in den folgenden Punkten auf Funktionen von zwei Variablen.

• Um zu einer hinreichenden Bedingung zu gelangen, betrachten wir auch Ableitungen zweiter Ordnung. Wir geben folgende Notationen ein

${displaystyle alpha equiv {frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x^{2}}}(a,b)}$

,

${displaystyle eta equiv {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}(a,b)}$

,

${displaystyle gamma equiv {frac {teilweise ^{2}f}{teilweise y^{2}}}(a,b)}$

,

${Anzeigestil Delta = eta ^{2}-Alphagamma }$

${Anzeigestil-Delta >0}$, dann erreicht ${displaystyle f}$ ein Sattelpunkt (kein Extremum) in ${Anzeigestil (a,b).}$

${Anzeigestil-Delta <0}$ und ${Anzeigestil Alpha >0}$ (oder ${Anzeigestil-Gamma >0}$), dann erreicht ${displaystyle f}$ ein Minimum an ${Anzeigestil (a,b).}$

${Anzeigestil-Delta <0}$ und ${Anzeigestil Alpha <0}$ (oder ${Displaystil-Gamma <0}$), dann erreicht ${displaystyle f}$ ein Maximum in ${Anzeigestil (a,b).}$

${Anzeigestil Delta=0}$: Wir können nichts entscheiden.

• In einem Extremum einer Funktion ${Anzeigestil z=f(x,y)}$ ist der Schnittstelle auf der Grafik immer horizontal, also parallel mit dem ${Anzeigestil xy}$-eben. Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass die Steigung 0 sein muss.

Beispiele

Beispiel 1

Funktionsgraph
${Anzeigestil f(x)=2x^{3}-9x^{2} 12x-3}$

Wir betrachten die Funktion (siehe Abbildung rechts)

${Anzeigestil f(x)=2x^{3}-9x^{2} 12x-3}$

Wir berechnen die erste Ableitung, setzen sie gleich 0 und lösen nach x auf, um mögliche Extrema zu finden

${displaystyle f'(x)=0Linksrechtspfeil 6x^{2}-18x 12=0Linksrechtspfeil x=1 Rinder x=2}$

Um zu überprüfen, ob in diesen Punkten Extrema erreicht werden, bestimmen wir für beide Punkte das Vorzeichen der zweiten Ableitung

${Displaystil f''(x)=12x-18}$

${displaystyle f''(1)=-6<0Rechtspfeil }$ maximal (Blau)

${displaystyle f''(2)= 6>0Rechtspfeil }$ Minimum (rot)

Beispiel 2

Funktionsgraph ${Anzeigestil f(x)=x^{3}}$

Wir betrachten die Funktion (siehe Abbildung rechts)

${Anzeigestil f(x)=x^{3}}$

Wir berechnen die erste Ableitung, setzen sie gleich 0 und lösen nach ${Anzeigestil x}$ nach möglichen Extrema suchen

${displaystyle f'(x)=0Linksrechtspfeil 3x^{2}=0Linksrechtspfeil x=0}$

Um zu überprüfen, ob an dieser Stelle ein Extremum erreicht ist, bestimmen wir an dieser Stelle das Vorzeichen der zweiten Ableitung.

${Anzeigestil f''(x)=6x}$

${displaystyle f''(0)=0Rechtspfeil }$ kein Extremum (aber a Wendepunkt) (Grün)

Da die Ableitung für jedes Extremum 0 sein muss, können wir schlussfolgern, dass diese Funktion keine Extrema hat.

Beispiel 3

Funktionsgraph
${Anzeigestil f(x,y)=2x^{3}-y^{3} 12x^{2} 27y}$

Wir betrachten die Funktion (siehe Abbildung rechts)

${Anzeigestil f(x,y)=2x^{3}-y^{3} 12x^{2} 27y}$

Wir berechnen die stationären Punkte, das sind die Punkte, für die die Steigung 0 ist:

${displaystyle left{{ egin{matrix}{frac {partial f}{partial x}}=0Linksrightarrow 6x^{2} 24x=0/{frac {partial f}{partial y}}=0Linksrechtspfeil -3y^{2} 27=0/Ende{array}}Nacht.}$

Lösungen dieses Systems sind die Punkte ${Anzeigestil a=(0.3), b=(0,-3), c=(-4,-3), d=(-4.3)}$.

Wir berechnen δ mit der oben genannten Formel für jeden dieser vier Punkte und finden

Im ${Anzeigestil a}$ und in ${Anzeigestil c}$ ist ${Anzeigestil-Delta >0}$, also kein extrem (orange in der Abbildung)

Im ${displaystyle b}$ ist ${Anzeigestil-Delta <0}$ und ${Anzeigestil Alpha >0}$, also mindestens (rot in der Abbildung)

Im ${displaystyle d}$ ist ${Anzeigestil-Delta <0}$ und ${Anzeigestil Alpha <0}$, also maximal (grün in der Abbildung)