WikiDer > Arkuskosinus

Das Arkuskosinus (ebenfalls Arkuskosinus) bezeichnet durch ${displaystyle mathrm {acos} , arccos , mathrm {bgcos} }$ oder ${displaystyle cos^{-1}}$^[1] ist ein Zyklometrische Funktion in dem Mathematik dass die Umkehrfunktion ist von der Kosinus wenn es Domain davon beschränkt auf das Intervall ${displaystyle [0,pi ]}$. Diese Begrenzung ist wegen der periodischen Natur des Sinus notwendig. Das Ergebnis des Arkussinus ist der Winkel zwischen ${displaystyle -pi /2}$ und ${Anzeigestil pi /2}$ dessen Sinus das Argument als Wert hat. Die Domäne ist [-1,1] und der Bereich ist ${displaystyle [0,pi ]}$.

Der Graph von ${Anzeigestil y=Bogen x}$ ist das Spiegelbild des Graphen des beschränkten Kosinus bezüglich der Geraden ${Anzeigestil y=x}$.

Definition

Die Funktion ${displaystyle arccos }$ ist definiert für ${displaystyle xin[-1,1]}$ durch die Beziehung

${displaystyle arccos(x)=alpha quad Longleftrightarrow quad alpha in [0,pi]{mbox{ und }}cos(alpha)=x}$

In Worten: der Winkel (Bogen), dessen Kosinus ${Anzeigestil x}$ ist gleich ${displaystyle alpha }$.

Wegen der Beziehung zwischen Sinus und Kosinus:

${displaystyle arccos(x) arcsin(x)={ frac {1}{2}}pi }$

Potenzreihe

Der Arkuskosinus hat die Serienentwicklung:

${displaystyle arccos(x)={frac {pi}{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {Gamma (n {frac {1}{2}})}{{sqrt {pi }}(2n 1)n!}}x^{2n 1}}$

Darin ist ${Anzeigestil Gamma }$ das Gamma-Funktion.

Derivat

Das Derivat des Arkuskosinus ist:

${displaystyle {{m {d}} über {m {d}}x}arccos(x)={-1 über {sqrt {1-x^{2}}}}}$

vor dem ${displaystyle xin(-1,1)}$

Siehe auch

• Arkussinus
• Arkustangens
• Arkkotangens
• Zyklometrische Funktion