WikiDer > Теорема Банаха – Алаоглу - Википедия
В функциональный анализ и смежные отрасли математика, то Теорема Банаха – Алаоглу (также известен как Теорема Алаоглу) утверждает, что закрыто единичный мяч из двойное пространство из нормированное векторное пространство является компактный в слабая * топология.[1] Обычное доказательство идентифицирует единичный шар со слабой * топологией как замкнутое подмножество товар компактов с топология продукта. Как следствие Теорема Тихонова, этот продукт, а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.
Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается множество состояний алгебры наблюдаемых, а именно то, что любое состояние может быть записано как выпуклая линейная комбинация так называемых чистых состояний.
История
По словам Лоуренса Наричи и Эдварда Бекенштейна, теорема Алаоглу - «очень важный результат - возможно, то самый важный факт о слабая * топология - [это] отражается во всем функциональном анализе ".[2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространства C ([а, б]) счетно слабо- * компактно.[3] В 1932 г. Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого отделяемый нормированное пространство последовательно слабо- * компактно (Банах рассматривал только последовательная компактность).[3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 г. математиком Леонидас Алаоглу. Согласно Pietsch [2007], есть по крайней мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника.[2]
В Теорема Бурбаки – Алаоглу это обобщение[4][5] исходной теоремы Бурбаки к двойные топологии на локально выпуклые пространства. Эта теорема также называется Теорема Банаха-Алаоглу или Слабая * теорема компактности и его обычно называют просто Теорема Алаоглу[2]
Заявление
Если Икс является вещественным или комплексным векторным пространством, тогда мы допустим обозначить алгебраическое двойственное пространство из Икс. Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS), то обозначим непрерывное двойственное пространство к Икс к , куда обязательно держит. Обозначим слабая * топология на (соответственно на ) к (соотв. ). Важно отметить, что топология подпространства который наследуется от просто
Теорема Алаоглу[3] — Для любых ТВС Икс (нет обязательно Хаусдорф или же локально выпуклый), полярный
любой район U из 0 в Икс компактна в слабая * топология[6] на Более того, равен полюсу U относительно канонической системы и это также компактное подмножество
Для этого доказательства мы будем использовать основные свойства, перечисленные в статьях: полярный набор, двойная система, и непрерывный линейный оператор.
Напомним, когда Икс# наделен слабая * топология тогда это полное пространство; тем не мение, может не быть полным пространством. Везде, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонической спаривание куда является непрерывным двойственным пространством Икс.
Позволять U быть окрестностью начала координат в Икс и разреши:
- быть полярником U относительно канонического спаривания ;
- U∘∘ быть биполярный из U относительно ;
- быть полярником U относительно канонической дуальной системы
Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что U∘∘∘ = U∘.
(1) Сначала покажите, что U# = U∘ а затем вывести, что U∘ это -закрытое подмножество Хорошо известен результат о том, что поляра множества слабо замкнута, из чего следует, что это -закрытое подмножество Поскольку каждый непрерывный линейный функционал является линейным функционалом, U∘ ⊆ U# держит. Для обратного включения, если ж ∈ U# тогда с и U это район 0 в Икс, следует, что ж это непрерывный линейный функционал (то есть, ) откуда следует, что U# ⊆ U∘).
(2) Покажите, что U∘ является -полностью ограниченный подмножество Посредством биполярная теорема, U ⊆ U∘∘ так с тех пор U является поглощающий в Икс, следует, что также является увлекательным подмножеством Икс, что, как можно показать, означает, что является -ограниченный. С Икс отличает точки из , можно показать, что подмножество является -ограничен тогда и только тогда, когда он -полностью ограниченный. Из этого следует, что является -полностью ограничен.
(3) Теперь покажите, что является -общенно ограниченное подмножество Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, что наследуется от Этот факт вместе с (2) означает, что это -общенно ограниченное подмножество
(4) Наконец, выведите, что это -компактное подмножество Потому что это полное пространство и является замкнутым (согласно (1)) и вполне ограниченным (согласно (3)) подмножеством , следует, что U∘ компактный. ∎
Если Икс это нормированное векторное пространство, то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если U - открытый (или закрытый) единичный шар в Икс затем полярный U замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве из Икс (с обычная двойная норма). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:
- Теорема Банаха-Алаоглу: Если Икс является нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве (наделенный обычным норма оператора) компактен относительно слабая * топология.
Когда непрерывное двойное пространство из Икс является бесконечномерным нормированным пространством, то это невозможно для закрытого единичного шара в быть компактным подмножеством, когда имеет обычную топологию нормы. Это связано с тем, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (см. Теорема Ф. Рисса). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном векторном пространстве.
Следует предупредить, что, несмотря на внешность, теорема Банаха – Алаоглу действительно нет подразумевают, что слабая * топология локально компактный. Это потому, что замкнутый единичный шар - это только окрестность начала координат в сильная топология, но обычно не является окрестностью начала координат в слабой * топологии, поскольку в слабой * топологии она имеет пустую внутренность, если пространство не является конечномерным. Фактически, это результат Weil все это локально компактный Хаусдорф топологические векторные пространства должны быть конечномерными.
Последовательная теорема Банаха – Алаоглу.
Частным случаем теоремы Банаха – Алаоглу является последовательный вариант теоремы, утверждающей, что замкнутый единичный шар двойственного пространства отделяемый нормированное векторное пространство последовательно компактный в слабой * топологии. Фактически, слабая топология * на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству имеет вид метризуемый, поэтому компактность и последовательная компактность эквивалентны.
В частности, пусть Икс быть отделимым нормированным пространством и B закрытый единичный шар в Икс∗. С Икс отделимо, пусть (Иксп)∞
п=1 - счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого Икс, у ∈ B:
в котором обозначает двойственность пары Икс∗ с Икс. Последовательная компактность B в этой метрике может быть показан аргумент диагонализации аналогично тому, который использовался при доказательстве Теорема Арцела – Асколи.
Вследствие конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, основанного на выбранной аксиоме) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области уравнения в частных производных для построения решений PDE или вариационные задачи. Например, если хочется минимизировать функционал на двойственном сепарабельном нормированном векторном пространстве Икс, одна из распространенных стратегий - сначала построить минимизирующую последовательность который приближается к нижнему пределу F, используйте последовательную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы выделить подпоследовательность, сходящуюся в слабой * топологии к пределу Икс, а затем установить, что Икс минимизатор F. Последний шаг часто требует F подчиняться (последовательный) нижняя полунепрерывность свойство в слабой * топологии.
Когда - пространство конечных радоновских мер на вещественной прямой (так что - пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, согласно Теорема Рисса о представлении) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна Теорема выбора Хелли.
Для каждого Икс ∈ Икс, позволять
и
Поскольку каждый DИкс компактное подмножество комплексной плоскости, D также компактна в топология продукта к Теорема Тихонова.
Шар закрытого блока в , B1(Икс*) можно идентифицировать как подмножество D естественным образом:
Это отображение инъективно и непрерывно, с B1(Икс*) с топологией weak- * и D топология продукта. Инверсия этой карты, определенная на ее диапазоне, также является непрерывной.
Чтобы завершить доказательство этой теоремы, теперь будет показано, что диапазон приведенного выше отображения замкнут. Учитывая чистую
в D, функционал, определяемый
лежит в
Последствия
- Последствия для нормированных пространств
Предположить, что Икс это нормированное пространство и наделить его непрерывным дуальным пространством с обычным двойная норма.
- Шар закрытого блока в слабо- * компактно.[3]
- Обратите внимание, что если бесконечномерно, то его замкнутый единичный шар обязательно нет компактна в топологии нормы Теорема Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабый - * компактный).
- А Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар -компактный.[3]
- Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждая ограниченная последовательность из Икс имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха – Алаоглу к слабо метризуемому подпространству Икс; или, более кратко, применяя Теорема Эберлейна – Шмулиана.) Например, предположим, что Икс = Lп(μ), 1<п<∞. Позволять жп - ограниченная последовательность функций из Икс. Тогда существует подпоследовательность жпk и ж ∈ Икс такой, что
- Последствия для гильбертовых пространств
- В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства - это рефлексивный).
- Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты (Теорема Хана – Банаха), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
- Замкнутые и ограниченные множества в B (H) предкомпактны относительно слабая операторная топология (слабая операторная топология слабее, чем сверхслабая топология что, в свою очередь, является слабой топологией по отношению к предуалу B (H), то класс трассировки операторы). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, B (H) имеет Свойство Гейне-Бореля, если он снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.
Отношение к аксиоме выбора
Поскольку теорема Банаха – Алаоглу обычно доказывается с помощью Теорема Тихонова, он полагается на ZFC аксиоматическая структура, и в частности аксиома выбора. Большинство основных функций функционального анализа также опираются на ZFC. Однако теорема действительно нет полагаться на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. ниже): в этом случае фактически имеется конструктивное доказательство. В несепарабельном случае лемма об ультрафильтре, которая строго слабее выбранной аксиомы, достаточна для доказательства теоремы Банаха-Алаоглу и фактически эквивалентна ей.
Смотрите также
- Теорема Бишопа – Фелпса
- Теорема Банаха – Мазура.
- Теорема дельта-компактности
- Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных типа слабой компактности в банаховом пространстве.
- Теорема Голдстайна
- Теорема Джеймса
- Теорема Крейна-Мильмана
- Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве.
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости
Рекомендации
- ^ Рудин 1991, Теорема 3.15.
- ^ а б c Наричи и Бекенштейн 2011С. 235-240.
- ^ а б c d е Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
- ^ Кёте 1969, Теорема (4) в п. 20.9.
- ^ Meise & Vogt 1997, Теорема 23.5.
- ^ Явно подмножество называется «компактным (соответственно вполне ограниченным и т. д.) в слабой * топологии», если когда дается слабая * топология и подмножество дается топология подпространства унаследовано от тогда это компактный (соотв. полностью ограниченныйи т. д.) пространство.
- Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Нью-Йорк: Springer-Verlag.CS1 maint: ref = harv (связь) См. §20.9.
- Мейсе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.CS1 maint: ref = harv (связь) См. Теорему 23.5, с. 264.
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Рудин, В. (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054236-8.CS1 maint: ref = harv (связь) См. Теорему 3.15, с. 68.
- Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
дальнейшее чтение
- Джон Б. Конвей (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. См. Главу 5, раздел 3.
- Питер Б. Лакс (2002). Функциональный анализ. Wiley-Interscience. С. 120–121. ISBN 0-471-55604-1.